离散数学第三版屈婉玲课后习题答案.docx
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离散数学第三版屈婉玲课后习题答案
离散数学习题答案
习题一及答案:
(P14-15)
14、将下列命题符号化:
(5)李辛与李末是兄弟
解:
设p:
李辛与李末是兄弟,则命题符号化的结果是p
(6)王强与刘威都学过法语
pq
解:
设p:
王强学过法语;q:
刘威学过法语;则命题符号化的结果是
(9)只有天下大雨,他才乘班车上班
qp
解:
设p:
天下大雨;q:
他乘班车上班;则命题符号化的结果是
(11)下雪路滑,他迟到了
解:
设p:
下雪;q:
路滑;r:
他迟到了;则命题符号化的结果是
(pq)r
15、设p:
2+3=5.
q:
大熊猫产在中国.
r:
太阳从西方升起.
求下列复合命题的真值:
(pqr)((pq)r)
(4)
解:
p=1,q=1,r=0,
(pqr)(110)1
,
((pq)r)((11)0)(00)1
(pqr)((pq)r)111
19、用真值表判断下列公式的类型:
(pp)q
(2)
解:
列出公式的真值表,如下所示:
ppq
q
(pp)(pp)q
001111
011010
100101
110001
由真值表可以看出公式有3个成真赋值,故公式是非重言式的可满足式。
20、求下列公式的成真赋值:
(4)
(pq)q
解:
因为该公式是一个蕴含式,所以首先分析它的成假赋值,成假赋值的条件是:
p0
(pq)1
q0
q0
成真赋值有:
01,10,11。
所以公式的
习题二及答案:
(P38)
5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值:
(2)
(pq)(qr)
解:
原式
(pq)qr(pp)qr
qr
,此即公式的主析取范式,
mm
(pqr)(pqr)
37
所以成真赋值为011,111。
*6、求下列公式的主合取范式,并求成假赋值:
(2)
(pq)(pr)
解:
原式,此即公式的主合取范式,
M
(ppr)(pqr)(pqr)
4
所以成假赋值为100。
7、求下列公式的主析取范式,再用主析取范式求主合取范式:
(1)
(pq)r
解:
原式
pq(rr)((pp)(qq)r)
(pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pq)r(pqr
(pqr)(pq)r(pq)r(pq)r(pqr
,此即主析取范式。
mmmmm
13567
主析取范式中没出现的极小项为,,,所以主合取范式中含有三个极大项,,
MM
mmm
02
024
,故原式的主合取范式。
MMMM
4024
9、用真值表法求下面公式的主析取范式:
(1)
(pq)(pr)
解:
公式的真值表如下:
pppqpr
q
r
(pq)(pr)
0001000
0011011
0101101
0111111
1000101
1010101
1100101
1110101
由真值表可以看出成真赋值的情况有7种,此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析
取范式,故主析取范式
mmmmmmm
1234567
习题三及答案:
(P52-54)
11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。
前提:
pq,qr,rs,p
结论:
s
证明:
①p前提引入
②前提引入
pq
③q①②析取三段论
④前提引入
qr
⑤r③④析取三段论
rs
⑥前提引入
⑦s⑤⑥假言推理
15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理:
(2)前提:
(pq)(rs),(st)u
结论:
pu
证明:
用附加前提证明法。
①p附加前提引入
②①附加
pq
③前提引入
(pq)(rs)
rs
④②③假言推理
⑤s④化简
⑥⑤附加
st
⑦前提引入
(st)u
⑧u⑥⑦假言推理
故推理正确。
16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理:
rs
(1)前提:
,,
pqrq
结论:
p
证明:
用归谬法
①p结论的否定引入
②前提引入
pq
③①②假言推理
q
④前提引入
rq
⑤③④析取三段论
r
rs
⑥前提引入
⑦r⑥化简
⑧⑤⑦合取
rr
由于,所以推理正确。
rr0
17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明:
只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开,A就是谋杀嫌犯。
A曾到过受害者房间。
如果A在11点以前离开,看门人会看见他。
看门人没有看见他。
所以,A是谋杀嫌犯。
解:
设p:
A到过受害者房间,q:
A在11点以前离开,r:
A是谋杀嫌犯,s:
看门人看见
过A。
s
则前提:
,,,
pqs
(pq)r
结论:
r
证明:
①前提引入
qs
s
②前提引入
③①②拒取式
q
④前提引入
p
⑤③④合取引入
pq
⑥前提引入
(pq)r
⑦⑤⑥假言推理
r
习题四及答案:
(P65-67)
5、在一阶逻辑中将下列命题符号化:
(2)有的火车比有的汽车快。
解:
设F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
xy(F(x)G(y)H(x,y))
(3)不存在比所有火车都快的汽车。
解:
方法一:
设F(x):
x是汽车,G(y):
y是火车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
x(F(x)y(G(y)H(x,y)))
或
方法二:
设F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y快;则命题符号化的结果是:
x(G(x)y(F(y)H(x,y)))
xy(G(x)(F(y)H(x,y)))
或
9、给定解释I如下:
(a)个体域为实数集合R。
a0
(b)特定元素。
f(x,y)xy,x,yR
(c)函数。
F(x,y):
xy,G(x,y):
xy,x,yR
(d)谓词。
给出以下公式在I下的解释,并指出它们的真值:
xy(F(f(x,y),a)G(x,y))
(2)
xy(xy0xy)
解:
解释是:
,含义是:
对于任意的实数x,y,若x-y=0则x 该公式在I解释下的真值为假。 14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式: x(F(x)y(G(y)H(x,y))) (1) I 解: 取解释如下: 个体域为全总个体域, F(x)H(x,y) G(y) : x是兔子,: y是乌龟,: x比y跑得快,则该公式在解释I下真值是1; '' II H(x,y) 取解释如下: : x比y跑得慢,其它同上,则该公式在解释下真值是0; 故公式 (1)既不是永真式也不是矛盾式。 此题答案不唯一,只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。 习题五及答案: (P79-81) 5、给定解释I如下: (a)个体域D={3,4} f(x): f(3)4,f(4)3 (b) F(x,y): F(3,3)F(4,4)0,F(3,4)F(4,3)1 (c) 试求下列公式在I下的真值: xyF(x,y) (1) 解: 方法一: 先消去存在量词 xyF(x,y)x(F(x,3)F(x,4)) (F(3,3)F(3,4)F)((4F,3) (01)(10) 1 15、在自然推理系统中,构造下面推理的证明: N (3)前提: , x(F(x)G(x))xG(x) 结论: xF(x) 证明: ①前提引入 xG(x) ②①置换 xG(x) ③②UI规则 G(c) ④前提引入 x(F(x)G(x)) ⑤④UI规则 F(c)G(c) ⑥③⑤析取三段论 F(c) ⑦⑥EG规则 xF(x) *22、在自然推理系统中,构造下面推理的证明: N (2)凡大学生都是勤奋的。 王晓山不勤奋。 所以王晓山不是大学生。 解: 设F(x): x为大学生,G(x): x是勤奋的,c: 王晓山 则前提: , x(F(x)G(x))G(c) 结论: F(c) 证明: ①前提引入 x(F(x)G(x)) ②①UI规则 F(c)G(c) ③前提引入 G(c) ④②③拒取式 F(c) 25、在自然推理系统中,构造下面推理的证明: N 每个科学工作者都是刻苦钻研的,每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。 王大海是科学工作者,并且是聪明的。 所以,王大海在他的事业中将获得成功。 (个体域为人 类集合) 解: 设F(x): x是科学工作者,G(x): x是刻苦钻研的,H(x): x是聪明的,I(x): x在他的事 业中获得成功,c: 王大海 则前提: ,, x(F(x)G(x))x(G(x)H(x)I(x))F(c)H(c) 结论: I(c) 证明: ①前提引入 F(c)H(c) ②①化简 F(c) ③①化简 H(c) ④前提引入 x(F(x)G(x)) ⑤④UI规则 F(c)G(c) ⑥②⑤假言推理 G(c) ⑦③⑥合取引入 G(c)H(c) ⑧前提引入 x(G(x)H(x)I(x)) ⑨⑧UI规则 G(c)H(c)I(c) ⑩⑦⑨假言推理 I(c) 习题六及答案(P99-100) 28、化简下述集合公式: ((AB)C)((AB)C)((AB)C)((AB)C) (3) ((AB)C)((AB)C)((AB)C)((AB)C) 解:
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