概率论与数理统计(慕课版)第1章-随机事件与概率.pptx
- 文档编号:30871262
- 上传时间:2024-09-13
- 格式:PPTX
- 页数:123
- 大小:1.99MB
概率论与数理统计(慕课版)第1章-随机事件与概率.pptx
《概率论与数理统计(慕课版)第1章-随机事件与概率.pptx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《概率论与数理统计(慕课版)第1章-随机事件与概率.pptx(123页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
概率论与数理统计(慕课版)主讲教师|大家好!
欢迎来到人民邮电出版社与山东大学数学院联合制作的概率论与数理统计慕课课堂!
从今天开始,我们学习概率论与数理统计这门课程。
概率论与数理统计是研究随机现象数量规律的一门学科,是近代数学的重要组成部分。
其理论与方法已广泛应用于电子通讯、工业制造、航空航天、石油勘探、经济管理、医疗卫生等各个领域。
近几年兴起的大数据分析更加体现了它的应用价值。
法国数学家拉普拉斯说:
“生活中最重要的问题,其中绝大多数在实质上只是概率的问题。
”概率论与数理统计(慕课版)2概率论与数理统计课程是理工类各专业的重要的基础理论课程,在高等学校人才培养中占有非常重要的地位。
因此学好这门课程是十分必要的。
下面让我们一同开启概率论与数理统计的神秘之门!
概率论与数理统计(慕课版)3主讲教师|导学概率论与数理统计(慕课版)第1章随机事件与概率研究对象?
研究内容?
概率论与数理统计第1章随机事件与概率5第1章随机事件与概率一、确定性现象与随机现象自然界和人类社会中出现的种种现象,按照条件和结果的相互关系,大致上可分成两类:
1.确定性现象在一定条件下,必然出现某种结果的现象称为确定性现象.例如
(1)水从高处(条件)流向低处(结果).6第1章随机事件与概率
(2)一个磁铁的“N”极与另一个磁铁的“S”极靠近(条件),则两磁铁相互吸引(结果).(3)一个磁铁的“N”极与另一个磁铁的“N”极靠近(条件),则两磁铁相互排斥(结果).确定性现象的特点:
条件完全决定结果,结果唯一.7研究对象第1章随机事件与概率2.随机现象在一定条件下,可能出现不同结果的现象称为随机现象.例如
(1)投掷一枚均匀的硬币(条件),可能出现正面,也可能出现反面(结果).
(2)投一个骰子(条件),可能出现“1”点到“6”点之中的某一个,但不能事先确定出现哪个点(结果).8第1章随机事件与概率(3)下周的股市(条件)可能上涨,也可能下跌(结果).随机现象的特点:
条件不能决定结果,结果不唯一.当今世界充满了不确定性,世界政治、经济以及我们生活的各个方面都存在不确定性.9随机现象是不是没有规律可言?
否!
在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.第1章随机事件与概率试验表明:
尽管“出现正面”这个结果具有偶然性,但随着试验次数的增多,“出现正面”的“可能性”越来接近于常数0.5.这个性质称为“频率的稳定性”.历史上的几位数学家抛硬币的试验,观察出现正面的情况试验者投掷次数正面次数正面频率De.Morgan204810610.518Buffon404020480.5069K.Person1200060190.5016K.Person24000120120.5005例如10研究内容从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现,在大量的偶然之中存在着必然的规律.这种随机现象所呈现出的固有规律性,称为随机现象的统计规律性.第1章随机事件与概率二.随机现象的统计规律性概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门学科.11随机现象概率统计的研究内容随机现象的统计规律性概率统计的研究方法随机试验请进入第一讲随机事件第1章随机事件与概率概率统计的研究对象如何研究随机现象的规律性?
12主讲教师|第1讲随机事件概率论与数理统计(慕课版)第1章随机事件与概率13随机现象概率统计的研究内容随机现象的统计规律性概率统计的研究方法随机试验概率统计的研究对象第1讲随机事件14如何研究随机现象的规律性?
本章内容01随机试验与样本空间随机事件随机事件的关系与运算0203随机现象的规律性是通过大量试验呈现出来的,为了研究这种规律性,我们需要对随机现象进行调查、观察或试验.这类工作我们统称为“随机试验”,简称为“试验”,用E表示.)随机试验具有下列三个特点:
试验可以在相同的条件下重复进行;试验的所有结果明确可知,并且不止一个;每次试验只能出现一个结果,事先不能确定.01随机试验与样本空间12316给微信好友发消息,观察对方是否回复;检验10件产品,记录其中的次品数;调查某收银台一天内使用移动支付的次数;研究某品牌电脑的使用寿命.随机试验具有下列三个特点:
试验可以在相同的条件下重复进行;试验的所有结果明确可知,并且不止一个;每次试验只能出现一个结果,事先不能确定.123例如1701随机试验与样本空间样本空间随机试验E所有可能的结果组成的集合.记为S或研究某品牌电脑的使用寿命.给微信好友发消息,观察对方是否回复检验10件产品,记录其中的次品数调查某收银台一天内使用移动支付的次数例如研究随机现象时,第一步就是建立样本空间.1801随机试验与样本空间本章内容02随机试验与样本空间随机事件随机事件的关系与运算031901随机事件样本空间的子集,记为A,B,基本事件仅由一个元素(样本点)组成的子集,每次试验必定发生且只可能发生一个的结果.必然事件每次试验必定发生的事件,即样本空间S.复合事件由若干个基本事件组成的随机事件.不可能事件每次试验必定不发生的事件,记为.例:
抛骰子2002随机事件AS文氏图(Venndiagram)21在一般情况下,事件的关系是怎样的呢?
事件是样本空间的子集,因此,事件的关系和运算与集合的关系和运算是完全相似的.这里需要强调的是,要学会利用概率论的语言来解释这些关系及其运算.02随机事件本章内容01随机试验与样本空间随机事件随机事件的关系与运算0203A=BSA23
(1)
(2)它表示事件A发生,则事件B一定发生.抛一枚骰子中的随机试验中例如它表示:
事件A与事件B的样本点完全相同.03随机事件的关系和运算ABS24事件的和(并)AB事件A与事件B的样本点合在一起构成的事件.它表示:
“事件A与事件B至少有一个发生”.(3)考察某同学期末考试的成绩情况.A=英语及格,B=高数及格.AB=英语及格或高数及格,它表示英语、高数至少有一门及格.例如推广1推广203随机事件的关系和运算AB25事件的积(交)AB或AB表示事件A与事件B共有的样本点构成的事件.它表示:
“事件A与事件B同时发生”.(4)例如考察某同学期末考试的成绩情况.A=英语及格,B=高数及格.AB=英语及格,高数也及格,它表示英语、高数两门课都及格.例如推广1推广203随机事件的关系和运算考察电视机的使用寿命t(:
h).A=t|t3000.B=t|t10000,AB=t|3000t10000.则事件A与B互不相容例如(7)03随机事件的关系和运算对应事件运算集合运算运算顺序逆交和差括号优先28运算规律03随机事件的关系和运算29典型例题利用事件的关系和运算可表达复杂事件03随机事件的关系和运算A,B,C不都发生3003随机事件的关系和运算31例解如右图所示的电路中,设事件A、B、C分别表示开关a、b、c闭合,用A、B、C表示事件“指示灯亮”及事件“指示灯不亮”.03随机事件的关系和运算第1讲随机事件32这一讲我们学习了随机事件以及事件间的关系与运算,利用这些关系与运算,我们可以用简单事件去表示复杂事件,从而利用简单事件的概率得到复杂事件的概率.下一讲我们介绍一类简单概率模型古典概型.主讲教师|第2讲古典概率与几何概率概率论与数理统计(慕课版)第1章随机事件与概率01本章内容古典概率几何概率02在概率论发展的历史上,最早研究的一类最直观、最简单的问题是等可能摡型,在这类问题中,样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.q基本事件的个数有限q每个基本事件等可能性发生具有上述特点的随机试验E称为古典(等可能)概型.有限性等可能性02古典概率抛掷一枚均匀的硬币,或抛掷一颗均匀的骰子,这类随机试验,它们都有如下的两个特点:
例如35则概率的古典定义设随机试验E为古典概型,记对古典概率的计算可以转化为对样本点的计数问题,该问题通常可以借助排列组合公式以及加法和乘法原理等进行计算.02古典概率1.古典概率36从n个不同元素中任取k个的不同排列总数从n个不同元素中任取k个的不同组合总数02古典概率
(1)加法原理
(2)乘法原理(3)排列公式(4)组合公式37设有N件产品,其中有M件次品,现从这N件中任取n件,求其中恰有k件次品的概率.令A=恰有k件次品超几何公式02古典概率例解典型例题38无放回和有放回答案相同!
简单理解是“抽签理论或排队理论”:
如10个充电器含3个快充,每次抽中快充的概率都是3/10,与次序无关!
口袋中a只黑球,b只白球随机地一只一只抽取,求第k次摸得黑球的概率快充普充
(1)有放回抽取:
(2)不放回抽取:
02古典概率例39把球编号,按抽取次序把球排成一列,样本点总数就是a+b个球的全排列数(a+b)!
事件A相当于在第k位放黑球,共有a种放法,每种放法又对应其它a+b1个球的(a+b1)!
种放法,故事件A包含的样本点数为a(a+b1)!
只考虑前k个位置共a+b个次序,总数:
从a+b个次序里边挑a个给黑球。
事件A的次数:
把第k个位置放黑球,剩下a+b-1个位置,挑a-1个给黑球02古典概率口袋中a只黑球,b只白球随机地一只一只抽取,例
(2)不放回抽取解法1解法2解法3求第k次摸得黑球的概率40设有k个不同的球,每个球等可能地落入N个盒子中(),设每个盒子容球数无限,求下列事件的概率:
(1)某指定的k个盒子中各有一球;(3)恰有k个盒子中各有一球.02古典概率
(2)某指定的一个盒子恰有m个球()例(分房模型)41
(1)某指定的k个盒子中各有一球(3)恰有k个盒子中各有一球每个盒子至多一球02古典概率解
(2)某指定的一个盒子恰有m个球()42某班级有k(k365)个人,求k个人的生日均不相同的概率.问:
如何求“至少有两人同生日”的概率?
恰有k个盒子中各有一球下一讲揭晓02古典概率例“分房模型”的应用43古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型,但等可能概型还有其它类型,如样本空间为一线段、平面或空间区域等,这类等可能概型称为几何概型,思路如下:
设样本空间S是平面上某个区域,它的面积记为(S);S02古典概率几何概型(古典概型的推广)
(1)44该点落入S内任何部分区域内的可能性只与这部分区域的面积成比例,而与这部分区域的位置和形状无关.S向区域S上随机投掷一点“随机投掷一点”的含义是:
02古典概率
(2)45设事件A是S的某个区域,它的面积为(A),则向区域S上随机投掷一点,该点落在区域A的概率为SA02古典概率(3)46假如样本空间S可用一线段,或空间中某个区域表示,并且向S上随机投掷一点的含义如前述,则事件A的概率仍可用确定,只不过把理解为长度或体积即可.02古典概率(3)47本章内容01古典概率几何概率0202设样本空间为有限区域S,若样本点落入S内任何区域A中的概率与区域A的测度成正比,则样本点落入A内的概率为02几何概率2.几何概率49利用几何概型计算利用均匀分布计算(第三章)在区间(0,1)中随机地取两个数,求这两个数之差的绝对值小于1/2的概率.A1/211Oyx约会问题02几何概率典型例题解法1解法250几何概型的概率计算的关键是将样本空间和随机事件用正确的图形表示出来.几何图形的度量主要是长度,面积或体积等,经常运用积分等工具去求解.古典概型是最简单的一种概率模型,要掌握好古典概型,必须学好排列组合公式.会利用排列组合公式去求样本点总数和事件包含的样本点个数.51第2讲古典概率与几何概率知识点解读知识点解读古典概型与几何概型古典概型与几何概型主讲教师|第3讲概率的公理化定义与运算性质概率论与数理统计(慕课版)第1章随机事件与概率本章内容01概率的公理化定义概率的运算性质02历史上概率的三次定义公理化定义统计定义古典定义概率的最初定义基于频率的定义1933年由苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出什么是概率?
01概率的公理化定义研究随机现象,我们不仅要关心会出现哪些事件,更关心这些事件出现的可能性大小,所谓事件的概率就是度量事件出现可能性大小的数值.1.概率的公理化定义54历史上概率的三次定义公理化定义统计定义古典定义不足:
仅适用于等可能概型不足:
不精确不严格不便使用通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.01概率的公理化定义概率的统计定义:
55它给出了概率所必须满足的最基本的性质,为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.01概率的公理化定义定义(概率的公式化定义)
(1)非负性
(2)规范性(3)可列加性5602本章内容01概率的公理化定义概率的运算性质三条公理基本性质加法公式2.概率的运算性质02概率的运算性质2.概率的运算性质
(1)非负性
(2)规范性(3)可列加性5802概率的运算性质性质1加法公式59对任一事件A,有注意:
如果正面计算事件A的概率不容易,而计算其对立事件的概率较易时,可以使用性质2.A02概率的运算性质性质2逆事件公式60设、B是两个事件,若,则有对任意两个事件A,B,有注意:
AB02概率的运算性质性质3减法公式61对任意两个事件A、B,有再由性质3得证.02概率的运算性质性质4广义加法公式62右端共有项.02概率的运算性质推广一般63性质102概率的运算性质典型例题设有50件产品,其中有3件不合格品,从中任取4件,求至少有一件不合格品的概率.解法一例64计算事件A的概率不容易,而计算其对立事件的概率较易时,可以利用性质2。
性质202概率的运算性质解法二65某班级有k(k365)个人,求k个人的生日均不相同的概率.求“至少有两人同生日”的概率.恰有k个盒子中各有一球02概率的运算性质例“分房模型”的应用66则事件A,B,C都不发生的概率为_.02概率的运算性质例267因为互不相容,所以02概率的运算性质例368到目前为止,我们学习了样本空间、随机事件等概念,给出了概率的公理化定义及概率的性质,利用这些知识,我们就可以求一般的随机事件的概率。
希望大家多做练习,熟练掌握.下一讲我们将学习一种新的概率条件概率.第3讲概率的公理化定义与运算性质69主讲教师|第4讲条件概率与乘法公式概率论与数理统计(慕课版)第1章随机事件与概率本章内容01条件概率乘法公式02在解决许多概率问题时,往往需要在某些附加条件下求事件的概率.如在事件A发生的条件下求事件B发生的概率,将此概率记作P(B|A).世界万物都是互相联系、互相影响的,随机事件也不例外.在同一个试验中的不同事件之间,通常会存在着一定程度的相互影响例如,在天气状况恶劣的情况下交通事故发生的可能性明显比天气状况优良情况下要大得多P(B|A)=P(B)?
01条件概率1.条件概率72在100件产品中有72件为一等品,从中取两件产品,记A表示“第一件为一等品”,B表示“第二件为一等品”.求P(B),P(B|A).由前例可知无论有放回抽样和无放回抽样都有
(1)有放回抽样
(2)无放回抽样独立性如何定义?
01条件概率例解73设A、B为两事件,P(A)0,则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率.称为在事件B发生的条件下事件A的条件概率.同理01条件概率定义7401条件概率条件概率也是概率,故概率的重要性质都适用于条件概率.例如:
性质752)可用缩减样本空间法1)用定义计算:
P(A)0A发生后的缩减样本空间所含样本点总数在缩减样本空间中B所含样本点个数在100件产品中有72件为一等品,从中取两件产品,记A表示“第一件为一等品”,B表示“第二件为一等品”.无放回抽样01条件概率计算例76在全部产品中有4%是废品,有72%为一等品.现从其中任取一件,发现是合格品,求它是一等品的概率.设A=任取一件为合格品,B=任取一件为一等品依题意,P(A)=0.96,P(B)=0.72所求概率为P(B|A).01条件概率例解77利用事件的关系及概率性质公式求条件概率设A,B,C是随机事件,A与C互不相容,则(同步习题1.3-4)01条件概率例78由条件概率的定义:
若已知P(A),P(B|A)时,可以反过来求P(AB).乘法公式01条件概率7902本章内容01条件概率乘法公式02乘法公式2.乘法公式推广81盒中装有100个产品,其中3个次品,从中不放回地取产品,每次1个,求
(1)取两次,两次都取得正品的概率;
(2)取三次,第三次才取得正品的概率。
令Ai为第i次取到正品乘法公式古典概率02乘法公式例解82(波利亚罐子-传染病模型)一个罐子中包含b个白球和r个红球.随机地抽取一个球,观看颜色后放回罐中,并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.这种手续进行四次,试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.b个白球,r个红球02乘法公式乘法公式应用举例83于是W1W2R3R4表示事件“连续取四个球,第一、二个是白球,第三、四个是红球.”设Wi=第i次取出是白球,i=1,2,3,4Rj=第j次取出是红球,j=1,2,3,4=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)02乘法公式解84主讲教师|第5讲全概率公式与贝叶斯公式概率论与数理统计(慕课版)第1章随机事件与概率全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式,乘法公式以及条件概率的综合运用.全概率公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)086第5讲全概率公式与贝叶斯公式B表示产品为次品分别表示产品由甲、乙、丙厂生产完备事件组全概率公式设甲、乙、丙三个厂生产同一种产品,其产量分别占总数的25%,35%,40%,次品率分别为5%,4%,2%,从这批产品中任取一件,求它是次品的概率.例87第5讲全概率公式与贝叶斯公式0102本章内容全概率公式贝叶斯公式设S为随机试验的样本空间,A1,A2,An是两两互斥的事件,且有P(Ai)0,i=1,2,n,称满足上述条件的A1,A2,An为完备事件组.则对任一事件B,有01全概率公式1.全概率公式89加法公式乘法公式B01全概率公式证明90全概率公式的关键数学模型完备事件组某一事件B的发生有各种可能的原因(i=1,2,n),如果B是由原因Ai所引起,则B发生的概率是每一原因都可能导致B发生,故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和,即全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)01全概率公式91设某人有三个不同的电子邮件账户,有70%的邮件进入账户1,另有20%的邮件进入账户2,其余10%的邮件进入账户3.根据以往经验,三个账户垃圾邮件的比例分别为1%,2%,5%,问某天随机收到的一封邮件为垃圾邮件的概率.B表示邮件为垃圾邮件分别表示邮件来自账户1、2、3完备事件组全概率公式01全概率公式例92实际中还有另一类问题:
已知结果求原因乙厂生产的可能性最大贝叶斯公式01全概率公式甲、乙、丙三个厂生产同一种产品,其产量分别占总数的25%,35%,40%,次品率分别为5%,4%,2%,随机地从中任取一件,发现是次品,问它来自哪个厂的可能性大?
例9302本章内容01全概率公式贝叶斯公式该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出.它是在观察到事件B已发生的条件下,寻找导致B发生的每个原因的概率.设A1,A2,An是完备事件组,则对任一事件B,有02贝叶斯公式2.贝叶斯公式95贝叶斯公式在实际中有很多应用,它可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因.后验概率在B已经发生的前提下,再对导致B发生的原因的可能性大小重新加以修正。
P(Ai)先验概率它是由以往的经验得到的,是事件B的原因。
02贝叶斯公式9602贝叶斯公式甲胎蛋白(AFP)免疫检测法被普遍用于肝病的早期诊断和普查.已知肝病患者经AFP检测呈阳性的概率为95%,而非肝病患者经AFP检测呈阳性(误诊)的概率为2%.设人群中肝病的发病率为0.04%,现有一人经AFP检测呈阳性,求此人确实患肝病的概率.(医学模型稀有病症的诊断率问题)例解97由贝叶斯公式02贝叶斯公式经AFP检测显阳性的人,真患有肝病的人不到2%.可见,对于稀有病症,一次检测的结果不必过于担心.98知识点解读知识点解读全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式这一讲我们学习了两个重要的公式全概率公式与贝叶斯公式。
在概率的计算中,经常用到这两个公式,大家需要牢记,并会熟练运用.第5讲全概率公式与贝叶斯公式99主讲教师|第6讲事件的独立性概率论与数理统计(慕课版)第1章随机事件与概率本章内容01事件独立性的定义独立性重复实验02这就是说,已知事件A发生,并不影响事件B发生的概率,这时称事件A、B相互独立.在100件产品中有72件为一等品,从中取两件产品,记A表示“第一件为一等品”,B表示“第二件为一等品”.有放回抽样01事件独立性的定义1.两事件的独立性前面我们介绍了条件概率,一般来说,P(B|A)P(B),但也有例外.例102设A,B为两事件,若则称事件A与事件B相互独立01事件独立性的定义定义等价于因此,我们有如下的定义.10301事件独立性的定义性质证明104请问:
如图的两个事件是独立的吗?
故A、B不独立互斥反之,若A与B独立01事件独立性的定义特别注意:
相互独立互不相容“A,B相互独立”和“A,B互不相容”不能同时成立.105在实际应用中,往往根据实际意义去判断是否独立.由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率,故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击,记A=甲命中,B=乙命中,A与B是否独立?
一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率01事件独立性的定义例如106一批产品共n件,从中抽取2件,设Ai=第i件是合格品,i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的,则A1与A2不独立.01事件独立性的定义例如107设随机事件A与B相互独立,A与C相互独立,且01事件独立性的定义例108将两事件独立的定义推广到三个事件:
01事件独立性的定义2.有限个事件的独立性定义对于三个事件A、B、C,若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.109n个事件A1,A2,An相互独立是指下面的关系式同时成立推广到n个事件的独立性定义01事件独立性的定义定义110注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n2)个事件?
01事件独立性的定义性质111三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,求密码被破译的概率.所求为记Ai=第i个人破译出密码i=1,2,3利用独立性01事件独立性的定义例解法1112简便方法设事件相互独立,则也相互独立01事件独立性的定义解法2113本章内容01事件独立性的定义独立性重复实验02试验在相同的条件下重复进行.每次试验的结果互不影响,即每次试验之间相互独立.独立重复试验第二章详细介绍02独立重复试验伯努利试验.115知识点解读知识点解读独立性独立性这一讲我们学习了事件的独立性。
独立性是概率论与数理统计的一个非常重要的概念,很多定理和结论都是在独立性这个条件之下得到的。
重点:
理解事件独立性的概念,掌握用事件独立性进行概率计算.第6讲事件的独立性116主讲教师|本章小结概率论与数理统计(慕课版)第1章随机事件与概率117本章小结01知识点归纳教学要求和学习建议021知识点归纳随机事件与概率事件的关系和运算概率的运算公式包含和事件积事件差事件互斥对立独立古典概率几何概率性质公式条件概率乘法公式全概率公式贝叶斯公式119小结01知识点归纳教学要求和学习建议022教学
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 概率论 数理统计 慕课版 随机 事件 概率