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第64页共64页

运筹学习题答案

第一章（39页）

1.1用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。

（1）max

5+1050

+1

4

，0

（2）minz=+1.5

+33

+2

，0

（3）maxz=2+2

--1

-0.5+2

，0

（4）maxz=+

-0

3--3

，0

解：

（1）（图略）有唯一可行解，maxz=14

（2）（图略）有唯一可行解，minz=9/4

（3）（图略）无界解

（4）（图略）无可行解

1.2将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。

（1）minz=-3+4-2+5

4-+2-=-2

++3-14

-2+3-+22

，，0，无约束

（2）max

0（i=1…n;k=1,…,m）

（1）解：

设z=-,=-,,0

标准型：

Max=3-4+2-5（-）+0+0-M-M

s.t.

-4+-2+-+=2

++3-++=14

-2+3-+2-2-+=2

,,,,,,,0

初始单纯形表:

3

-4

2

-5

5

0

0

-M

-M

b

-M

2

-4

1

-2

1

-1

0

0

0

1

2

0

14

1

1

3

-1

1

1

0

0

0

14

-M

2

-2

[3]

-1

2

-2

0

-1

1

0

2/3

-

4M

3-6M

4M-4

2-3M

3M-5

5-3M

0

-M

0

0

（2）解：

加入人工变量，，，…，得：

Maxs=（1/）-M-M-…..-M

s.t.

（i=1,2,3…,n）

0,0,（i=1,2,3…n;k=1,2….,m）

M是任意正整数

初始单纯形表：

-M

-M

…

-M

…

…

…

b

…

…

…

…

-M

1

1

0

…

0

1

1

…

…

0

0

…

0

-M

1

0

1

…

0

0

…

…

0

0

…

0

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

-M

1

0

0

…

1

0

0

…

0

…

1

1

…

1

-s

nM

0

0

…

0

…

…

…

1.3在下面的线性规划问题中找出满足约束条件的所有基解。

指出哪些是基可行解，并代入目标函数，确定最优解。

（1）maxz=2+3+4+7

2+3--4=8

-2+6-7=-3

,,0

（2）maxz=5-2+3-6

+2+3+4=7

2+++2=3

0

（1）解：

系数矩阵A是：

令A=（，，，）

与线形无关，以（，）为基，，为基变量。

有2+3=8++4

-2=-3-6+7

令非基变量，=0

解得：

=1；=2

基解=（1，2，0，0为可行解

=8

同理，以（，）为基，基解=（45/13，0，-14/13，0是非可行解；

以（，）为基，基解=（34/5，0，0，7/5是可行解，=117/5；

以（，）为基，基解=（0，45/16，7/16，0是可行解，=163/16；

以（，）为基，基解=（0，68/29，0，-7/29是非可行解；

以（，）为基，基解=（0，0，-68/31，-45/31是非可行解；

最大值为=117/5；最优解=（34/5，0，0，7/5。

（2）解：

系数矩阵A是：

令A=（，，，）

，线性无关，以（，）为基，有：

+2=7-3-4

2+=3--2

令，=0得

=-1/3，=11/3

基解=（-1/3，11/3，0，0为非可行解；

同理，以（，）为基，基解=（2/5，0，11/5，0是可行解=43/5；

以（，）为基，基解=（-1/3，0，0，11/6是非可行解；

以（，）为基，基解=（0，2，1，0是可行解，=-1；

以（，）为基，基解=（0，0，1，1是=-3；

最大值为=43/5；最优解为=（2/5，0，11/5，0。

1.4分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题，并指出单纯形迭代每一步相当于图形的哪一点。

（1）maxz=2+

3+515

6+224

，0

（2）maxz=2+5

4

212

3+218

，0

解：

（图略）

（1）maxz=33/4最优解是（15/4,3/4）

单纯形法：

标准型是maxz=2++0+0

s.t.3+5+=15

6+2+=24

,,0

单纯形表计算：

2

1

0

0

b

0

15

3

5

1

0

5

0

24

[6]

2

0

1

4

-z

0

2

1

0

0

0

3

0

[4]

1

-1/2

3/4

2

4

1

1/3

0

1/6

12

-z

-8

0

1/3

0

-1/3

1

3/4

0

1

1/4

-1/8

2

15/4

1

0

-1/12

5/24

-z

-33/4

0

0

-1/12

-7/24

解为：

（15/4，3/4，0，0

Maxz=33/4

迭代第一步表示原点；第二步代表C点（4，0，3，0；

第三步代表B点（15/4，3/4，0，0。

（2）解：

（图略）

Maxz=34此时坐标点为（2，6）

单纯形法，标准型是：

Maxz=2+5+0+0+0

s.t.+=4

2+=12

3+2+=18

,,,0

（表略）

最优解X=（2，6，2，0，0

Maxz=34

迭代第一步得=（0，0，4，12，18表示原点，迭代第二步得=（0，6，4，0，6，第三步迭代得到最优解的点。

1.5以1.4题

（1）为例，具体说明当目标函数中变量的系数怎样变动时，满足约束条件的可行域的每一个顶点，都可能使得目标函数值达到最优。

解：

目标函数：

maxz=+

（1）当0时

=-（/）+z/其中，k=-/

=-3/5，=-3

lk时，，同号。

当0时，目标函数在C点有最大值

当0时，目标函数在原点最大值。

lk时，，同号。

当0，目标函数在B点有最大值；

当0，目标函数在原点最大值。

lk0时，，同号。

当0时，目标函数在A点有最大值

当0时，目标函数在原点最大值。

lk0时，，异号。

当0，0时，目标函数在A点有最大值；

当0，0时，目标函数在C点最大值。

lk=时，，同号

当0时，目标函数在AB线断上任一点有最大值

当0，目标函数在原点最大值。

lk=时，，同号。

当0时，目标函数在BC线断上任一点有最大值

当0时，目标函数在原点最大值。

lk=0时，=0

当0时，目标函数在A点有最大值

当0，目标函数在OC线断上任一点有最大值

（2）当=0时，maxz=

l0时，目标函数在C点有最大值

l0时，目标函数在OA线断上任一点有最大值

l=0时，在可行域任何一点取最大值。

1.6分别用单纯形法中的大M法和两阶段法求解下列线性问题，并指出属于哪类解。

（1）maxz=2+3-5

++15

2-5+24

，0

（2）minz=2+3+

+4+28

3+26

，，0

（3）maxz=10+15+12

5+3+9

-5+6+1515

2++5

，，0

（4）maxz=2-+2

++6

-2+2

2-0

，，0

解：

（1）解法一：

大M法

化为标准型：

Maxz=2+3-5-M+0-M

s.t.+++=7

2-5+-+=10

,,,,0M是任意大整数。

单纯形表：

2

3

-5

-M

0

-M

b

-M

7

1

1

1

1

0

0

7

-M

10

[2]

-5

1

0

-1

1

5

-z

17M

3M+2

3-4M

2M-5

0

-M

0

-M

2

0

[7/2]

1/2

1

1/2

-1/2

4/7

2

5

1

-5/2

1/2

0

-1/2

1/2

-

-z

2M-10

0

（7/2）M+8

0.5M-6

0

0.5M+1

-1.5M-1

3

4/7

0

1

1/7

2/7

1/7

-1/7

2

45/7

1

0

6/7

5/7

-1/7

1/7

-z

-102/7

0

0

-50/7

-M-16/7

-1/7

-M+1/7

最优解是：

X=（45/7，4/7，0，0，0

目标函数最优值maxz=102/7

有唯一最优解。

解法二：

第一阶段数学模型为minw=+

S.t.+++=7

2-5+-+=10

,,，,0

（单纯形表略）

最优解

X=（45/7，4/7，0，0，0

目标函数最优值minw=0

第二阶段单纯形表为：

2

3

-5

0

b

3

4/7

0

1

1/7

1/7

2

45/7

1

0

6/7

-1/7

-z

-102/7

0

0

-50/7

-1/7

最优解是

X=（45/7，4/7，0，0，0

Maxz=102/7

（2）解法一：

大M法

=-z有max=-min（-）=-minz

化成标准形：

Max=-2-3-+0+0-M-M

S.T.

+4+2-+=4

3+2-+=6

,,，,，0

（单纯性表计算略）

线性规划最优解X=（4/5，9/5，0，0，0，0

目标函数最优值minz=7

非基变量的检验数=0，所以有无穷多最优解。

两阶段法：

第一阶段最优解X=（4/5，9/5，0，0，0，0是基本可行解,minw=0

第二阶段最优解（4/5，9/5，0，0，0，0minz=7

非基变量的检验数=0，所以有无穷多最优解。

（3）解：

大M法

加入人工变量，化成标准型：

Maxz=10+15+12+0+0+0-M

s.t.5+3++=9

-5+6+15+=15

2++-+=5

,,，,，0

单纯形表计算略

当所有非基变量为负数，人工变量=0.5，所以原问题无可行解。

两阶段法（略）

（4）解法一：

大M法

单纯形法，（表略）非基变量的检验数大于零，此线性规划问题有无界解。

两阶段法略

1.7求下述线性规划问题目标函数z的上界和下界；

Maxz=+

其中：

，，，，，，，

解：

l求Z的上界

Maxz=3+6

s.t.-+212

2+414

，0

加入松弛变量，化成标准型，用单纯形法解的，最优解

X=（0，7/2，5，0

目标函数上界为z=21

存在非基变量检验数等于零，所以有无穷多最优解。

l求z的下界

线性规划模型：

MaxZ=+4

s.t.3+58

4+610

，0

加入松弛变量，化成标准型，解得：

最优解为

X=（0，8/5，0，1/5

目标函数下界是z=32/5

1.8表1-6是某求极大化线性规划问题计算得到的单纯形表。

表中无人工变量，，，，d，，为待定常数，试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。

（1）表中解为唯一最优解；

（2）表中解为最优解，但存在无穷多最优解；（3）该线性规划问题具有无界解；（4）表中解非最优，对解改进，换入变量为，换出变量为。

基b

d

4

1

0

0

2

-1

-3

0

1

-1

0

3

-5

0

0

-4

1

0

0

-3

0

解：

（1）有唯一最优解时，d0，0，0

（2）存在无穷多最优解时，d0，0，=0或d0，=0，0.

（3）有无界解时，d0，0，0且

（4）此时，有d0，0并且，，3/d/4

1.9某昼夜服务的公交线路每天个时间段内所需司机和乘务员人数如下：

班次

时间

所需人数

1

6点到10点

60

2

10点到14点

70

3

14点到18点

60

4

18点到22点

50

5

22点到2点

20

6

2点到6点

30

设司机和乘务人员分别在各时间区段一开始时上班，并连续上班8小时，问该公交线路至少配备多少司机和乘务人员。

列出线型规划模型。

解：

设（k=1，2，3，4，5，6）为个司机和乘务人员第k班次开始上班。

建立模型：

Minz=+++++

s.t.+60

+70

+60

+50

+20

+30

,,,,0

1.10某糖果公司厂用原料A、B、C加工成三种不同牌号的糖果甲乙丙，已知各种糖果中ABC含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果的单位加工费用及售价如表所示：

原料

甲

乙

丙

原料成本（元/千克）

每月限制用量（千克）

A

60%

15%

2

2000

B

1.5

2500

C

20%

60%

50%

1

1200

加工费

0.5

0.4

0.3

售价

3.4

2.85

2.25

问该厂每月应当生产这三种牌号糖果各多少千克，使得获利最大？

建立数学模型。

解:

解：

设，，是甲糖果中的A，B，C成分，，，是乙糖果的A，B，C成分，，，是丙糖果的A，B，C成分。

线性规划模型：

Maxz=0.9+1.4+1.9+0.45+0.95+1.45-0.05+0.45+0.95

s.t.-0.4+0.6+0.60

-0.2-0.2+0.80

-0.85+0.15+0.150

-0.6-0.6+0.40

-0.7-0.5+0.50

++2000

++2500

++1200

,,,,,,,0

1.11某厂生产三种产品I、、III。

每种产品经过AB两道加工程序，该厂有两种设备能完成A工序，他们以,表示；有三种设备完成B工序，分别为，，；产品I可以在AB任何一种设备上加工，产品可以在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时，只能在设备上加工；产品III只能在，上加工。

已知条件如下表，要求安排最优生产计划，使该厂利润最大化。

设备

产品

设备有效台时

满负荷时的设备费用

I

II

III

5

10

6000

300

7

9

12

10000

321

6

8

4000

250

4

11

7000

783

7

4000

200

原料费

0.25

0.35

0.5

单价

1.25

2.00

2.8

解：

产品1，设,完成A工序的产品，件；B工序时，,，完成B工序的，，件，产品，设,完成A工序的产品，件；B工序时，完成B的产品为件；产品111，完成A工序的件，完成B工序的件；

+=++

+=

建立数学模型：

Maxz=（1.25-0.25）*（+）+（2-0.35）*（+）+（2.8-0.5）-（5+10）300/6000-（7+9+12）321/10000-（6+8）250/4000-（4+11）783/7000-7*200/4000

s.t

5+106000

7+9+1210000

6+84000

4+117000

74000

+=++

+=

,,,,,,,0

最优解为X=（1200，230，0，859，571，0，500，500，324

最优值1147.

试题：

1.（2005年华南理工大学）设某种动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、100毫

克维生素。

现有5种饲料可供选择，每种饲料每公斤营养成分的含量及单价如下表所示：

试建立既满足动物生长需要，又使费用最省的选用饲料方案的线性规划模型。

表1—1

饲料

蛋白质（克）

矿物质（克）

维生素（毫克）

价格（元/公斤）

1

3

1

0.5

0.2

2

2

0.5

1

0.7

3

1

0.2

0.2

0.4

4

6

2

2

0.3

5

18

0.5

0.8

0.8

解题分析：

这是一道较简单的数学规划模型问题，根据题意写出约束即可。

解题过程：

第二章（67页）

2.1用改进单纯形法求解以下线性规划问题。

（1）Maxz=6-2+3

2-+32

+44

，，0

（2）minz=2+

3+=3

4+36

+23

0

解：

（1）

先化成标准型：

Maxz=6-2+3+0+0

s.t.2-+2+=2

+4+=4

,,,0

令=（，）==（,,=（0,0）

=（,,）=,=（，，

=（6,-2,3），=,=

非基变量的检验数

=-==（6,-2,3）

因为的检验数等于6，是最大值，所以，为换入变量，

=；=

由规则得：

=1

为换出变量。

=（，）=,=（,，=（6,0）.

=（,,）,=（，，

=（0，-2，3），=,=

非基变量的检验数=（-3，1，-3）

因为的检验数为1，是正的最大数。

所以为换入变量；

=

由规则得：

=6

所以是换出变量。

=（，）=,=（,，=（6,-2）.

=（,，）,=（，，

=（0，0，3），=,=

非基变量的检验数=（-2，-2，-9）

非基变量的检验数均为负数，愿问题已达最优解。

最优解X=

即：

X=（4,6,0

目标函数最优值maxz=12

（2）

解：

Minz=2++0+M+M+0

S.T.

3++=3

4+3-+=6

+2+=3

,,,,0

M是任意大的正数。

（非基变量检验数计算省略）

原问题最优解是X=（0.6，1.2，0）

目标函数最优值：

z=12/5

2.2已知某线性规划问题，用单纯形法计算得到的中间某两步的加算表见表，试将空白处数字填上。

3

5

4

0

0

0

b

5

8/3

2/3

1

0

1/3

0

0

0

14/3

-4/3

0

5

-2/3

1

0

0

20/3

5/3

0

4

-2/3

0

1

-

-1/3

0

4

-5/3

0

0

.

.

.

15/41

8/41

-10/41

-6/41

5/41

4/41

-2/41

-12/41

15/41

-

解：

3

5

4

0

0

0

b

5

8/3

0

14/3

0

20/3

-

.

.

.

5

80/41

0

1

0

15/41

4

50/41

0

0

1

-6/41

3

44/41

1

0

0

-2/41

-

0

0

0

-45/41

2.3写出下列线性规划问题的对偶问题。

（1）minz=2+2+4

2+3+52

3++73

+4+65

,0

（1）

解：

对偶问题是：

Maxw=2-3-5

s.t.

2-3-2

3--42

5-7-64

,0

（2）maxz=+2+3+4

-+--3=5

6+7+3-58

12-9-9+920

0;0;无约束

解：

对偶问题：

Minw=5+8+20

S.t.-+6+121

+7-92

-+3-93

-3-5+9=4

无约束，0；0

（3）minz=

i=1,…,m

j=1,…,n

0

解：

对偶问题:

maxw=+

s.t.+

无约束i=1,2,….m;j=1,2,….n

（4）

Maxz=

i=1,….,

i=

0,当j=1，….，

无约束，当j=

解：

Minw=

s.t.

j=1,2,3…

j=+1,+2,….n

0i=1,2….

无约束，i=+1,+2….m

2.4判断下列说法是否正确，并说明为什么.

（1）如线性规划问题的原文题存在可行解，则其对偶问题也一定存在可行解。

（2）如线性规划的对偶问题无可行解，则原问题也一定无可行解。

（3）如果线性规划问题的原问题和对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题一定有有限最优解。

（1）错误，原问题有可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能不存在；

（2）错误，对偶问题没有可行解，原问题可能有可行解也可能有无界解；

（3）错误，原问题和对偶问题都有可行解，则可能有有限最优解也可能有无界解；

2.5设线性规划问题1是：

Max=

，i=1，2…，m

（）是其对偶问题的最优解。

又设线性规划问题2是

Max

+，i=1，2…，m

其中是给定的常数，求证：

+

解：

证明：

把原问题用矩阵表示：

Max=CX

s.t.AXb

X0

b=（,...

设可行解为,对偶问题的最优解=（，…）已知。

Max=CX

s.t.AXb+k

X0

k=（,...

设可行解为，对偶问题最优解是,对偶问题是，

Minw=Y（b+k）

S.t.YAC

Y0

因为是最优解，所以（b+k）（b+k）

是目标函数的可行解，Ab+k；A（b+k）b+Yk

原问题和对偶问题的最优函数值相等，所以不等式成立，证毕。

2.6已知线性规划问题

Maxz=

=

用单纯形法求解，得到最终单纯形表如表