竞赛第二讲 一般物体的平衡答案.docx

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竞赛第二讲一般物体的平衡答案

2014第二讲一般物体的平衡

一、相关概念

（一）力臂：

从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。

（二）力矩：

力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。

记为M=FL单位"牛•米”。

一般规定逆时针方

向转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。

（三）有固定转轴物体的平衡条件

作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即》M=0,或》皿逆=》皿顺。

（四）重心：

计算重心位置的方法：

1、同向平行力的合成法：

各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心。

2、割补法：

把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或反向）平行力合成法求重心位置。

3、公式法：

x/lgX1m2gX2，当坐标原点移到重心上，则两边的重力矩平衡。

mig+m2g+AA

二、常用方法

1巧选转轴简化方程：

选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式子简化得多；

2复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：

选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解；

3无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理，

或者助物体重心公式计算。

三、巩固练习

1.如右图所示，匀质球质量为M半径为R;匀质棒B质量为m长度为I。

求它的重心。

2•将重为30N的均匀球放在斜面上，球用绳子拉住，如图所示.绳A（与水平面平行，C点为球的最高点斜面倾角为37°.求：

（1）绳子的张力.

（2）斜面对球的摩擦力和弹力.

[答案：

（1）10N;

（2）10N,30N]

解：

（1）取球与斜面的接触点为转轴:

得T=10N;

（2）取球心为转轴得，f=T=10N;

取C点为转轴:

f（Rrcos37°）-NRsin37°=0，得N=30N.

解:

此题的解法很多，同学们可体会到取不同的研究对象

解法1:

对圆柱体一个一个分析，分别计算出圆柱体的弹力，再对木板分析，有力矩平衡求出BC绳的张力.比较麻烦.

解法2:

把三个球作为整体，可求出板对三个球的弹力，再对板有力矩平衡求出BC绳的张力•但弹力的力臂比较难求•解法3:

先对三个球分析，受墙壁的弹力N=3&otn

再把三个圆柱体和木板合为一整体，此整体受到墙壁的弹力N,BC绳的拉力T,重力3GA点的作用力NN

对A点的力矩为零）.

对A点，有力矩平衡TAC二N1AD3G（r2rsinR

0

式中AD=r/tan,AC=Lcos^

2

有上述四式可行T二型•』^）.

L1-cos^cos日

6.如图所示，三个完全相同的圆柱体叠放在水平桌面上。

将C柱体放上去之前，A、B两柱体接触，但

无挤压。

假设桌面与柱体之间的动摩擦因数为柱体与柱体之间的动摩擦因数为卩。

若系统处于平

衡状态，卩0和

3。

分析和解：

这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C之间相互制约着而有单个物体在力系作用

下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题。

设每个圆柱的重力均为G首先隔离C球，受力分析如图1—一7所示，由刀FCy=0可得

3

2G

再隔留A球，

訓

由刀Fax=0得

1

N1f）=G

2

受力分析如图1一8所示,

1£_N2G=0

2

731

f?

N1N1=0

22

由刀Ea=0得

f1^f2R

由以上四式可得

由刀FAy=O得

—心G

2.32

1

N1G,N2

2

而f2乞,

「宁，

3

7.（第六届预赛）有两端下方各有一个小突起，薄片及突起的质量均不计，现将此在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起突起A位于其下方薄片的正中，由正上方俯视如图所示，若将质量为质点放在薄片AB上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起的距离，则薄片AR中点所受的（由另一薄片的小突起A所施的）压力。

答案：

mg/42

解析：

本题共有六个物体，通过观察会发现，AB、AE2、…、A5B5的

受力情况完全相同，因此将AB、AB2、・・・A5Bs作为一类，对其中一个进行受力分析，找出规律，求出通式即可求解.

以第i个薄片AB为研究对象，受力情况如图甲所示，第

N、碗边向上的支持力和后一个薄片向下的压力

LNi

NjL二Nj1,得M』所以NN2

22222

Ni

6个完全相同的刚性长条薄片ABi（i=1,2…），其

6个薄片架

B恰在碗口上，另一端小m的

A

B5

Bi

B2

A3

A5\B3

AiB、AE2、

个薄片受到前一个薄片向上的支持力

N+1.选碗边B点为轴，根据力矩平衡有

115

N3二上十）N6①

22

再以A6B6为研究对象，受力情况如图乙所示，A>B6受到薄片A5B5向上的支持力N6、碗向上的支持力

和后一个薄片AiBi向下的压力N、质点向下的压力mg.选B>点为轴，根据力矩平衡有

L3

N1mgL=N6L

24

由①、②联立，解得Ni=mg42所以，AB薄片对AsBe的压力为mg42.

8.（第十届全国决赛）用

20块质量均匀分布的相同的光滑积木块，在光滑水平面一块叠一块地搭成单

求此桥具有的最大跨度（即桥孔底宽），

孔桥，已知每一积木块的长度为L,横截面为h=L的正方形,

4

试画出该桥的示意图，并计算跨度与桥孔高度的比值。

4

11—I/

1

所以一二——'、1。

将n=10代入可得.

k

—=1.258

H

9.有一质量为m=50kg的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数J=0.3，杆的上端固定在

地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角v-30［如图所示。

（1）若以水平力F作用在杆上，作用点到地面的距离h^2L/5（L为杆长），要使杆不滑倒，力F最

大不能越过多少？

（2）若将作用点移到h2=4L/5处时，情况又如何？

解析：

杆不滑倒应从两方面考虑，杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下，力的大小还与h有关，讨论力与h的关系是关键。

杆的受力如图5—7—甲所示，由平衡条件得

F—Tsinv-f=0

互相之间既无弹力也无摩擦力.因此,受力图如图所示.

解：

当上面一个小球放上去后，下面三个小球有向外挤的趋势可以通过下面某一个球的球心和上面球的球心的竖直面来进行受力分析对上面小球,根据竖直方向受力平衡有3N2sin-3f2soc=mg----

（或下面的小球，对球与筒接触点为转轴，

力矩平衡N2rsinT+mg=f2r（1+cosr））

再对四个小球为整体，在竖直方向3fi=4mg

下面的小球，对球心为为转轴，有力矩平衡条件f1r=f2r,得f1=f2----

对下面的小球，取f1和f2作用线的交点为转轴，有力矩平衡得N>N2,故大球与

小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常用方法）而大球沿筒滚动，

当R最大时：

f2=」N2

211

有上述四式得：

128soc：

+24cos>77=0,解得：

cos于,16

63‘3

F1l=F2lmgl

3_3-6_

2mg迢=2F2仝丨F<—l

633

3F2mg

33

F-Al^/2

此时

式屮口丘凶优。

二弗”时所需F員允-这也就绘饕離册闸眾-小」八啟尺7=总地霁这丧卿貝要D点能場离开地血“工怎r即便变小一些•立方揪也能翱桔・在门点将要离幵地而时.…

以焙为變丿JF始烬杲小■则F宜基直推:

斜向｝在图示情配尸'畀歐MgWF的仝点为轴h用

打

不过点冥大丁聲于时丁点向前翻转立胄承功摩攥两数隣圧」二1订炖叭耐向厉柄的情况下曲方休以。

点为轴转纵同样一开蛤血晞翻动谯加时按力F垂宜IX&水平向应时对应的尸最小•谴応方休边长为&则

規话如果F始维亟玄迪D边而11缓復拥转X方体一则f会堂小’fn%反而变史■这丧驯口枇冃宴-JT始不措动就术可能冉渦动「，

2.（2010北大）如图，一个质量M棱边长为L的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立

方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因素。

设想立方体开始翻转后，施加的外力F大小和方向会改变，以维持F始终为最小值。

匚1匚2

F2mg,Fimg

63

F合=（2F2）2F^=—mg

3

Lbinfico^a前口呵m合a"I

"kgi+sihJ«2sii?

cr十iitan«+cot

解：

先考虑向前翻働的情况，设A「与水平而夬世角.

显然这时加垂直百C连线斜向匕的力F时淌绘轻求■如图所示

3.（2010南大强化）如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，

系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A,与环面接触点为B。

已知两个物体的质量线密度均为匸，

直

杆与地面夹角为二，圆环半径为R,所有接触点的摩擦力足够大。

求：

（1）地给圆环的摩擦力。

（2）求A、B两点静摩擦系数的取值范围。

球受力血图听示•水平方向合力为零得:

f.-j-ftcos5—N]sin9

以圆心O点为轴有t人R二九乩即/]=fi・

对球以人点为轴存；忖汀h耐津f+MA即代1=埼求十N-冉取球，杆幣体为研究对紳A点为轴右、

=>^2^/—;ji：

g*~cusQ、

£

叫0血&g苦&俗Rcos0

sinQ0

——Tan~

14-ros62

五、备用

1.（第二届全国复赛）如图所示，匀质管子AB长为L,重为G,其A端放在水平面上,

的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角B=45。

，试求要使管子处于平衡时,因数的最小值。

2.（第十届全国预赛）半径为R质量为M的均匀圆球与一质量为M的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A并处于平衡，如图所示•已知悬点A到球心的距为L,不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦,求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角H[答案：

左arcsinM^R]

L（M<^M2）

解：

球受重力Mg,AD绳受拉力为T,ACB±力为N因重力Mg通过圆心，N也通过圆心（但不是水平方向），所以T也通过圆（三力共点），OA=L.取整体为研究对象对A点

M2R

3.如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连，两棒的长度相等,

两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当在C端加一个适当的外力（在纸面内）可使

两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90，且C端正好在A端的正下方。

（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？

说明道理（不要求推算）。

（2）如果AB棒的质量为rm,BC棒的质量为m，求此外力的大小和方向。

1!

[答案：

（1）F的方向与A（夹角范围18.24-45间；

（2）Fg.2m'-10m2-8m1m2]

4F『y「F

解

（1）设F的方向与A（夹角为’如果当m质量很小时，AB寸BC勺作用力沿ABT向，"

则F的方向必交于AB勺中点，7=45-tan-12=18.24；如果当m质量很小时，则F的方向沿B（方向，0=45「/所以F方向的范围是7=18.24-45间。

（2）以A为转轴，对两棒有：

皿・m2）g