数值分析课后题答案.docx
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数值分析课后题答案数值分析课后题答案第二章2.当X1,1,2时,f(x)解:
X01,X11,X20,f(X1)f(Xo)2,3,f(X2)12(X)(XX1)(XX2)(X0X1)(X0X2)(XX0)(XX2)(X1X0)(X,X2)(XX0)(XX1)lo(X)li(x)(X2Xo)(X2X1)则二次拉格朗日插值多项式为2L2(x)ykik(x)k06设
(1)证明
(1)数值分析0,3,4,求f(X)的二次插值多项式。
4;1-(X1)(x2)23(x3l0(x)4l2(x)14-(X1)(x2)-(X2352-X637-X一231)(x1)(x1)(x2)1)1)Xj,J0,1,Ln为互异节点,求证:
Xjklj(X)Xkj0(k0,1L,n);(Xjx)klj(x)00(k0,1,L,n);令f(x)xk若插值节点为xJ,J0,1,L,n,nk则函数f(X)的n次插值多项式为J(x)xklj(x)。
j0插值余项为Rn(x)f(x)Ln(x)(n1)!
n1(X)又Qkn,f(n1)()Rn(x)0nxklj(x)j0xk(k0,1,L,n);n(Xjx)klj(x)j0nn(C?
xj(x)ki)lj(x)j0i0nnikiiCk(X)(Xjlj(x)i0又Q0in由上题结论可知nxflj(x)j0原式i(XX)k0i,、kiiCk(x)x得证。
7设f(X)2C2a,b且f(a)f(b)0,求证:
maxf(x)axb-(ba)maxf(x).8axb解:
令X0a,Xib,以此为插值节点,则线性插值多项式为xx,f(x10)x0x1f(a)Tabf(b)-axa又Qf(a)f(b)0Li(x)01插值余项为R(x)f(x)l_1(x)-f(x)(xx0)(xx,)又Q(xX0)(xXi)若截断误差不超过106,&(x)|106Vs436eh1027h0.0065.解:
根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。
yn2n44yn(E1)yn(j04(j04(j01)j1)j1)j(21)4ynE4jyny4n24jynyn2n14yn(E21E2)4yn1(E2)4(E1)4ynE24ynyn2n16.f(x)X7X43x1,求F20,21,L,27及F20,21,L,28。
解:
Qf(x)X7X43x1若x2i,i0,1,L,8则fXo,Xi,L,Xnf(n)()n!
fXo,Xi,L,X7(7)()7!
7!
17!
fX0,X1,L,X8f(8)()8!
19.求一个次数不高于4次的多项式P(X),使它满足P(0)P(0)0,P
(1)P
(1)0,P
(2)解法一:
利用埃米尔特插值可得到次数不高于4的多项式X0,X11y。
0,y11m。
0,m,1H3(x)yjj(x)mjj(x)j0j0i(X)(3o(x)(121)(j)2XoXiXoXi(12x)(X1)2(121)(j2XiXoXiXo2x)x2其中,A为待定常数从而P(X)lx2(x3)2解法二:
采用牛顿插值,作均差表:
一阶均差二阶均差00111210-1/2又由得所以第四章1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:
解:
m的多项求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过式均能准确地成立,但对于m+i次多项式就不准确成立,进行验证性求解。
h(i)若(i)f(x)dxAif(h)Ajf(0)Af(h)hf(x)A1hAhh故hf(x)dxAif(h)A0f(0)Af(h)
(2)若2hf(x)dx2hA1f(h)AJ(0)A1f(h)令f(x)1,则4hA1A0A1令f(x)x,则0A1hAh令f(x)2x1632?
则一h3h2A1h2A134h3从而解得Ai8h38h3f(x)x32h2hf(x)dx2hx3dx02hAif(h)Aof(0)Af(h)02h2hf(x)dxAif(h)Aof(O)A1f(h)成立。
f(x)x4,则2h2hf(x)dx2h.x4dx2hAif(h)Aof(O)Af(h)1fh5故此时,2h2hf(x)dxAif(h)Aof(O)Af(h)因此,2h2hf(x)dxA1f(h)A0f(0)Af(h)具有3次代数精度。
(3)若11f(x)dxf
(1)2f(X1)3f(X2)/3f(x)11,则1f(x)dx2f
(1)2f(x,)3f(X2)/3f(x)2x13x2f(x)x2,则21222x13x2从而解得为0.2899亠或X?
0.5266XiX20.68990.1266令f(x)3x,则11f(x)dxx3dx01f
(1)2f(xi)3f(X2)/303f(x2)/3不成立。
因此,原求积公式具有2次代数精度。
(4)若0f(x)dxhf(O)f(h)/2ah2f(0)f(h)令f(x)1,则h0f(x)dxh,hf(0)f(h)/2ah2f(0)f(h)h令f(x)h0f(x)dxhxdx0Ih22hf(0)f(h)/22ahf(0)f(h)1h2令f(x),则h0f(x)dxhx2dx-h303hf(0)f(h)/2ah2f(0)f(h)132-h2ah2故有1h3132-h2ah2丄12f(x)x3,则h0f(x)dx3dx0hf(0)丄h4412f(h)/2-h2f(0)12f(h)2h44h41h44令f(x),则h4.1.5xdx-h0512hf(0)f(h)/212hf(0)h0f(x)dxf(h)1h551h5故此时,h0f(x)dxhf(0)f(h)/212h2f(0)f12h12因此,0f(x)dxhf(0)f(h)/2-h2f(0)f(h)(h),7。
若用复化梯形公式计算积分1IeXdx,问区间0,1应多少等分才能使截断误差不超过0106?
解:
采用复化梯形公式时,余项为R(f)ba2h2f12(),(a,b)eXdx0故f(x)ex,f(x)ex,a0,b1-h2f()12旦h2121106,则当对区间0,1进行等分时,h丄,若|RnfnRn(f)1因此,将区间476等分时可以满足误差要求第五章2.用改进的欧拉方法解初值问题取步长h=计算,并与准确解相比较。
近似解准确解近似解准确解3、解:
改进的欧拉法为1yn1jmXnyn)f(Xn1ynhf(Xnyn)同理,梯形法公式为表95xn改进欧拉yn|y(Xn)Ynl梯形法yn|y(xn)yn|0.10.0055000.00523809540.20.00.3374180361030.00.755132781100.30.030.030.40.00.658253078100.00.136648778100.50.70.80.9626081821030.1854596531030.1250716721020.2237384431030.1522916681020.253048087103可见梯形方法比改进的欧拉法精确。
4、用梯形方法解初值问题证明其近似解为并证明当时,它原初值问题的准确解。
证明:
梯形公式为解得以h为步长经n步运算可求得y(x)的近似值yn,故yn(|h10.证明解的下列差分公式是二阶的,并求出截断误差的首项。
代入得,截断误差首项为。
12.将下列方程化为一阶方程组:
1)
(1),其中。
2)
(2),其中。
第六早1、用二分法求方程的正根,要求误差小于.解设,故1,2为的有根区间.又,故当时,单增,当时单增.而,由单调性知的惟一正根.根据二分法的误差估计式知要求误差小于,只需,解得,故至少应二分6次.具体计算结果见表7-7.表7-7012-12+2+3-4-5-即.3、为求在附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
(1),迭代公式;
(2),迭代公式;(3),迭代公式.试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解取的邻域,来考察.
(1)当时”故迭代公式在上整体收敛.
(2)当时故在,上整体收敛.故发散.由于
(2)的L叫小,故取
(2)中迭代式计算.要求结果具有四位有效数字,只需取计算结果见表7-8.表7-8123456由于,故可取7、用下列方法求在附近的根.根的准确值,要求计算结果准确到四位有效数字
(1)用牛顿法;用弦截法,取;(3)用抛物线法,取.解,对
(1)取,用牛顿迭代法计算得,故.
(2)取,利用弦截法得”故取.(3).抛物线法的迭代式为迭代结果为:
已达四位有效数字.312.应用牛顿法于方程xa0,导出求立方根的迭代公式,并讨论其收敛性。
令,迭代公式为,则,所以,又,所以,因此迭代格式为线性收敛。
15、证明迭代公式是计算的三阶方法.假定初值充分靠近根,求证明记,则迭代式为且.由的定义,有对上式两端连续求导三次,得代依次入上三式,并利用,得所以由定理知,迭代公式是求的三阶方法且xx0f(X1)0xX01f(x)J(x)(xx0)(xXi)1故1f(x)dxf
(1)2f(x1)
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