代数学期末考试题.docx
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代数学期末考试题.docx
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代数学期末考试题
《高观点下中学数学—代数学》练习题一
一、填空
1、由A→B的单映射σ的定义为(
(a)≠
(b)a≠b)。
2、由A→B的满映射σ的定义为(
:
A→B
(A)=B)。
3、自然数a与b相乘的定义中两个条件为(
a×1=a②a×b=a×b+a)。
4、环的理想定义为(
I是子环②
a←Rb←Ia×b←I)。
5、剩余类环
中可逆元素(1,3,5,7,11)。
6、π为有理数域上的(B)。
A、代数元B、超越元
7、y=lgx则(A)
A、y是上凸函数B、y是下凸函数
8、
……+
=m的非负整数解的个数为(C
)。
9、下面不等式正确的是(A)。
A、
B、
10、n个数码的扰乱排列总数为(n!
(1-1+
+
+……+(-1)
))。
11、在二阶方阵环(实数域上)中找出两个零因子(
×
=
)。
12、素元素的定义为(p|a×b
p|a或p|b)。
13、不可约元素的定义为(a=b×c
b是可逆元或c是可逆元)。
14、
+
=(C
)。
15、在剩余类环
中不可逆的元素为(1,3,5,7)。
16、若|A|=m,|B|=n,则A→B的所有不同映射的个数为(B)
A、
B、
C、n×m
17、皮阿罗公理中的归纳公式为(1←M由a←M
a←M)。
18、由A→B的单映射的定义为(a≠b
(a)≠
(b))。
19、自然数a与b加法的定义中两个条件为(
a+1=a'②a+b'=(a+b)')。
20、若f(x)=
为上凸函数则(B)。
A、k>1B、0 21、自然数的加法的定义中两个条件为(①a=1=a ②a=b =(a+b) )。 22、自然数a>b的定义为(a=b+k)。 23、在整数集合中求两个数的最大公因数(A)。 A、是代数运算B、不是代数运算 24、若集合|A|=n,则集合A→A的映射共有(n )种。 25、素元素的定义为(P|a×b P|a或p|b)。 二.计算题 1.若a>b>c>0,且a+b+c=1,求 (1)、2abc的极大值。 (2)a×b×c=1,求2a+b+4c的极小值。 答: ≥ ∴( ) 是a×b×c的极大值 2abc的极大值为 ≥ =2∴2a+b+4c的极小值为6 2.上11阶台阶,每次可上一阶或二阶,共有多少种不同的法? 答: f =f(n-1)+f(n-2)∴f(11)=144 3.在 中,求一个多项式f(x)使得f( )= ,f( )= 答: f(x)=(x- )(x- )=x + 4.n对夫妻一起跳舞,问刚好有K对夫妻为舞伴的方法有多少种? 答: C •k! (1-1+ +……+(-1) ) 5.从8个数字中取3个数字,但不准取连续两个数字的方法有多少种? (其中1和8这两个数字也算连续数字)。 答: g(83)=f(52)+f(7,3) 6.若R是因式分解唯一环,求证: (1)、((a,b),c)~(a,(b,c)) (2)、(ab,ac)~a(b,c) 答: ((ab),c)=d则d|cd|ad|b ∴d|(bc)∴d|(a(bc))同理可证明相反情况 ②(abac)=f(bc)=d ∴ad|abad|acad|ff=adz f|abf|acab=fx=adxzac=fy=adyz ∴b=dxzc=dyz∴dz是bc的公因式∴z是可逆元 7.若x>0,y>0,z>0且满足9 +12 +5 =9,求3x+6y+5z的极大值。 答: 3x+6y=5z=1×3x+6 y+5• z≤ (1 +( ) +( ) )(ax +12y +5z )=(1+ + )•9=81 而3x+6y=5z极大值为81 8.求证半径为R的圆内接n边形以正n边形的面积最大。 答: 圆内接n边形的面积为S则: S= R (SinQ +SinQ +……+SinQ ) 但f(x)=Sinx是上凸函数 Sin ≥ (SinQ +SinQ +……+SinQ ) Sin ≥ (SinQ +SinQ +……+SinQ ) 只有当Q =Q =……=Q = 时等号成立 只有当正n边形时面积最大 9.若环R={ |m∈Z,k∈Z},求证R是整环,并求出R中的所有可逆元素和不可约元素。 答: 可逆元素为 K为整数 不可约元素 P为不等于2的素数 10.求在剩余类环 中,( )( )= 的根。 答: (x- )(x- )= 的根为x= x= x= x= 11.求多项式 展开合并同类项后 (1)共有多少项? (2) 的系数为多少? 答: C =C 12.从不大于100的正整数中,能被2,或3,或5整除的自然数共有多少个? 答: =50 =33 =20 =16 =10 =6 =3 所求数为: 50+33+20-16-10-6+3=74 13、求自然数集合N到整数集合Z的一个满映射,但不是单映射。 答: (n)=n-1,n N 14求证代数系统( )与代数系统(R,+)是同构的,其中 表示正实数集合,R表示实数集合, 与+就是通常的实数乘法与加法。 答: (x)=lnx是R R的双射 (x x )=lnx x =lnx +lnx = (x )+ (x ) 是同构映射 15、若x>0,y>0,z>0且满足3 +4 +5 =20求9x+16y+7z的极大值。 答: 9x+16y+7z=9× x+16× y+7× z≤ (3x +4y +5z )=(27+64+ ) 20=2016 9x+16y+7z的极大值为2016 《高观点下中学数学—代数学》练习题二 一、填空 1、给出一个由整数集合Z到自然数集合N的双射(f(0)=1f(-n)=2n(n>0) f(n)=2n=3(n>0))。 2、素元素的定义为(p|ab p|a或p|b)。 3、不可约元素的定义为(a=b c b或c是可逆元)。 4、 中的可逆元素为(1,3,5,7)。 5、 + + =10方程的非负整数解的个数为(C =C )。 6、自然数a>b的定义为(a=b+k)。 7、在整环R={a+b |a∈Z,b∈Z}中2是(A) A、不可约元素B、素元素 8、 + =(C )。 9、若|A|=m|B|=n,则A→B的所有不同映射的个数为(B) A、 B、 C、n×m 10、f(x)= ,g(x)=Sinx(0 ),k(x)=㏑(x)中上凸函数为()。 下凸函数为()。 11、自然数a>b的定义为(a=b+k)。 12、皮阿罗公理中没有前元的元素为 (1)。 13、自然数的加法的定义中两个条件为( a+1=a'②a+b'=(a+b)')。 14、柯西不等式 等号成立的条件为(C)。 A、 i=1,2…nB、 =0i=1,2…nC、 = =…= 15、整环中因式分解不是唯一的例子是(R= |a,b 4=2 2=(1+ )(1- ))。 16、 是有理数环上的(A)。 A、代数元B、超越元 17、n个数码的扰乱排列总数为(n! (1-1+ +…(-1) ))。 18、在剩余类环 中不可逆的元素为( )。 19、有理系数n次多项式在有理数域内(B)。 A、最少有n个根B、最多有n个根C、最少有一个根D、没有根 20、从n个元素中取n+1个元素(允许重复取)有(C )种方法。 21、不可约元素的定义为(a=b×c b或者c是可逆元)。 22、由n个数码中取n+1个数码(允许重复取)有(C =C )种方法。 23、在剩余类环 中可逆的元素为( )。 24、柯西不等式 等号成立的条件为( = =……= )。 25、f(x)为上凸函数的定义为(f(q x +q x )≥q f(x )+q f(x ))。 二.计算题 1.已知x>0,y>0,z>0。 且满足3 + + =15求2x+3y+4z的极大值。 答: 2x+3y+4z=2••• x+3y+4z≤(2 +3 +4 )(3x +y +z )=29×15=435 2x+3y+4z极大值为435 2.若0 其中 =1,i=1,2,…n 答: f(x)=x 0 x ) ≥ x 3.上12阶台阶,每次可上一阶或二阶,共有多少种不同的上法 答: f(n)=f(n-1)+f(n-2)f (1)=1f (2)=2f(11)=144 4.求出1---10000中,能被3,或5,或7整除的自然数共有多少个? 答: =3333 =2000 =1428 = =666 =476 = =285 = =95 3333+2000+1428-666-476-285+95=5429 5.若环R={ |m∈Z,k∈Z}找出所有可逆元素和不可约元素。 答: 可逆元素 K为整数不可约元素 P≠2的素数 6.若数域F含有无穷多个元素,求证: 域F上的两个多项式f(x)与g(x)相等的代数定义与分析定义是一致的。 答: 代数相等 分析相等 反之若 Ff( )=g( )f(x)=Q x +……+Q g(x)=b x +……+b 则f(x)-g(x)=(a -b )x +……+(a -b )有无穷多个根 a =b 7.令 为正有理数集合,若规定 问 (1){ }是否构成代数体系,是否满足结合律。 答: 构成代数体系,但不满足结全律 (2){ }是否构成代数体系,是否满足结合律。 答: • 不构成代数体系 8.分别利用归纳法与反归纳法证明n个数的算术平均值大于等于这n个数的几何平均值。 答: n=2成立设k=n成立 S = S = S = ≥ K=n-1时命题成立 9.求证整数环是主理想环。 答: 证明若I是Z的理数 设a为I中最小正数 若a=1则I=Z若a=1对I中任意元素b b=a×q+rr I r=0 b=aq I=(a)即Z为主理 10.举出一个整环例子,在这个环中因式分解不是唯一的,且有的不可约元素不是素元素(这里要说明整环为什么是整环,且该元素为什么是不可约元素)。 答: R= |a,b, 分解不是唯一的4=2×2=(1+ )(1- ) 2是不可约元素,但不是素元素 11.求从不大于1000中,能被3,或5,或11整除的自然数
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- 代数 学期末 考试题
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