17 解答题(较难题) 2020-2021学年北京市各区七年级(下)期末数学知识点分类汇编.doc
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2020-2021学年北京市各区七年级(下)期末数学知识点分类汇编
17解答题(较难题)
一.二元一次方程组的应用(共1小题)
1.(2021春•丰台区期末)“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物.自2019年正式亮相后,相关特许商品投放市场,持续热销.某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具,连续两个月的销售情况如表:
月份
销售量/件
销售额/元
冰墩墩
雪容融
第1个月
100
40
14800
第2个月
160
60
23380
(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格;
(2)某单位欲购买这两款玩具作为冬奥知识竞赛活动的奖品,要求“雪容融”的数量恰好等于“冰墩墩”的数量的2倍,且购买总资金不得超过9000元,请根据要求确定该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量.
二.一元一次不等式的应用(共2小题)
2.(2021春•门头沟区期末)某校组织学生去游乐园参加拓展体验活动,活动中有“空中飞人”和“保卫地球”两个体验项目供同学选择.如果4名同学选择“空中飞人”,1名同学选择“保卫地球”,购票费用共需210元;如果3名同学选择“空中飞人”,2名同学选择“保卫地球”,购票费用共需220元.
(1)求每张“空中飞人”的票价和每张“保卫地球”的票价各为多少元;
(2)在
(1)的条件下,某班有45名同学全部参加体验,老师要求购票总费用不超过2000元,那么最少有多少名同学选择“空中飞人”体验项目?
3.(2021春•石景山区期末)列一元一次不等式解应用题:
某校七年级330名师生外出参加社会实践活动,租用50座与40座的两种客车.如果50座的客车租用了2辆,那么至少需要租用多少辆40座的客车?
三.坐标与图形性质(共2小题)
4.(2021春•东城区期末)在平面直角坐标系xOy中.点A,B,P不在同一条直线上.对于点P和线段AB给出如下定义:
过点P向线段AB所在直线作垂线,若垂足Q落在线段AB上,则称点P为线段AB的内垂点.若垂足Q满足|AQ﹣BQ|最小,则称点P为线段AB的最佳内垂点.
已知点A(﹣2,1),B(1,1),C(﹣4,3).
(1)在点P1(2,3)、P2(﹣5,0)、P3(﹣1,﹣2),P4(﹣,4)中,线段AB的内垂点为 ;
(2)点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2,则点M的坐标为 ;
(3)点N在y轴上且为线段AC的内垂点,则点N的纵坐标n的取值范围是 ;
(4)已知点D(m,0),E(m+4,0),F(2m,3).若线段CF上存在线段DE的最佳内垂点,求m的取值范围.
5.(2021春•海淀区校级期末)点P到∠AOB的距离定义如下:
点Q为∠AOB的两边上的动点,当PQ最小时,我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离,记为d(P,∠AOB).特别的,当点P在∠AOB的边上时,d(P,∠AOB)=0.
在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是以点O(0,0),A(4,0),B(4,4),C(0,4)为顶点的正方形,作射线OB,则∠AOB=45°.
(1)如图1,点P1(﹣1,0),P2(0,),P3(1,﹣2)的位置如图所示,请用度量的方式,判断点P1,P2,P3中到∠AOB的距离等于1的点是 ;
(2)已知点P在∠AOB的内部,且d(P,∠AOB)=1,
①若点P的横纵坐标都是整数,请写出一个满足条件的点P的坐标 ;
②请在图1中画出所有满足条件的点P;
(3)如图2,已知点E(0,﹣8),F(﹣2,2),G(7,2),记射线EF与射线EG组成的图形为图形V.若点P在图形V上,满足d(P,∠AOB)=2的点P有 个.
四.一次函数综合题(共1小题)
6.(2021春•海淀区校级期末)在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,…,Ak是k个互不相同的点,若这k个点横坐标的不同取值有m个,纵坐标的不同取值有n个,p=m+n,则称p为这k个点的“平面特征值”,记为T<A1,A2,…,Ak>=p.如:
点M(2,1)点N(3,1),则T<M,N>=2+1=3.
如图,正方形ABCD的边AB在x轴上,CD交y轴于点E,已知O为AB的中点,点B的坐标为(4,0).
(1)T<A,B>= ,T<A,B,E>= ;
(2)点F(0,b)为y轴上一动点,过点P作直线l∥x轴,直线l与直线AC,直线BD的交点记为P,Q,请直接写出T<A,B,C,D,E,F,P,Q>的所有可能的取值,以及相应的b的取值范围.
五.平行线的性质(共2小题)
7.(2021春•门头沟区期末)已知,直线AB∥CD,直线EF交AB,CD于点E,F,动点P为平面上一点(点P不在AB,CD,EF上),连接PE,PF.
(1)如图1,当动点P在直线AB,CD之间,且位于直线EF右侧时,
①依题意补全图1;
②猜想∠EPF,∠PEB,∠PFD的数量关系,并证明.
(2)如图2,当动点P在直线AB上方时,直接写出∠EPF,∠PEB,∠PFD的数量关系.
8.(2021春•海淀区校级期末)对于平面内的∠M和∠N,若存在一个常数k>0,使得∠M+k∠N=360°,则称∠N为∠M的k系补周角.如若∠M=90°,∠N=45°,则∠N为∠M的6系补周角.
(1)若∠H=120°,则∠H的4系补周角的度数为 °
(2)在平面内AB∥CD,点E是平面内一点,连接BE,DE.
①如图1,∠D=60°,若∠B是∠E的3系补周角,求∠B的度数.
②如图2,∠ABE和∠CDE均为钝角,点F在点E的右侧,且满足∠ABF=n∠ABE,∠CDF=n∠CDE(其中n为常数且n>1),点P是∠ABE角平分线BG上的一个动点,在P点运动过程中,请你确定一个点P的位置,使得∠BPD是∠F的k系补周角,并直接写出此时的k值(用含n的式子表示).
六.平行线的判定与性质(共1小题)
9.(2021春•平谷区期末)完成下面的证明:
已知:
如图,AB∥CD,AD和BC交于点O,E为OA上一点,作∠AEF=∠AOB,交AB于点F.
求证:
∠EFA=∠C.
证明:
∵∠AEF=∠AOB,
∴ ∥ ( ).
∴∠EFA=∠B.
∵AB∥CD,
∴∠B=∠C .
∴∠EFA=∠C .
七.全等三角形的判定与性质(共1小题)
10.(2021春•丰台区期末)如图,点P为∠AOB的角平分线OC上的一点,过点P作PM∥OB交OA于点M,过点P作PN⊥OB于点N.当∠AOB=60°时,求∠OPN的度数.
(1)依题意,补全图形;
(2)完成下面的解题过程.
解:
∵PN⊥OB于点N,
∴∠PNB= °( )(填推理的依据).
∵PM∥OB,
∴∠MPN=∠PNB=90°,
∠POB= ( )(填推理的依据).
∵OP平分∠AOB,且∠AOB=60°,
∴∠POB=∠AOB=30°(角的平分线的定义).
∴∠MPO= °.
∵∠MPO+∠OPN=∠MPN,
∴∠OPN= °.
八.三角形综合题(共1小题)
11.(2021春•房山区期末)在小学,我们曾经通过动手操作,利用拼图的方法研究了三角形三个内角的数量关系.如图,把三角形ABC分成三部分,然后以某一顶点(如点B)为集中点,把三个角拼在一起,观察发现恰好构成了平角,从而得到了“三角形三个内角的和是180°”的结论.但是,通过本学期的学习我们知道:
由观察、实验、归纳、类比、猜想得到的结论还需要通过证明来确认它的正确性.
小聪认真研究了拼图的操作方法,形成了证明命题“三角形三个内角的和是180°”的思路:
①画出命题对应的几何图形;
②写出已知,求证;
③受拼接方法的启发画出辅助线;
④写出证明过程.
请你参考小聪解决问题的思路,写出证明该命题的完整过程.
九.四边形综合题(共2小题)
12.(2021春•丰台区期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点M(a,b).如果存在点N(a',b'),满足a'=|a+b|,b'=|a﹣b|,则称点N为点M的“控变点”.
(1)点A(﹣1,2)的“控变点”B的坐标为 ;
(2)已知点C(m,﹣1)的“控变点”D的坐标为(4,n),求m,n的值;
(3)长方形EFGH的顶点坐标分别为(1,1),(5,1),(5,4),(1,4).如果点P(x,﹣2x)的“控变点”Q在长方形EFGH的内部,直接写出x的取值范围.
13.(2021•菏泽)在矩形ABCD中,BC=CD,点E、F分别是边AD、BC上的动点,且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠,点C落在点G处,点D落在点H处.
(1)如图1,当EH与线段BC交于点P时,求证:
PE=PF;
(2)如图2,当点P在线段CB的延长线上时,GH交AB于点M,求证:
点M在线段EF的垂直平分线上;
(3)当AB=5时,在点E由点A移动到AD中点的过程中,计算出点G运动的路线长.
一十.作图—复杂作图(共3小题)
14.(2021春•门头沟区期末)如图,∠AOB,点C在边OB上.
(1)过点C画直线CD⊥OA,垂足为D;
(2)过点C画直线CM∥OA,过点D画直线DN∥OB,直线CM,DN交于点E.
(3)如果∠AOB=50°,那么∠CDE= °.
15.(2021春•东城区期末)如图,平面内有两条直线l1,l2点A在直线l1上,按要求画图并填空:
(1)过点A画l2的垂线段AB,垂足为点B;
(2)过点A画直线AC⊥l1,交直线l2于点C;
(3)过点A画直线AD∥l2;
(4)若AB=12,AC=13,则点A到直线l2的距离等于 .
16.(2021春•平谷区期末)已知:
直线MN、PQ被AB所截,且MN∥PQ,点C是线段AB上一定点,点D是射线AN上一动点,连接CD.
(1)在图1中过点C作CE⊥CD,与射线BQ交于E点.
①依题意补全图形;
②求证:
∠ADC+∠BEC=90°;
(2)如图2所示,点F是射线BQ上一动点,连接CF,∠DCF=α,分别作∠NDC与∠CFQ的角平分线交于点G,请用含有α的代数式来表示∠DGF,直接写出无需证明.
一十一.旋转的性质(共1小题)
17.(2021春•海淀区校级期末)在等边△ABC中,AB=6,BD⊥AC,垂足为D,点E为AB边上一点,点F为直线BD上一点,连接EF,将线段EF绕点E逆时针旋转60°得到线段EG,连结FG.
①如图1,当点E与点B重合,且GF的延长线过点C时,连接DG,则线段DG的长为 ;
②如图2,点E不与点A,B重合,GF延长线交BC边于点H,连接EH,则= .
一十二.频数(率)分布直方图(共1小题)
18.(2021春•丰台区期末)为贯彻落实教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》通知要求,培养学生劳动习惯与劳动能力,某校学生发展中心在暑假期间开展了“家务劳动我最行”的实践活动,开学后从校七至九年级各随机抽取30名学生,对他们的每日平均家务劳动时长(单位:
min)进行了调查,并对数据进行了收集、整理和描述.下面是其中的部分信息:
a.90名学生每日平均家务劳动时长的频数分布表:
分组
频数
20≤x<25
9
25≤x<30
m
30≤x<35
15
35≤x<40
24
40≤x<45
n
45≤x<50
9
合计
90
b.90名学生每日平均家务劳动时长频数分布直方图:
c.每日平均家务劳动时长在35≤x<40这一组的是:
353535353636363636373737383838383838383939393939
d.小东每日平均家务劳动时长为37min.
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出频数分布表中的数值m= ,n= ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)小东每日平均家务劳动时长 样本中一半学生的每日平均家务劳动时长;(填“超过”或“没超过”)
(4)学生发展中心准备将每日平均家务劳动时长达到40min及以上的学生评为“家务小能手”,如果该校七至九年级共有420名学生,请估计获奖的学生人数.
一十三.扇形统计图(共2小题)
19.(2021春•平谷区期末)2021年平谷区创建文明城区的工作已全面启动.区教育系统结合《北京市生活垃圾管理条例》实施周年的重要节点,大力普及中学生垃圾分类知识,某校组织学生收集废弃塑料瓶活动以减少环境污染,现从七年级
(2)班随机抽取了20名学生,对这20名学生一周内进行收集废弃塑料瓶活动的数量进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
过程如下:
a.收集废弃塑料瓶的数量:
66
70
71
78
71
78
75
78
58
80
63
90
80
85
80
89
85
86
80
87
b、整理、描述数据:
数量
50≤x<60
60≤x<70
70≤x<80
80≤x<90
90≤x<100
人数
1
2
m
9
1
c.收集废弃塑料瓶的数量统计图;
d.样本数据的平均数、中位数、众数如表所示:
年级
平均数
中位数
众数
七年级
(2)班
77.5
n
k
请根据所给信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ,k= ;
(2)在扇形统计图中,“60≤x<70”所在的扇形的圆心角等于 度;
(3)七年级共有200人,估计七年级收集数量不少于80个塑料瓶的学生总人数为 .
20.(2020•宿州模拟)某单位有职工200人,其中青年职工(20﹣35岁),中年职工(35﹣50岁),老年职工(50岁及以上)所占比例如扇形统计图所示.为了解该单位职工的健康情况,小张、小王和小李各自对单位职工进行了抽样调查,将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表1、表2和表3.
表1:
小张抽样调查单位3名职工的健康指数
年龄
26
42
57
健康指数
97
79
72
表2:
小王抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄
23
25
26
32
33
37
39
42
48
52
健康指数
93
89
90
83
79
75
80
69
68
60
表3:
小李抽样调查单位10名职工的健康指数
年龄
22
29
31
36
39
40
43
46
51
55
健康指数
94
90
88
85
82
78
72
76
62
60
根据上述材料回答问题:
(1)扇形统计图中老年职工所占部分的圆心角度数为
(2)小张、小王和小李三人中, 的抽样调查的数据能够较好地反映出该单位职工健康情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.
一十四.条形统计图(共1小题)
21.(2021春•石景山区期末)为了满足学生的多元文化需求,促进学生身心健康和谐发展,某校准备开展形式多样的特色课程.为了了解学生对部分课程的喜爱程度,学校对该校部分学生进行了一次“你最喜爱的特色课程”的问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一项),并将调查结果绘制成了两幅统计图(不完整);
请根据统计图提供的信息,完成下列问题:
(1)此次被调查的学生共有 人;
(2)请将上面统计图1补充完整并在图上标出数据;
(3)统计图2中,m= ;“综合类”部分扇形的圆心角是 °;
(4)若该校共有学生1200人,根据调查结果估计该校最喜欢“科技类”特色课程的学生约有 人.
参考答案与试题解析
一.二元一次方程组的应用(共1小题)
1.(2021春•丰台区期末)“冰墩墩”和“雪容融”分别是北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物.自2019年正式亮相后,相关特许商品投放市场,持续热销.某冬奥官方特许商品零售店购进了一批同一型号的“冰墩墩”和“雪容融”玩具,连续两个月的销售情况如表:
月份
销售量/件
销售额/元
冰墩墩
雪容融
第1个月
100
40
14800
第2个月
160
60
23380
(1)求此款“冰墩墩”和“雪容融”玩具的零售价格;
(2)某单位欲购买这两款玩具作为冬奥知识竞赛活动的奖品,要求“雪容融”的数量恰好等于“冰墩墩”的数量的2倍,且购买总资金不得超过9000元,请根据要求确定该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量.
【解答】解:
(1)设“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为x、y元,
则,
解方程组得:
,
答:
“冰墩墩”和“雪容融”玩具的单价分别为118、75元.
(2)设“冰墩墩”玩具的数量为m个,则“雪容融”玩具为2m个.
则118m+75•2m≤9000,
解得:
m≤≈33.58,
正整数m最大为33,
答:
该单位购买“冰墩墩”玩具的最大数量为33.
二.一元一次不等式的应用(共2小题)
2.(2021春•门头沟区期末)某校组织学生去游乐园参加拓展体验活动,活动中有“空中飞人”和“保卫地球”两个体验项目供同学选择.如果4名同学选择“空中飞人”,1名同学选择“保卫地球”,购票费用共需210元;如果3名同学选择“空中飞人”,2名同学选择“保卫地球”,购票费用共需220元.
(1)求每张“空中飞人”的票价和每张“保卫地球”的票价各为多少元;
(2)在
(1)的条件下,某班有45名同学全部参加体验,老师要求购票总费用不超过2000元,那么最少有多少名同学选择“空中飞人”体验项目?
【解答】解:
(1)设每张“空中飞人”的票价是x元,每张“保卫地球”的票价是y元,
根据题意,得.
解得.
答:
每张“空中飞人”的票价是40元,每张“保卫地球”的票价是50元;
(2)设有a名同学选择“空中飞人”体验项目,则有(45﹣a)名同学选择“保卫地球”体验项目,
根据题意,得40a+50(45﹣a)≤2000.
解得a≥25.
所以a最小值=25.
答:
最少有25名同学选择“空中飞人”体验项目.
3.(2021春•石景山区期末)列一元一次不等式解应用题:
某校七年级330名师生外出参加社会实践活动,租用50座与40座的两种客车.如果50座的客车租用了2辆,那么至少需要租用多少辆40座的客车?
【解答】解:
设需租用40座的客车x辆,
依题意,得:
40x+50×2≥330,
解得:
x≥5.
又∵x为正整数,
∴x的最小值为6.
答:
至少需要租用6辆40座的客车.
三.坐标与图形性质(共2小题)
4.(2021春•东城区期末)在平面直角坐标系xOy中.点A,B,P不在同一条直线上.对于点P和线段AB给出如下定义:
过点P向线段AB所在直线作垂线,若垂足Q落在线段AB上,则称点P为线段AB的内垂点.若垂足Q满足|AQ﹣BQ|最小,则称点P为线段AB的最佳内垂点.
已知点A(﹣2,1),B(1,1),C(﹣4,3).
(1)在点P1(2,3)、P2(﹣5,0)、P3(﹣1,﹣2),P4(﹣,4)中,线段AB的内垂点为 P3,P4 ;
(2)点M是线段AB的最佳内垂点且到线段AB的距离是2,则点M的坐标为 (﹣0.5,3)或(﹣0.5,﹣1) ;
(3)点N在y轴上且为线段AC的内垂点,则点N的纵坐标n的取值范围是 3≤n≤7 ;
(4)已知点D(m,0),E(m+4,0),F(2m,3).若线段CF上存在线段DE的最佳内垂点,求m的取值范围.
【解答】解:
(1)∵A(﹣2,1),B(1,1),
∴AB∥x轴,
∴在点P1(2,3)、P2(﹣5,0)、P3(﹣1,﹣2),P4(﹣,4)中,线段AB的内垂点P3,P4,
故答案为:
P3,P4;
(2)∵垂足Q满足|AQ﹣BQ|最小,则称点P为线段AB的最佳内垂点.
∴当P在AB的垂直平分线上时,P为最佳内垂点,
∴点Q在AB的垂直平分线上,
又∵M到线段AB的距离是2,
∴M(﹣0.5,3)或(﹣0.5,﹣1);
故答案为:
(﹣0.5,3)或(﹣0.5,﹣1);
(3)如图,作AE⊥AC交y轴于E,作CF⊥AC交y轴于F,
∵N为线段AC的内垂点,
∴N在线段EF上,
∴3≤n≤7,
故答案为:
3≤n≤7;
(4)当点F在点C左侧时,
∵D(m,0),E(m+4,0),
∴DE的中点为(m+2,0),
∵线段CF上存在线段DE的最佳内垂点,
∴2m≤m+2≤﹣4,
∴m≤﹣6,
当点F在点C右侧时,
同理可得:
﹣4≤m+2≤2m,
∴m≥2,
综上可知:
m≤﹣6或m≥2.
5.(2021春•海淀区校级期末)点P到∠AOB的距离定义如下:
点Q为∠AOB的两边上的动点,当PQ最小时,我们称此时PQ的长度为点P到∠AOB的距离,记为d(P,∠AOB).特别的,当点P在∠AOB的边上时,d(P,∠AOB)=0.
在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是以点O(0,0),A(4,0),B(4,4),C(0,4)为顶点的正方形,作射线OB,则∠AOB=45°.
(1)如图1,点P1(﹣1,0),P2(0,),P3(1,﹣2)的位置如图所示,请用度量的方式,判断点P1,P2,P3中到∠AOB的距离等于1的点是 P1,P2 ;
(2)已知点P在∠AOB的内部,且d(P,∠AOB)=1,
①若点P的横纵坐标都是整数,请写出一个满足条件的点P的坐标 (3,1)(答案不唯一) ;
②请在图1中画出所有满足条件的点P;
(3)如图2,已知点E(0,﹣8),F(﹣2,2),G(7,2),记射线EF与射线EG组成的图形为图形V.若点P在图形V上,满足d(P,∠AOB)=2的点P有 6 个.
【解答】解:
(1)如图1中,
通过测量法,可知点P2到直线OB的距离为1,OP1=1,OP3>1,
∴点P1,P2,P3中到∠AOB的距离等于1的点是P1,P2,
故答案为:
P1,P2.
(2)①一个满足条件的点P的坐标(3,1),(4,1),(5,1)等(答案不唯一).
故答案为:
(3,1)(答案不唯一).
②如图1﹣1中,所有满足条件的点P在∠MJN的边上.
(3)如图2中,满足条件的点P在图中的红线上,红线与∠FEG有6个交点(其中一个交点是,EG与FC的交点图中没有画出来),
故满足条件的点P有6个,
故答案为:
6.
四.一次函数综合题(共1小题)
6.(2021春•海淀区校级期末)在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,…,Ak是k个互不相同的点,若这k个点横坐标的不同取值有m个,纵坐标的不同取值有n个,p=m+n,则称p为这k个点的“平面特征值”,记为T<A1,A2,…,Ak>=p.如:
点M(2,1)点N(3,1),则T<M,N>=2+1=3.
如图,正方形ABCD的边AB在x轴上,CD交y轴于点E,已知O为AB的中点,点B的坐标为(4,0).
(1)T<A,B>= 3 ,T<A,B,E>= 5 ;
(2)点F(0,b)为y轴上一动点,过点P作直线l∥x轴,直线l与直线AC,直线BD的交点记为P,Q,请直接写出T<A,B,C,D,E,F,P,Q>的所有可能的取值,以及相应的b的取值范围.
【解答】解:
(1)①∵正方形ABCD的边AB在x轴上,O为AB的中点,点B的坐标为
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