初一数学下册第六章【实数】重要知识点.docx
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初一数学下册第六章
【实数】重要知识点
1、平方根
(1)平方根的定义:
如果一个数x的平方等于a,那么这个数x就叫做a的平方根.即:
如果x²=a,那么x叫做a的平方根.
(2)开平方的定义:
求一个数的平方根的运算,叫做开平方.开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
(3)平方与开平方互为逆运算:
±3的平方等于9,9的平方根是±3;
(4)一个正数有两个平方根,即正数进行开平方运算有两个结果;
一个负数没有平方根,即负数不能进行开平方运算;
0的平方根是0.
(5)符号:
正数a的正的平方根可用√a表示,√a也是a的算术平方根;
正数a的负的平方根可用-√a表示.
(6)x²=a<==>x=±√a
a是x的平方x的平方是a
x是a的平方根a的平方根是x
2、算术平方根
(1)算术平方根的定义:
一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x²=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为√a,读作“根号a”,a叫做被开方数.
规定:
0的算术平方根是0.
也就是,在等式x²=a(x≥0)中,规定x=√a。
(2)√a的结果有两种情况:
当a是完全平方数时,√a是一个有限数;
当a不是一个完全平方数时,√a是一个无限不循环小数。
(3)当被开方数扩大时,它的算术平方根也扩大;
当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
(4)夹值法及估计一个(无理)数的大小
(5)x²=a(x≥0)<—> x=√a
a是x的平方 x的平方是a
x是a的算术平方根a的算术平方根是x
(6)正数和零的算术平方根都只有一个,零的算术平方根是零。
(7)平方根和算术平方根两者既有区别又有联系:
区别在于正数的平方根有两个,而它的算术平方根只有一个;
联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根,而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
6.2立方根
(1)立方根的定义:
如果一个数x的立方等于a,这个数叫做a的立方根(也叫做三次方根),即如果x³=a,那么x叫做a的立方根。
求一个数的立方根的运算,叫做开立方。
(2)一个数a的立方根,记作³√a,读作:
“三次根号a”,
其中a叫被开方数,3叫根指数,不能省略,若省略表示平方。
(3)一个正数有一个正的立方根;
0有一个立方根,是它本身;
一个负数有一个负的立方根;
任何数都有唯一的立方根。
(4)利用开立方和立方互为逆运算关系,求一个数的立方根,就可以利用这种互逆关系,检验其正确性,求负数的立方根,可以先求出这个负数的绝对值的立方根,再取其相反数,即³√-a=-³√a(a>0)。
(5)x³=a <—> x=³√a
a是x的立方x的立方是a
x是a的立方根a的立方根是x
(6)³√-a=-³√a,这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
6.3实数
一、实数的概念及分类
无理数:
像前面的很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数。
实数:
有理数和无理数统称实数。
1、实数的分类
2、无理数
在理解无理数时,要抓住“无限不循环”这一时之,归纳起来有四类:
(1)开方开不尽的数,如√7,³√2等;
(2)有特定意义的数,如圆周率π,或化简后含有π的数,如π/3+8等;
(3)有特定结构的数,如0.1010010001…等;
二、实数的倒数、相反数和绝对值
1、相反数
实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数,零的相反数是零),从数轴上看,互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称,如果a与b互为相反数,则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。
数a的相反数是—a,这里a表示任意一个实数。
2、绝对值
一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离,|a|≥0。
零的绝对值是它本身,也可看成它的相反数,若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0。
一个正实数的绝对值是它本身,一个负实数的绝对值是它的相反数,零的绝对值是0。
正数大于零,负数小于零,正数大于一切负数,两个负数,绝对值大的反而小。
3、倒数
如果a与b互为倒数,则有ab=1,反之亦成立。
倒数等于本身的数是1和-1。
零没有倒数。
4.实数与数轴上点的关系:
每一个无理数都可以用数轴上的一个点表示出来,
数轴上的点有些表示有理数,有些表示无理数,
实数与数轴上的点就是一一对应的,即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反过来,数轴上的每一个点都是表示一个实数。
三、科学记数法和近似数
1、有效数字
一个近似数四舍五入到哪一位,就说它精确到哪一位,这时,从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字,都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法
把一个数写做±a×10n的形式,其中1≤a<10,n是整数,这种记数法叫做科学记数法。
四、实数大小的比较
1、数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时,要注意三要素缺一不可)。
解题时要真正掌握数形结合的思想,理解实数与数轴的点是一一对应的,并能灵活运用。
2、实数大小比较的几种常用方法
(1)数轴比较:
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
(2)求差比较:
设a、b是实数,
a-b>0<==>a>b
a-b=0<==>a=b
a-b<0<==>a<b
(3)求商比较法:
设a、b是两正实数,
a/b>1<==>a>b
a/b=1<==>a=b
a/b<1<==>a<b
(4)绝对值比较法:
设a、b是两负实数,则|a|>|b|=a<b.
(5)平方法:
设a、b是两负实数,则a²>b²=b<a.
五、实数的运算
1、加法交换律:
a+b=b+a
2、加法结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
3、乘法交换律:
ab=ba
4、乘法结合律:
(ab)c=a(bc)
5、乘法对加法的分配律:
a(b+c)=ab+ac
6、实数混合运算时,对于运算顺序有什么规定?
实数混合运算时,将运算分为三级,加减为一级运算,乘除为二能为运算,乘方为三级运算。
同级运算时,从左到右依次进行;不是同级的混合运算,先算乘方,再算乘除,而后才算加减;运算中如有括号时,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号的顺序进行。
7、有理数除法运算法则就什么?
两有理数除法运算法则可用两种方式来表述:
第一,除以一个不等于零的数,等于乘以这个数的倒数;
第二,两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
零除以任何一个不为零的数,商都是零。
8、什么叫有理数的乘方?
幂?
底数?
指数?
相同因数相乘积的运算叫乘方,乘方的结果叫幂,相同因数的个数叫指数,这个因数叫底数。
记作:
an
9、有理数乘方运算的法则是什么?
负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数。
正数的任何次幂都是正数。
零的任何正整数幂都是零。
10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么?
去(加)括号时如果括号外的因数是正数,去(加)括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同;括号外的因数是负数去(加)括号后式子各项的符号与原括号内式子相应各项的符号相反。
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- 实数 初一 数学 下册 第六 重要 知识点