广西陆川县中学届高三下学期第一次模拟考试数学试题理科.docx

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广西陆川县中学届高三下学期第一次模拟考试数学试题理科

广西陆川县中学2019届高三下学期第一次模拟考试

数学试题（理科）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每题只有一个正确答案，请把你认为正确的答案填在答题卡上，答在试卷上的一律无效。

）

1．复数

的值是:

（）

A.

B.

C.

D.

2．

是定义在

上的非负可导函数，且满足

，对任意的正数

，若

，则必有：

（）

A.

B.

C.

D.

3．在

的展开式中，

的系数为是：

（）

A．

B．

C．

D．

4．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数有：

（）

A.

种B.

种C.

种D.

种

5．

为平面

内的动点，A、B、C是平面

内不共线的三点，满足

，则

点轨迹必过△

的：

（）

A.重心B.外心C.垂心D.内心

6．若函数

的定义域为

，函数

的定义域为

，函数

的定义域为

，则有：

（）

A.

B.

C.

D.

7．球面上三点A、B、C，其中AB为球的直径，若

，则A、C两点的球面距离为：

（）

A.

B.

C.

D.

8．设

、

、

是三个不重合的平面，给出下列命题：

若

，则

，则

若

，则

若

在

内的射影相互垂直，则

其中错误的个数为（）

A.

B.

C.

D.

9．设

（

、A为正常数，

），则

是

为奇函数的：

（）

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10．设偶函数

在

上单调递增，则

与

的大小关系（）

A.

B.

C.

D.不能确定

11．设

为坐标原点，点

的坐标为

，若点

满足不等式组

，则使

取得最大值时点

的个数为：

（）

A.

个B.

个C.

个D.无数个

12．已知

是椭圆

上一点，

、

是该椭圆的两个焦点，若△

的内切圆半径为

，则

的值为：

（）

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把你认为正确的答案填在答题卡上，答在试卷上的一律无效。

）

13．把函数

的图象向右平移

个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的

（纵坐标不变），则所得图象的解析式为。

14．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点P为△BCD的重心，则D1P与平面ADD1A1所成角的大小为。

15．过点

作抛物线

（

的两条切线，切点分别为B、C，且△ABC是正三角形，则抛物线方程为。

16．在由正数组成的数列

中，对任意的正整数

，

都成立，且

，则极限

。

三、解答题：

（本大题共6小题，共70分。

答案写在答题卡上，答在试卷上的一律无效，解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）

17．（本小题满分10分）在△ABC中，

、

、

为角A、B、C所对的三边，已知

。

（1）求角A；

（2）若BC

，内角B等于

，周长为

，求

的最大值。

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD

平面ABCD，且PD=AB=2，E是PB的中点，F是AD的中点。

（1）求证：

EF

平面PBC；

（2）求异面直线PD与AE所成的角的大小；

（3）求二面角F—PC—B的大小。

19．（本小题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验进行对比试验，每个试验由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另两只服用B，然后观察疗效，若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为

，服用B有效的概率为

。

（1）求一个试验组为甲类组的概率；

（2）观察3个试验组，用

表示这3个试验组中甲类组的个数，求

的分布列和数学期望。

20．（本小题满分12分）已知数列

的前

项和

，

且

数列

满足

且

。

（1）求证：

数列

为等差数列；

（2）求证：

数列

为等比数列；

（3）求数列

的通项公式及前

项和

。

21．（本小题满分12分）已知椭圆

的离心率

，过点

和

的直线与坐标原点的距离为

。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点

，若直线

与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在

值，使以CD为直径的圆过定点E？

若存在求出这个

值，若不存在说明理由。

22．（本小题满分12分）设函数

，其中

。

（1）若

，求

在

的最小值；

（2）如果

在定义域内既有极大值又有极小值，求实数

的取值范围；

（3）是否存在最小的正整数

，使得当

时，不等式

恒成立。

参考答案

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

A

B

C

D

A

C

B

D

C

C

D

B

二、填空题

13．

14．

15.

16.

三、解答题

17．解：

（1）由

又

（2）

同理：

故

18．解：

（1）连结FO，

F是AD的中点，

OF

AD，

EO

平面ABCD由三垂线定理，得EF

AD，

又

AD//BC，

EF

BC

连结FB，可求得FB=PF=

，则EF

PB，

又

PB

BC=B，

EF

平面PBC。

（2）连结BD，

PD

平面ABCD，过点E作EO

BD于O，连结AO，则EO//PD

且EO

平面ABCD，所以

AEO为异面直线PD、AE所成的角

E是PB的中点，则O是BD的中点，且EO=

PD=1

在Rt△EOA中，AO=

，

所以：

异面直线PD与AE所成的角的大小为

（3）取PC的中点G，连结EG，FG，则EG是FG在平面PBC内的射影

PD

平面ABCD，

PD

BC，又DC

BC，且PD

DC=D，

BC

平面PDC

BC

PC，

EG//BC，则EG

PC，

FG

PC

所以

FGE是二面角F—PC—B的平面角

在Rt△FEG中，EG=

BC=1，GF=

，所以二面角F—PC—B的大小为

19．解：

（Ⅰ）设A1表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，

B1表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i=0，1，2，依题意有

所求的概率为P=P（B0·A1）+P（B0·A2）+P（B1·A2=

（Ⅱ）ξ的可能值为0，1，2，3且ξ~B（3，

）

ξ的分布列为

ξ

0

1

2

3

p

数学期望

20．解：

（1）∵

，

∴当

时，

可得

∴数列

为等差数列。

（2）∵

为等差数列，公差

∴

∵

，

∴

=

又∴

∴对

，

，得

∴数列

是首项为

公比为

的等比数列。

（3）由

（2）得

，∴

又∵

∴

∴

∴

21．解：

（1）直线AB:

=1,∴

=

.①e=

.②

由①得

，

由②

得

∴所求椭圆的方程是

+y2=1.

（2）

.

Δ

设

，则有

∵

，且以CD为圆心的圆点过点E，∴EC⊥ED.

则

∴

，解得

=

＞1,

∴当

=

时以CD为直径的圆过定点E.

22．解：

（1）由题意知，

的定义域为

，

时，由

，得

（

舍去），

当

时，

，当

时，

，

所以当

时，

单调递减；当

时，

单调递增，

所以

（2）由题意

在

有两个不等实根，

即

在

有两个不等实根，

设

，则

，解之得

；

（3）对于函数

，令函数

则

，

所以函数

在

上单调递增，又

时，恒有

即

恒成立.取

，则有

恒成立.

显然，存在最小的正整数N=1，使得当

时，不等式

恒成立．