八年级数学竞赛例题专题相对相称对称分析法.docx
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八年级数学竞赛例题专题相对相称对称分析法
八年级数学竞赛例题专题-相对相称—对称分析法
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 专题26
相对相称—对称分析法
阅读与思考
当代美国数学家赫尔曼•韦尔指出:
对称尽管你可以规定其含义或宽或窄,然而从古到今都是人们用来理解和创造秩序、美妙以及尽善尽美的一种思想.许多数学问题所涉及的对象具有对称性(不仅包括几何图形中的对称,而且泛指某些对象在某些方面如图形、关系、地位等彼此相对又相称).
对称分析法就是在解题时,充分利用自身条件的某些对称性辅助解题的一种分析方法,初中阶段主要研究下面两种类型的对称:
.代数中的对称式
如果把一个多项式的任意两个字母互换后,所得的多项式不变就称这个多项式为对称式,对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同,任何一个复杂的二元对称式,都可以用最简单对称多项式,表示,一些对称式的代数问题,常用最简对称式表示将问题解决.
2.几何图形的对称
几何图形的对称指的是轴对称和中心对称,一些几何问题,如果我们作出图形的对称轴,或者作出已知点关于某线(某点)的对称点,构造出轴对称图形、中心对称图形,那么就能将分散的条件集中起来,容易找到解题途径.
例题与求解
【例l】如图,菱形ABcD的两条对角线分别长6和8,点P是对角线Ac上的一个动点,点m、N分别是边AB,Bc的中点,则Pm+PN的最小值是
.
解题思路:
作m关于Ac的对称点,连mN交Ac于点P,则Pm+PN的值最小.
【例2】已知,均为正数,且,求w=的最小值.
(北京市竞赛试题)
解题思路:
用代数的方法求w的最小值较繁,的几何意义是以a,b为边的直角三角形的斜边长,构造图形,运用对称分析法求出w的最小值.
【例3】已知,求证:
(四川省竞赛试题)
解题思路:
解决根式问题的基本思路是有理化,有理化的主要途径是:
乘方、配方、换元和引入有理化因式,引入与已知等式地位相对相称的有理化因式,本例可获得简证.
【例4】如图,凸四边形ABcD的对角线Ac,BD相交于o,且Ac⊥BD,已知oA>oc,oB>oD,
求证:
Bc+AD>AB+cD.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
解题思路:
解题的关键是将有关线段集中到同一三角形中去,以便运用三角形三边关系定理,以Ac为对称轴,将部分图形翻折.
【例5】如图,矩形ABcD中,AB=20厘米,Bc=10厘米,若在Ac、AB上各取一点m,N,使Bm+mN的值最小,求这个最小值.
(北京市竞赛试题)
解题思路:
要使Bm+mN的值最小,应该设法将折线Bm+mN拉直,不妨从作出B点关于Ac的对称点入手.
能力训练
.如图,六边形ABcDEF是轴对称图形,cF所在的直线是它的对称轴.若∠AFc+∠BcF=,则∠AFE+∠BcD的大小是
.
(第2题图)
(第3题图)
2.如图,矩形纸片ABcD中,AB=2,点E在Bc上,且AE=Ec,若将纸片沿AE折叠,点B恰好落在Ac上,则Ac的长是
.
3.如图,∠AoB=,P是∠AoB内一点,Po=10,Q,P分别是oA、oB上的动点,则△PQR周长最小值是
.
4.比大的最小整数是
.
(西安交通大学少年班入学试题)
5.如图,已知正方形ABcD的边长为3,E在Bc上,且BE=2,P在BD上,则PE+Pc的最小值为(
).
A.
B.
c.
D.
6.观察下列平面图形,其中是轴对称图形的有.
A.1个
B.2个
c.3个
D.4个
7.如图,一个牧童在小河南4英里处牧马,河水向正东方流去,而他正位于他的小屋西8英里北7英里处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家,他能够完成这件事情所走的最短距离是(
).
A.英里
B.16英里
c.17英里
D.18英里
(美国中学生竞赛试题)
(第7题图)
(第8题图)
8.如图,等边△ABc的边长为2,m为AB中点,P为Bc上的点,设PA+Pm的最大值和最小值分别为S和L,则等于(
)
A.
B.
c.
D.
9.一束光线经三块平面镜反射,反射的路线如图所示,图中字母表示相应的度数,已知=,求与的值.
(江苏省竞赛试题)
10.求代数式的最小值.
(“希望杯”邀请赛试题)
11.在一平直河岸同侧有两个村庄,到的距离分别是3km和2km,
.现计划在河岸上建一抽水站,用输水管向两个村庄供水.
方案设计
某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:
图1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为,且(其中于点);图2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为,且(其中点与点关于对称,与交于点).
观察计算
(1)在方案一中,
km(用含的式子表示);
(2)在方案二中,组长小宇为了计算的长,作了如图13-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算,
km(用含的式子表示).
探索归纳
(1)①当时,比较大小:
(填“>”、“=”或“<”);
②当时,比较大小:
(填“>”、“=”或“<”);
(2)对(当时)的所有取值情况进行分析,要使铺设的管道长度较短,应选择方案一还是方案二?
12.如图,已知平面直角坐标系中,A,B两点的坐标分别为A(2,-3),B(4,-1)
(1)若P(,0)是轴上的一个动点,当△PAB的周长最短时,求的值;
(2)若c(,0),D(,0)是轴上的两个动点,当四边形ABDc的周长最短时,求a的值;
(3)设m,N分别为轴和y轴上的动点,问:
是否存在这样的点m(,0)、N(0,),使四边形ABmN的周长最短?
若存在,求出,的值;若不存在,请说明理由.
3.在△ABc中,∠BAc=45°,AD⊥Bc于D,将△ABD沿AB所在的直线折叠,使点D落在点E处;将△AcD沿Ac所在的直线折叠,使点D落在点F处,分别延长EB、Fc使其交于点m.
(1)判断四边形AEmF的形状,并给予证明;
(2)若BD=1,cD=2,试求四边形AEmF的面积.
4.阅读下列材料:
小贝遇到一个有趣的问题:
在矩形ABcD中,AD=8cm,AB=6cm,现有一动点P按下列方式在矩形内运动:
它从A点出发,沿着AB边夹角为45的方向作直线运动,每次碰到矩形的一边,就会改变运动方向,沿着与这条边夹角为45的方向作直线运动,并且它一直按照这种方式不停地运动,即当P点碰到Bc边,沿着Bc边夹角为45的方向作直线运动,当P点碰到cD边,再沿着与cD边夹角为45的方向作直线运动…如图1所示,问P点第一次与D点重合前与边相碰几次,P点第一次与D点重合时所经过的路线的总长是多少?
小贝的思考是这样开始的:
如图2,将矩形ABcD沿直线cD折叠,得到矩形A1B1cD,由轴对称的知识,发现P2P3=P2E,P1A=P1E.
请你参考小贝的思路解决下列问题:
P点第一次与D点重合前与边相碰
次,P点从A点出发到第一次与D点重合时所经过的路径的总长是
cm.
进一步探究:
改变矩形ABcD中AD、AB的长,且满足AD>AB,动点P从A点出发,按照阅读材料中动点的运动方式,并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABcD相邻的两边上.若P点第一次与B点重合前与边相碰7次,则AB:
AD的值为
.
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