梁的应力及强度计算.ppt

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第九章第九章梁的应力及强度计算梁的应力及强度计算v9-19-1纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力v9-29-2梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件v9-39-3梁的剪应力强度条件梁的剪应力强度条件v9-49-4提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施一、弯曲构件横截面上的应力一、弯曲构件横截面上的应力内力内力剪力剪力Q9-19-1纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力剪应力剪应力tt弯矩弯矩M正应力正应力ssMssmaxM0MMMM某段梁的内力只有弯矩没某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，横截面上只有正有剪力时，横截面上只有正应力，该段梁的变形称为纯应力，该段梁的变形称为纯弯曲。

如弯曲。

如AB段。

段。

PPaaAB纯弯曲纯弯曲:

MxPaPaQxPPPP横力弯曲：

横力弯曲：

某段梁的内力既有弯矩又某段梁的内力既有弯矩又有剪力时，横截面既有正应有剪力时，横截面既有正应力又有剪应力，则该段梁的力又有剪应力，则该段梁的变形称为横力弯曲。

变形称为横力弯曲。

试验与假设试验与假设1122cabd1122cabdMMMMMMMM假设假设假设假设平平面面假假设设单单向向受受力力假假设设中性层中性层：

构件内部既不伸长也不：

构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。

收缩的纤维层。

中性轴中性轴：

横截面与中性层的交线。

：

横截面与中性层的交线。

现象现象横横向向线线变变形形前前为为直直线线，变变形形后后仍仍为为直直线线，且且与与轴轴线线垂垂直直。

纵纵向向线线由由直直线线变变为为曲曲线线。

MMMMZy压缩区压缩区中性中性轴轴拉伸区拉伸区M0二、纯弯曲梁横截面上的应力公式二、纯弯曲梁横截面上的应力公式（弯曲正应力弯曲正应力）：

距中性轴距中性轴yy处的正应力处的正应力横截面上横截面上某点正应力某点正应力该点到中性轴该点到中性轴距离距离该截面弯矩该截面弯矩该截面对中性轴该截面对中性轴的惯性矩的惯性矩1、纯弯曲梁横截面上某一点的正应力与截面的弯矩和该点、纯弯曲梁横截面上某一点的正应力与截面的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，与截面对中性轴的惯性矩成反比。

到中性轴的距离成正比，与截面对中性轴的惯性矩成反比。

2、横截面上：

在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相、横截面上：

在与中性轴平行的一条直线上的各点应力相等。

等。

3、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。

、截面上与中性轴距离最远的点应力最大。

横截面上正应力的画法：

横截面上正应力的画法：

MssmaxMssmax弹性范围弹性范围正应力小于比例极限正应力小于比例极限；精确适用于纯弯曲梁；精确适用于纯弯曲梁；对对于于横横力力弯弯曲曲的的细细长长梁梁（跨跨度度与与截截面面高高度度比比L/h5）L/h5），上上述述公公式的误差不大。

式的误差不大。

公式适用范围：

公式适用范围：

矩矩形形截截面面三种典型截面对中性轴的惯性矩三种典型截面对中性轴的惯性矩实实心心圆圆截截面面截面为外径截面为外径D、内径内径d（aa=d/D）的空心圆的空心圆:

第九章梁的应力及强度计算v例、简支梁受均布荷载作用，例、简支梁受均布荷载作用，q=3.5kN/m,梁截面为矩形，梁截面为矩形，bh=120mm180mm,跨度跨度ll=3m.试计算跨中横截面上试计算跨中横截面上A、B、C三点处的正应力。

三点处的正应力。

qlABv解：

解：

11、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图+-Q图图M图图+2、计算应力计算应力18012050yyzoABCv例、简支梁受力如图，例、简支梁受力如图，P=15kN,a=2m,l=6m,截面为截面为No20b工字钢。

试计工字钢。

试计算梁内最大正应力。

算梁内最大正应力。

ABPPDCaal解解：

11、作剪力图、作剪力图和弯矩图和弯矩图+-PPQ图图+PaPaM图图v2、计算梁的最大应力计算梁的最大应力No20bIz=2500cm4H=200mmv截面上边缘有最大压应力，截面上边缘有最大压应力，下边缘有最大拉应力下边缘有最大拉应力v例、梁截面为例、梁截面为No10槽钢。

试计算悬槽钢。

试计算悬臂梁内最大拉应力和最大压应力。

臂梁内最大拉应力和最大压应力。

解解：

11、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图-2KNQ图图2、计算梁的最大应力计算梁的最大应力Iz=25.6104mm4,y1=15.2mm,y2=32.8mm由弯矩图可知上部受拉，下部受压由弯矩图可知上部受拉，下部受压最大拉应力在上边缘最大拉应力在上边缘最大压应力在下边缘最大压应力在下边缘ABq=2kN/m1myzy1y22KN2KN1KNm1KNmM图图1KNm1KNmABDC5m5m50kN30kN5m习题8-39解：

解：

1、求支座反力、求支座反力304010Q（KN）M（KNm）501502、求弯曲正应力、求弯曲正应力习题8-41ABPCQM解：

解：

1、求支座反力、求支座反力2、求弯曲正应力、求弯曲正应力习题9-1v10-110-1矩形截面简支梁如图，试求矩形截面简支梁如图，试求CC截面上截面上aa、bb、cc、dd四点处的正应力，四点处的正应力，并画出该截面上的正应力分布图。

并画出该截面上的正应力分布图。

ABDC0.5m0.5m1m6kNv解：

解：

、作梁的作梁的剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图+-Q图图3kN3kN+3kNmM图图CC截面的弯矩值为截面的弯矩值为MMcc=1.5kNm=1.5kNm、计算应力计算应力abcd20702070706.56MPa6.56MPa习题9-2v9-2、试求梁的最大正应试求梁的最大正应力及其所在位置。

力及其所在位置。

ABDC0.7m0.7m0.7m10kN10kN120200v解：

解：

、作梁的作梁的剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图+-Q图图10kN10kN+M图图7kNm、计算应力计算应力a）b）ABDC1.5m1.5m5kN10kN1.5mNo40av解：

解：

、作梁的作梁的剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图+-10kN7.5kN2.5kNQ图图15kNm3.25kNm-M图图、计算应力计算应力由弯矩图可知最大由弯矩图可知最大应力产生应力产生BB截面上截面上查表得工字形查表得工字形IIzz=2.1720=2.1720101088mmmm44习题9-3v倒倒T形梁受力情况及截面尺寸如图，形梁受力情况及截面尺寸如图，求最大拉应力和最大压应力之比，求最大拉应力和最大压应力之比，并说明分别发生在何处。

并说明分别发生在何处。

ABDC2m2m40kN10kN/m2m10kN/m2mE1505050200v解：

解：

、作梁的作梁的剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图-Q图图+20kN20kN20kN+M图图-20kNm20kNm20kNm、计算应力计算应力由弯矩图可知最大应力由弯矩图可知最大应力产生产生AA、DD或或BB截面上截面上ABDC2m2m40kN10kN/m2m10kN/m2mE1505050200-Q图图+20kN20kN20kN+M图图-20kNm20kNm20kNm9-29-2梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件梁的危险截面梁的危险截面梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上梁的危险截面在该梁内弯矩最大的截面上危险截面位于梁中部危险截面位于梁中部危险截面位于梁根部危险截面位于梁根部梁的最大正应力梁的最大正应力梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处梁的最大正应力发生在危险截面上离中性轴最远处一、梁的正应力强度条件一、梁的正应力强度条件MMmaxmax:

梁的最大弯矩；梁的最大弯矩；WWzz:

截面对中性轴截面对中性轴zz的抗弯截面系数，它反映了截的抗弯截面系数，它反映了截面尺寸和形状对弯曲构件强度的影响。

面尺寸和形状对弯曲构件强度的影响。

梁的正应力强度条件为：

梁的正应力强度条件为：

Wz的单位：

的单位：

mm3用脆性材料制成的梁，由于抗拉与抗压性能不同，即用脆性材料制成的梁，由于抗拉与抗压性能不同，即lyy，故采用上下不对称于中性轴的梁截面形状，故采用上下不对称于中性轴的梁截面形状，同一截面有两个抗弯系数，如图同一截面有两个抗弯系数，如图:

负弯矩情况下：

负弯矩情况下：

zzy1y2矩形截面矩形截面三种典型截面对中性轴的抗弯截面系数三种典型截面对中性轴的抗弯截面系数实心圆截面实心圆截面截面为外径截面为外径D、内径内径d（aa=d/D）的空心圆的空心圆:

二、梁的正应力强度计算二、梁的正应力强度计算1、强度校核强度校核:

2、截面设计截面设计:

3、确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载:

v例：

外伸梁受力、支承及截面尺寸如图。

材料的容许拉应力例：

外伸梁受力、支承及截面尺寸如图。

材料的容许拉应力L=32MPa,材料的容许压应力材料的容许压应力y=70MPa,试校核梁的正试校核梁的正应力强度应力强度.ABCDq=10kN/m2m1m3mP=20kN20kNm10kNmM图图zzy1y2解解：

11、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图BB截面截面CC截面截面梁的弯曲强度不够。

梁的弯曲强度不够。

木梁所受荷载如图所示，材料容许应力木梁所受荷载如图所示，材料容许应力=10MPa。

试设计如。

试设计如下三种截面尺寸，并比较用料量：

下三种截面尺寸，并比较用料量：

1、高宽比、高宽比h/b=2的矩形；的矩形；2、边长为边长为a的正方形；的正方形；3、直径为、直径为D的圆形。

的圆形。

10KN/m20KNABDC2m4m1m30KN30KN解解：

11、作剪力图和弯矩图、作剪力图和弯矩图201020202022、设计截面、设计截面矩形矩形正方形正方形圆形圆形33、比较用料量、比较用料量结论：

矩形截面最省料；圆形截面用料最多。

结论：

矩形截面最省料；圆形截面用料最多。

ZZZZ习题8-44解：

由弯矩图可知解：

由弯矩图可知查表得，查表得，NO.20bNO.20b工字钢工字钢梁的正应力强度够梁的正应力强度够ABDC5m5m50kN30kN5m习题8-46解：

解：

1、画剪力弯矩图、画剪力弯矩图304010Q（KN）M（KNm）501502、设计截面尺寸、设计截面尺寸v例：

如图例：

如图NO40a工字钢梁，跨度工字钢梁，跨度L=8m,跨中受集中力跨中受集中力P作用。

作用。

已知容许应力为已知容许应力为=140MPa,考虑梁的自重，求考虑梁的自重，求1、梁的容许荷载、梁的容许荷载P1;2、若将梁改用与工字钢截面面积相同的正方形截面，梁的容许、若将梁改用与工字钢截面面积相同的正方形截面，梁的容许荷载荷载P2;Pq4m4mNo40aaa解：

查表得解：

查表得1、按工字钢截面求容许荷载、按工字钢截面求容许荷载P1梁的最大弯矩在跨中截面梁的最大弯矩在跨中截面Pq4m4m2、按正方形截面求容许荷载、按正方形截面求容许荷载P2正方形截面面积正方形截面面积正方形截面抗弯截面系数正方形截面抗弯截面系数一、合理配置梁的荷载和支座一、合理配置梁的荷载和支座1、将将荷荷载分散载分散2、合合理理设设置支座位置置支座位置9-49-4提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施Pl/2ABl/2CPl/4ABl/4l/4l/4D+Pl/4M图+Pl/8M图Pl/8qlABql2/8M图+q3l/5ABl/5l/5M图+-ql2/40ql2/50ql2/50返返返返回回回回二、合理选取截面形状二、合理选取截面形状从从弯弯曲曲强强度度考考虑虑，比比较较合合理理的的截截面面形形状状，是是使使用用较较小小的的截截面面面面积积，却却能能获获得得较较大大抗抗弯弯截截面面系系数数的的截截面面。

在在一一般般截截面面中中，抗抗弯弯截截面面系系数数与与截截面面高高度度的的平平方方成成正正比比。

因因此此，当当截截面面面面积积一一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。

定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。

第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回矩形矩形圆形圆形工字形工字形面积相同时：

工字形优于矩形，矩形优于正方形；面积相同时：

工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。

环形优于圆形。

同时应尽量使拉、压应力同时应尽量使拉、压应力同时同时达到最大值。

达到最大值。

ssmaxssmin三、等强度梁三、等强度梁Pl/2ABl/2+Pl/4M图AB2m2m2m1KN2KNM1ABF1F2F3F430AB2aaABaaaPP45OF1F2F3F4M1M2M3DGNBCBAXAYA2m2m2m2m2mOq20KN/mABCDE11习题9-6v一根由一根由No22bNo22b工字钢制成的外伸梁。

工字钢制成的外伸梁。

承受均布荷载如图。

已知承受均布荷载如图。

已知l=6m若要使若要使梁在支座梁在支座AA、BB和跨中和跨中CC处截面上的最大处截面上的最大正应力都为正应力都为=170MPa=170MPa，问悬臂的长度问悬臂的长度aa和荷载集度和荷载集度qq各是多少？

各是多少？

qlABaaCNo22bv解：

解：

、作梁的弯矩图作梁的弯矩图-+9-39-3梁剪应力强度条件梁剪应力强度条件一一、矩形梁横截面上的剪应力、矩形梁横截面上的剪应力1、公式推导：

、公式推导：

n1mn2m1ze11111ye2e1x2112dxbAyyxxdxxM+dMMQQssss+dssttmnmmdxxttyttA第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回一、矩形截面梁上的剪应力一、矩形截面梁上的剪应力对于如图所示，高度对于如图所示，高度hh宽度宽度bb的矩的矩形梁，截面上的剪力形梁，截面上的剪力QQ沿沿yy轴。

轴。

对剪应对剪应力力的分布作如下假设的分布作如下假设9-39-3梁剪应力强度条件梁剪应力强度条件11、横截面上各点处的剪应力、横截面上各点处的剪应力与剪力与剪力QQ平行平行22、横截面上距中性轴等距离各点处的剪应、横截面上距中性轴等距离各点处的剪应力大小相等。

力大小相等。

v剪应力的计算公式为剪应力的计算公式为横截面上距中性轴横截面上距中性轴为为y处的剪正应力处的剪正应力该截面上该截面上的剪力的剪力横截面上距中性轴横截面上距中性轴为为y处以上一侧的处以上一侧的部分截面面积对部分截面面积对中性轴的静矩中性轴的静矩需求剪应力处的需求剪应力处的截面的宽度截面的宽度横截面中性轴的惯性矩横截面中性轴的惯性矩yzAqqybbh/2h/2h/2h/2对于矩形横截面上的切应力分布。

对于矩形横截面上的切应力分布。

代入剪应力公式代入剪应力公式：

切应力切应力tt呈图示的呈图示的抛物线分布抛物线分布，在最边缘处为零在最边缘处为零在中性轴上最大，在中性轴上最大，其值为：

其值为：

第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回yzAqqybbh/2h/2h/2h/2二、工字形截面梁上的切应力二、工字形截面梁上的切应力腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：

腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：

式中：

式中：

b为腹板厚度为腹板厚度三、薄壁环形截面梁上的切应力三、薄壁环形截面梁上的切应力假设假设：

1、切应力沿壁厚无变化；、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切、切应力方向与圆周相切式中：

式中：

A为圆环截面面积为圆环截面面积四、圆截面梁上的切应力四、圆截面梁上的切应力式中：

式中：

A为圆截面面积为圆截面面积对于对于等直杆等直杆，最大切应力的统一表达式为：

，最大切应力的统一表达式为：

第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回五、梁的切应力强度条件五、梁的切应力强度条件与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：

与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作：

1、强度校核强度校核，2、截面设计，截面设计，3、确定梁的许可荷载确定梁的许可荷载但通常用于但通常用于校核校核。

特殊的特殊的：

1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；、梁的最大弯矩小，而最大剪力大；2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值；3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。

、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。

需进行切应力强度计算。

需进行切应力强度计算。

第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回T形梁尺寸及所受荷载如图所示形梁尺寸及所受荷载如图所示,已知已知ssy=100MPa，ssL=50MPa，tt=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2104mm4。

求：

求：

1）C左侧截面左侧截面E点的正应力、点的正应力、切应力；切应力；2）校核梁的正应力、切应力强度条件。

校核梁的正应力、切应力强度条件。

CAB40401010yc1Q0.250.75（kN）_+M（kN.m）0.250.5+_第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回例该梁满足强度要求该梁满足强度要求第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回图示图示TT形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力30MPa30MPa，许用许用压应力压应力60MPa60MPa，截面尺寸如图。

截面对形心轴截面尺寸如图。

截面对形心轴zz的惯性矩的惯性矩IIzz763mm763mm44，且且yy11=52cm=52cm。

试校核梁的强度。

试校核梁的强度。

分析分析：

11、画出梁的弯矩图（确定最、画出梁的弯矩图（确定最大弯矩及其所在截面）大弯矩及其所在截面）22、求出梁的最大拉应力和最、求出梁的最大拉应力和最大压应力值大压应力值33、校核强度、校核强度解：

11、求支座反力：

、求支座反力：

RRAA=2.5kN=2.5kN；RRBB=10.5kN=10.5kN，画出弯矩图如画出弯矩图如b）b），最大正弯矩在最大正弯矩在CC点，点，最大负弯矩在最大负弯矩在BB点，即：

点，即：

CC点为上压下拉，而点为上压下拉，而BB点为上点为上拉下压RARB例2、求出求出BB截面最大应力截面最大应力最大拉应力（上边缘）最大拉应力（上边缘）：

最大压应力（下边缘）最大压应力（下边缘）：

33、求出、求出CC截面最大应力截面最大应力最大拉应力（下边缘）最大拉应力（下边缘）：

最大压应力（上边缘）最大压应力（上边缘）：

由计算可见：

由计算可见：

最大拉应力在最大拉应力在CC点且点且CmaxCmax=28.83MPa=28.83MPa=30MPa=30MPa最大压应力在最大压应力在BB点且点且BmaxBmax=46.13MPa=46.13MPat的的条条件件下下，p与与sst相相比比很很小小可可略略去去不不计，故主应力为：

计，故主应力为：

第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回钢材在这种应力状态下会发生屈服失效钢材在这种应力状态下会发生屈服失效按第四强度理论有：

按第四强度理论有：

可以看出，第三强度理论较第四强度理论可以看出，第三强度理论较第四强度理论偏向安全一方。

偏向安全一方。

按第三强度理论有：

按第三强度理论有：

第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回例例三三图示一图示一T型截面的铸铁外伸梁，试用摩尔强度理论校型截面的铸铁外伸梁，试用摩尔强度理论校核核B截面胶板与翼缘交界处的强度。

铸铁的抗拉和抗压许用应截面胶板与翼缘交界处的强度。

铸铁的抗拉和抗压许用应力分别为力分别为ssl=30MPa，ssy=160MPa。

52208020120zO1m1mB9kNA1m4kNttss解：

由上图易知，解：

由上图易知，B截面：

截面：

M=-4kNM，Q=-6.5kN。

根据截面尺寸求得：

根据截面尺寸求得：

从而算出：

从而算出：

第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回三、力系三、力系合力：

合力：

若一个力和一个力系若一个力和一个力系等效等效，则这个力就称，则这个力就称为该力系的为该力系的合力合力；力系中的每个力就称为力；力系中的每个力就称为力系的系的分力分力；将一个复杂力系简化为一个简单力系或一将一个复杂力系简化为一个简单力系或一个力的过程，称为个力的过程，称为力系的简化力系的简化。

q力系的分类：

力系的分类：

平面力系：

力的作用线均在同一个平面力系：

力的作用线均在同一个平面平面内内汇交力系：

力的作用线汇交于一点；汇交力系：

力的作用线汇交于一点；平行力系：

力的作用线相互平行；平行力系：

力的作用线相互平行；一般力系：

力的作用线既不完全汇交，又不完全平行；一般力系：

力的作用线既不完全汇交，又不完全平行；空间力系空间力系汇交力系汇交力系平行力系平行力系一般力系一般力系返返返返回回回回第一章第一章静力基本公静力基本公理理由于铸铁的抗拉、压强度不等，应使用莫尔准则，有：

由于铸铁的抗拉、压强度不等，应使用莫尔准则，有：

故满足摩尔理论的要求。

故满足摩尔理论的要求。

在截面在截面B上，翼缘上，翼缘b点的应力状态如上图所示。

求出主应点的应力状态如上图所示。

求出主应力为：

力为：

第九章梁的应力及强度计算返返返返回回回回