高中数学高一下学期期末考试试卷(含答案).docx
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高一期末测试卷
一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)
1.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则( )
A. B.A∪B=R
C. D.A∩B=⌀
2.在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,12) D.(12,1)
3.已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=3,|b|=2,则|a-b|等于( )
A.1 B.13 C.13 D.7-23
4.设x∈R,向量a=(3,x),b=(-1,1),若a⊥b,则|a|=( )
A.6 B.4 C.32 D.3
5.若sinα=-513,α为第四象限角,则tanα的值等于( )
A.125 B.-125 C.512 D.-512
6.在△ABC中,a=23,c=22,A=60°,则C=( )
A.30° B.45° C.45°或135° D.60°
7.已知数列{an}中,a1=1,且an+1=2an+1,则a4=( )
A.7 B.9 C.15 D.17
8.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3+a9=16,则S11=( )
A.88 B.48 C.96 D.176
9.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为60o,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于( )
A.303
B.30(3-1)
C.403
D.40(3-1)
10.若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是( )
A.[-32,+∞) B.(-∞,-32] C.[32,+∞) D.(-∞,32]
11.已知f(x)是定义在上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增,若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是( )
A.(-∞,12) B.(-∞,12)∪(32,+∞)
C.(12,32) D.(32,+∞)
二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
12.已知向量a与b的夹角为2π3,|a|=2,则a在b方向上的投影为______.
13.如图,在△OAB中,C是AB上一点,且AC=2CB,设 OA=a,OB=b,则OC=______.(用a,b表示)
14.已知锐角α,β满足sinα=55,sin(α-β)=-1010,则β等于______.
15.数列{an}前n项和为Sn=n2+3n,则{an}的通项等于______.
三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)
16.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?
最大月收益是多少?
17.已知向量a,b满足:
|a|=2,|b|=4,且(a-b)⋅b=-20.
(1)求证:
(a+b)⊥a;
(2)求向量a与b的夹角.
18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+ccosA=2bcosA.
(1)求角A的值;
(2)若b+c=10,a=2,求△ABC的面积S.
19.已知,,f(x)=a⋅b.
(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;
(2)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值.
20.已知数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,满足b1=a2=2,a5+a9=14,b4=a15+1.
(1)求数列{an},{bn}通项公式;
(2)令cn=an⋅bn,求数列{cn}的前n项和Tn.
21.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{Sn}的前n项和Tn.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查交集和并集的求法,考查指数不等式的解法,属于基础题.
先求出集合B,再求出A∩B和A∪B,由此能求出结果.
【解答】
解:
∵集合A={x|x<1},
B={x|3x<1}={x|x<0},
∴A∩B={x|x<0},所以A正确,D错误,
A∪B={x|x<1},所以B和C都错误,
故选A.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数零点存在性定理,属于基础题.
由函数解析式可知f(0)·f(12)<0,进而根据函数零点存在性定理可知函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间.
【解答】
解:
∵函数f(x)=ex+4x-3在上连续,且易知f(x)在上是增函数,
∴f(x)至多只有一个零点,
∵f(0)=e0-3=-2<0,
f(12)=e+2-3=e-1=e12-e0>0,
∴f(0)·f(12)<0,
∴由函数零点存在性定理可知函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(0,12).
故选C.
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了向量数量积的定义和性质,向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于基础题.
由向量数量积的定义可得a·b的值,再由向量的模的平方即为向量的平方,计算即可得到所求值.
【解答】
解:
向量a与b的夹角为30°,且|a|=3,|b|=2,
可得a·b=|a|⋅|b|⋅cos30°=3×2×32=3,
则|a-b|=(a-b)2=a2+b2-2a⋅b
=3+4-2×3=1.
故选:
A.
4.【答案】C
【解析】解:
∵x∈R,向量a=(3,x),b=(-1,1),a⊥b,
∴a⋅b=-3+x=0,
解得x=3,∴a=(3,3),
∴|a|=9+9=32.
故选:
C.
由a⊥b,求出x=3,从而a=(3,3),由此能求出|a|.
本题考查向量的模的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意平面向量垂直的性质的合理运用.
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查同角三角函数的基本关系式的应用,考查计算能力.属于基础题.
利用同角三角函数的基本关系式求出cosα,然后求解即可.
【解答】
解:
∵sinα=-513,α为第四象限角,
∴cosα=1-sin2α=1213,
即tanα=sinαcosα=-512.
故选D.
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理,大边对大角,特殊角的三角函数值的应用,属于基础题.
由已知即正弦定理可得sinC=csinAa=22,利用大边对大角可得0 【解答】 解: ∵a=23,c=22,A=60°, ∴由正弦定理可得: sinC=csinAa=22×3223=22, ∵c 0 ∴C=45°. 故选B. 7.【答案】C 【解析】解: ∵a1=1,且an+1=2an+1, 变形为an+1+1=2(an+1), ∴数列{an+1}是等比数列,首项与公比都为2. ∴an+1=2n,即an=2n-1, 则a4=24-1=15. 故选: C. a1=1,且an+1=2an+1,变形为an+1+1=2(an+1),利用等比数列的通项公式即可得出. 本题考查了等比数列的通项公式、递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 8.【答案】A 【解析】解: ∵等差数列{an}中,a3+a9=16, ∴S11=a1+···+a11=11a6=112(a3+a9)=88, 故选: A. 由题意、等差数列的性质、等差数列的前n项和公式,化简并求出S11的值. 本题考查等差数列的性质,等差数列的前n项和公式的灵活应用,考查整体思想,属于基础题. 9.【答案】C 【解析】解: 由题意可知∠C=30°,∠BAC=30°,∠DAB=30°,AD=60m, ∴BC=AB=60cos30∘=403. 故选: C. 由题意画出图形,利用特殊角的三角函数,可得答案. 本题给出实际应用问题,求河流在B、C两地的宽度,着重考查了三角函数的定义,属于中档题. 10.【答案】B 【解析】【分析】 本题主要考查函数单调性的性质,其中熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键,属于基础题. 由已知中函数的解析式,结合二次函数的图象和性质,可以判断出函数y=x2+(2a-1)x+1图象的形状,分析区间端点与函数图象对称轴的关键,即可得到答案. 【解答】 解: ∵函数y=x2+(2a-1)x+1的图象是开口向上,以直线x=-2a-12为对称轴, 又∵函数在区间(-∞,2]上是减函数, ∴2≤-2a-12, 解得a≤-32. 故选B. 11.【答案】C 【解析】【分析】 本题考查了指数函数的单调性,奇偶性的性质,属于中档题. 根据偶函数的对称性可知f(x)在(0,+∞)递减,故只需令2a-1<2即可. 【解答】 解: ∵f(x)是定义在上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增, ∴f(x)在(0,+∞)上单调递减, ∵2a-1>0,f(-2)=f (2), ∴2a-1<2=212, ∴|a-1|<12, 解得12 故选C. 12.【答案】-22 【解析】解: 根据条件,a在b方向上的投影为: |a|cos=2cos2π3=-22. 故答案为: -22. 由条件,可得出a在b方向上的投影为|a|cos2π3,从而求出投影的值. 考查向量夹角的概念,向量投影的概念及计算公式. 13.【答案】13a+23b 【解析】解: OC=OA+AC=OA+23AB=OA+23(OB-OA)=13OA+23OB 则OC=13a+23b. 故答案为: 13a+23b 利用向量的线性运算即可. 本题考查了向量的线性运算,属于基础题. 14.【答案】π4 【解析】【分析】 本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式,属于基础题. 由条件利用同角三角函数的基本关系求得cosα、cos(α-β)的值,可得tanα,tan(α-β)的值,再利用两角和差的正切公式求得tanβ=tan[(α-(α-β)]的值. 【解答】 解: ∵锐角α,β满足sinα=55,sin(α-β)=-1010, ∴cosα=1-sin2α=255,cos(α-β)=1-sin2(α-β)=31010, ∴tanα=sinαcosα=12,tan(α-β)=sin(α-β)cos(α-β)=-13, ∴tanβ=tan[(α-(α-β)]=tanα-tan(α-β)1+tanα⋅tan(α-β)=12+131-12⋅13=1, 故β=π4, 故答案为: π4. 15.【答案】an=2n+2 【解析】【分析】 本题考查数列的递推公式,数列的通项公式,考查学生的计算能力,属于基础题. 根据公式an=S1,n=1Sn-Sn-1,n≥2进行计算,解题时要注意公式中对n=1的检验. 【解答】 解: 当n=1时,a1=S1=1+3=4, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+3n)-[(n-1)2+3(n-1)]=2n+2, 当n=1时,2×1+2=4=a1,适合上式, ∴an=2n+2. 故答案为an=2n+2. 16.【答案】解: (Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时, 未租出的车辆数为3600-300050=12, 所以这时租出了88辆车. (Ⅱ)设每辆车的月租金定为x元, 则租赁公司的月收益为f(x)=(100-x-300050)(x-150)-x-300050×50, 整理得f(x)=-x250+162x-21000=-150(x-4050)2+307050. 所以,当x=4050时,f(x)最大,最大值为f(4050)=307050, 即当每辆车的月租金定为4050元时,租赁公司的月收益最大,最大月收益为307050元. 【解析】(Ⅰ)严格按照题中月租金的变化对能租出车辆数的影响列式解答即可; (Ⅱ)从月租金与月收益之间的关系列出目标函数,再利用二次函数求最值的知识,要注意函数定义域优先的原则.作为应用题要注意下好结论. 本题以实际背景为出发点,既考查了信息的直接应用,又考查了目标函数法求最值.特别是二次函数的知识得到了充分的考查.在应用问题解答中属于非常常规且非常有代表性的一类问题,非常值得研究. 17.【答案】证明: (1)∵|b|=4,(a-b)⋅b=-20,∴a⋅b-b2=a⋅b-16=-20, ∴a⋅b=-4, ∵|a|=2, ∴(a+b)⋅a=a2+a⋅b=0, ∴(a+b)⊥a. (2)设向量a与b的夹角为θ,则cosθ=a,b|a|⋅|b|=-12, θ=1200.即向量a与b的夹角为120°. 【解析】 (1)先计算a⋅b,再计算(a+b)⋅a=0即可得出结论; (2)代入夹角公式计算即可. 本题考查了平面向量的数量积运算,属于中档题. 18.【答案】解: (1)在△ABC中,∵acosC+ccosA=2bcosA, ∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA, ∴sin(A+C)=sinB=2sinBcosA, ∵sinB≠0, ∴cosA=12, 由A∈(0,π), 可得: A=π3; (2)∵cosA=12=b2+c2-a22bc,b+c=10 , a=2, ∴b2+c2=bc+4,可得: (b+c)2=3bc+4=10, 可得: bc=2, ∴S=12bcsinA=32. 【解析】本题主要考查了正弦定理,三角函数恒等变换的应用,余弦定理,平方和公式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题. (1)由已知利用正弦定理,三角函数恒等变换的应用化简可得sinB=2sinBcosA,结合sinB≠0,可求cosA,进而可求A的值. (2)由已知及余弦定理,平方和公式可求bc的值,进而利用三角形面积公式即可计算得解. 19.【答案】解: ,, 由 , ∴f(x)的最小正周期T=2π2=π, 由, 得: π6+kπ≤x≤2π3+kπ,k∈Z, ∴f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ],k∈Z; (2)由x∈[0,π2]可得: 2x+π6∈[π6,7π6], 当2x+π6=7π6时,函数f(x)取得最小值为2sin7π6+1=0, 当2x+π6=π2时,函数f(x)取得最大值为2sinπ2+1=3, 故得函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值为3,最小值为0. 【解析】本题考查三角函数化简及三角函数的图象与性质,考查了学生的计算能力,培养了学生分析问题与解决问题的能力,属于中档题. (1)由f(x)=a⋅b,根据向量的数量积的运用可得f(x)的解析式,化简,利用周期公式求函数的最小正周期,最后将内层函数看作整体,放到正弦函数的减区间上,解不等式得函数的单调递减区间; (2)在[0,π2]上时,求出内层函数的取值范围,结合三角函数的图象和性质,可得出f(x)的最大值和最小值. 20.【答案】解: (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, ∵a2=2,a5+a9=14, ∴a1+d=2,2a1+12d=14,解得a1=d=1. ∴an=1+(n-1)=n. ∴b1=a2=2,b4=a15+1=16=2×q3, ∴q=2. ∴bn=2n. (2)cn=an⋅bn=n⋅2n. ∴数列{cn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n⋅2n ①, 2Tn=22+2×23+…+(n-1)⋅2n+n⋅2n+1②, ∴①-②⇒-Tn=2+22+…+2n-n⋅2n+1 =21-2n1-22(2n-1)2-1-n⋅2n+1 =(1-n)⋅2n+1-2. ∴Tn=(n-1)⋅2n+1+2. 【解析】本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出. (2)利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出. 21.【答案】解: (Ⅰ)数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-2①. 则Sn+1=2an+1-2②, ②-①得an+1=2an, 即an+1an=2, 当n=1时,a1=S1=2a1-2, 解得a1=2, 所以数列的通项公式为an=2⋅2n-1=2n, (Ⅱ)由于an=2n, 则Sn=21+22+…+2n, =2(2n-1)2-1, =2n+1-2. Tn=2(21+22+…+2n)-2-2-…-2, =2n+2-4-2n. 【解析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式. (Ⅱ)利用数列的通项公式,直接利用等比数列的前n项和公式求出结果. 本题考查的知识要点: 数列的通项公式的求法,等比数列前n项和的公式的应用以及分组求和. 第9页,共10页
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