(同济大学)高等数学课件D8-7方向导数与梯度.ppt

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第八章第七节第七节一、方向导数一、方向导数机动目录上页下页返回结束二、梯度二、梯度三、物理意义三、物理意义方向导数与梯度方向导数与梯度一、方向导数一、方向导数定义定义:

若函数则称为函数在点P处沿方向l的方向导数方向导数.在点处沿方向l（方向角为）存在下列极限:

机动目录上页下页返回结束记作记作定理定理:

则函数在该点沿任意方向沿任意方向l的方向导数存在,证明证明:

由函数且有在点P可微,得机动目录上页下页返回结束故机动目录上页下页返回结束对于二元函数为,）的方向导数为特别特别:

当l与x轴同向当l与x轴反向向角例例1.求函数在点P（1,1,1）沿向量3）的方向导数.机动目录上页下页返回结束解解:

向量l的方向余弦为例例2.求函数在点P（2,3）沿曲线朝x增大方向的方向导数.解解:

将已知曲线用参数方程表示为它在点P的切向量为机动目录上页下页返回结束例例3.设是曲面在点P（1,1,1）处指向外侧的法向量,解解:

方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P处沿求函数机动目录上页下页返回结束二、梯度二、梯度方向导数公式令向量这说明方向：

f变化率最大的方向模:

f的最大变化率之值方向导数取最大值：

机动目录上页下页返回结束1.定义定义即同样可定义二元函数称为函数f（P）在点P处的梯度记作（gradient）,在点处的梯度机动目录上页下页返回结束说明说明:

函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2.梯度的几何意义梯度的几何意义函数在一点的梯度垂直于该点等值面（或等值线）,机动目录上页下页返回结束称为函数f的等值线等值线.则L*上点P处的法向量为同样,对应函数有等值面（等量面）当各偏导数不同时为零时,其上点P处的法向量为指向函数增大的方向.3.梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式机动目录上页下页返回结束例例4.证证:

试证机动目录上页下页返回结束处矢径r的模,三、物理意义三、物理意义函数（物理量的分布）数量场数量场（数性函数）场向量场向量场（矢性函数）可微函数梯度场梯度场（势）如:

温度场,电位场等如:

力场,速度场等（向量场）注意注意:

任意一个向量场不一定是梯度场.机动目录上页下页返回结束例例5.已知位于坐标原点的点电荷q在任意点试证证证:

利用例4的结果这说明场强:

处所产生的电位为垂直于等位面,且指向电位减少的方向.机动目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.方向导数方向导数三元函数在点沿方向l（方向角的方向导数为二元函数在点的方向导数为沿方向l（方向角为机动目录上页下页返回结束2.梯度梯度三元函数在点处的梯度为二元函数在点处的梯度为3.关系关系方向导数存在偏导数存在可微机动目录上页下页返回结束梯度在方向l上的投影.思考与练习思考与练习1.设函数

（1）求函数在点M（1,1,1）处沿曲线在该点切线方向的方向导数;

（2）求函数在M（1,1,1）处的梯度梯度与

（1）中切线方切线方向向的夹角.2.P73题16机动目录上页下页返回结束曲线1.

（1）在点解答提示解答提示:

机动目录上页下页返回结束函数沿l的方向导数M（1,1,1）处切线的方向向量机动目录上页下页返回结束2.P73题16P512，3，6，7，8，9，10作业作业第八节目录上页下页返回结束备用题备用题1.函数在点处的梯度解解:

则注意x,y,z具有轮换对称性（92考研考研）机动目录上页下页返回结束指向B（3,2,2）方向的方向导数是.在点A（1,0,1）处沿点A2.函数提示提示:

则（96考研考研）机动目录上页下页返回结束