求极限的方法及例题总结.docx
- 文档编号:3086750
- 上传时间:2022-11-17
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:19.02KB
求极限的方法及例题总结.docx
《求极限的方法及例题总结.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《求极限的方法及例题总结.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
求极限的方法及例题总结
求极限的方法及例题总结
1.定义:
说明:
(1)一些最简单的数列或函数的极限(极限值可以观察得到)都可以用上面的极限严格定义证明,例如:
;x2
lim(3x1)5
(2)在后面求极限时,
(1)中提到的简单极限作为已知结果直接运用,而不需再用极限严格定义证明。
利用导数的定义求极限
这种方法要求熟练的掌握导数的定义。
2.极限运算法则
定理1已知limf(x),limg(x)都存在,极限值分别为A,B,则下面极限都存在,且有
(1)lim[f(x)g(x)]AB
(2)limf(x)g(x)AB(3)
lim
f(x)A
(此时需B0成立)g(x)B
说明:
极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件,当条件不满足时,不能用。
.利用极限的四则运算法求极限
这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。
通常情况下,要使用这些法则,往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后,再利用极限运算法则求极限
lim
x1
例1
3x12x1
(3x1)2223x33limlimx1(x1)(3x12)x1(x1)(3x12)4
解:
原式=。
注:
本题也可以用洛比达法则。
例2
limn(n2n1)
n
n
n[(n2)(n1)]分子分母同除以
limnn2n1
lim
n
3
21
nn
3
2
解:
原式=
(1)n3nlimn
n
例3n23
。
上下同除以3n
解:
原式
1
()n1lim1n2n
()13。
3.两个重要极限
sinx
1
x0x
(1)
lim
(2)x0
lim(1x)e
1
x
lim
(1)xe
;x
说明:
不仅要能够运用这两个重要极限本身,还应能够熟练运用它们的变形形式,
sin3xlim1lim(12x)2xelim
(1)3e例如:
x03x,x0,x;等等。
1
x
利用两个重要极限求极限
1cosx
2x03x例5
lim
xx
2sin2
lim1lim
x0x0x63x2
12()2
2解:
原式=。
2sin2
注:
本题也可以用洛比达法则。
lim(13sinx)
x0
2
x
例6
16sinx
解:
原式=x0
lim(13sinx)lim[(13sinx)
x0
1
3sinx
]
6sinxe6
。
例7
lim(
n
n2n
)n1
n13n
33
lim
(1)nn1解:
原式=33lim[
(1)]e3nn1。
n1
3n
4.等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小(即极限是0)。
定理3当x0时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:
x~sinx~tanx~arcsin
面的等价
x~arctanx~ln(1x)~ex1。
说明:
当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时(g(x)0),仍有上
关系成立,例如:
当x0时,e
3x
1~3x;ln(1x2)~x2。
f1(x)f(x)
lim
g1(x)存在时,xx0g(x)也存在且
定理4如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是xx0时的无穷小,且
f(x)~f1(x),g(x)~g1(x),则当xx0
lim
f1(x)f1(x)f(x)limlimlimxxxx0g(x)xx0g(x)0g(x)f(x)11等于,即=。
利用等价无穷小代换(定理4)求极限
lim
x0
例9
xln(13x)arctan(x2)
ln(13x)~3x,arctan(x2)~x2,解:
x0时,
lim
x3x3x2。
原式=x0
exesinx
lim
例10x0xsinx
esinx(exsinx1)esinx(xsinx)limlim1x0x0xsinxxsinx解:
原式=。
注:
下面的解法是错误的:
(ex1)(esinx1)xsinxlimlim1x0x0xsinxxsinx原式=。
正如下面例题解法错误一样:
lim
x0
tanxsinxxx
lim0x0x3x3。
1tan(x2sin)
lim
sinx例11x0
解:
当x0时,x2sin
111
是无穷小,tan(x2sin)与x2sin等价xxx,
x2sin
所以,原式=x0
lim
1
limxsin10
x0xx。
(最后一步用到定理2)
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小,有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等
价无穷小替换求极限常常行之有效。
例1.x0
1/21
lim(
xsinx1sinsin(x1))lim2
lnxex12.x0
5.洛比达法则
定理5假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数f(x)和
g(x)满足:
(1)f(x)和g(x)的极限都是0或都是无穷大;
(2)f(x)和g(x)都可导,且g(x)的导数不为0;
f(x)
lim
g(x)存在(或是无穷大)(3);
lim
f(x)f(x)
limmil
g(x)也一定存在,g(x),且等于即
f(x)f(x)
limg(x)=g(x)。
则极限
说明:
定理5称为洛比达法则,用该法则求极限时,应注意条件是否满足,只要有一条不满足,洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件
0
(1)是否满足,即验证所求极限是否为“0”型或“”型;条件
(2)一般都满足,而条件(3)则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外,洛比达法则可以连续使用,但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限
说明:
当所求极限中的函数比较复杂时,也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时,洛比达法则还可以连续使用。
1cosx
2x03x例12(例4)
lim
sinx1
x06x6。
解:
原式=(最后一步用到了重要极限)
lim
cos
x
例13
lim
x1
x1
sin
x
解:
原式=x1例14
lim
x0
lim
12。
xsinxx3lim
1cosxsinx1
lim2x0x06x6。
3x解:
原式==(连续用洛比达法则,最后用重
要极限)
sinxxcosx
2
例15x0xsinx
lim
解:
原式lim
sinxxcosxcosx(cosxxsinx)
lim
x0x0x2x3x2
xsinx1limx03x23先用等价无穷小,再
用洛必达法则
11lim[]x0xln(1x)例18
11
lim[]0
解:
错误解法:
原式=x0xx。
正确解法:
原式lim
ln(1x)xln(1x)x
lim
x0xln(1x)xxx0
1
1
x1
limlim。
x0x02x2x(1x)2
应该注意,洛比达法则并不是总可以用,如下例。
例19
lim
x
x2sinx
3xcosx
12cosx0
lim
解:
易见:
该极限是“0”型,但用洛比达法则后得到:
x3sinx,
此极限
不存在,而原来极限却是存在的。
正确做法如下:
2sinxlim
xcosx
3
x(分子、分母同时除以x)原式=
1
1
=3(利用定理1和定理2)
6.连续性
定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续,即如果x0是函数
f(x)的定义去间内的一点,则有xx0
limf(x)f(x0)
。
利用函数的连续性(定理6)求极限
例4
limx2e
x2
1x
12x
解:
因为x02是函数f(x)xe的一个连续点,所以原式=2e4e。
7.极限存在准则
定理7(准则1)单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性,再求解方程可求出极限。
例1.设a0,
x1a,x2aaax1,,xn1axn(n1,2,)
2
12
求极限n
limxn
。
定理8(准则2)已知{xn},{yn},{zn}为三个数列,且满足:
(1)ynxnzn,(n1,2,3,)
(2)n则极限
10.夹逼定理
limyna
n
,n
limzna
n
limxn
一定存在,且极限值也是a,即
limxna
。
利用极限存在准则求极限例20已知
x12,xn12xn,(n1,2,)
,求n
limxn
limxn
x{x}解:
易证:
数列n单调递增,且有界(0
存在,设n
limxna
。
对已知的递推公式
xn12xn
两边求极限,
得:
a2a,解得:
a2或a1(不合题意,舍去)所以n
limxn2
lim(
1
。
1n2
1n21
2
例21
n
n1n
2
1
2
nn1
1n2n
nn21
)
2
解:
易见:
nn
n22
lim
nnn
2
因为
n
1lim
nn1
1
2
,
n
n2
1
1n2
2
lim(
所以由准则2得:
n1
1nn
2
)1
。
9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法
对于一些函数求极限问题,洛必达法则和等价无穷小结合运用,往往能化简运算,收到奇效。
11.泰勒展开法
12.利用定积分的定义求极限法
积分本质上是和式的极限,所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。
8.利用复合函数求极限
十、利用级数收敛的必要条件求极限
级数收敛的必要条件是:
若级数些极限n
limf(n)
u
n1
n
收敛,则n
limun0
,故对某
,可将函数
f(n)作为级数n1
f(n)
的一般项,只须证明此
技术收敛,便有n
limf(n)0
。
n!
例nnnlim
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 极限 方法 例题 总结