考研必备概率论与数理统计公式大全.docx

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考研必备概率论与数理统计公式大全

P（AB）

12）条件概率记为P（B/A）。

P（A）

13）乘法乘法公式：

P（AB）P（A）P（B/A）

14）独立性

①两个事件的独立性

P（B|A）P（AB）P（A）P（B）P（B）

P（A）P（A）

设事件B1,B2,,Bn满足

15）全概公式

1°B1,B2,,Bn两两互不相容，P（Bi）0（i1,2,,n），则有

P（A）P（B1）P（A|B1）P（B2）P（A|B2）P（Bn）P（A|Bn）

（1）离散型随机变量的分布律

pk1

（2）k1。

（2）连续型随

设F（x）是随机变量X的分布函数，若存在非负函数f（x），对任意实数x，有

机变量的分布

x

密度

F（x）f（x）dx，

，

则称X为连续型随机变量。

f（x）称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

1°f（x）0。

f（x）dx1

2°。

（3）离散与连

续型随机变量

P（Xx）P（xXxdx）f（x）dx

的关系

积分元f（x）dx在连续型随机变量理论中所起的作用与P（Xxk）pk在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设X为随机变量，x是任意实数，则函数

F（x）P（Xx）

称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。

P（aX

b）F（b）F（a）可以得到X落入区间（a,b]的概率。

分布函数F（x）表

示随机变量落入区间

（–∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1°0F（x）1,x；

2°F（x）是单调不减的函数，即x1x2时，有F（x1）F（x2）；

3°F（）limF（x）0，F（）limF（x）1；xx

4°F（x

0）F（x），即F（x）是右连续的；

5°P（X

x）F（x）F（x0）。

（5）八大分布

0-1分布

P（X=1）=p,P（X=0）=q

二项

P（Xk）Pn（k）Cnkpkqnk，其中

分布

X~B（n,p）。

q1p,0p1,k0,1,2,,n，

泊松

k

P（Xk）e

k!

，0，k0,1,2，

分布

记为X~（）或者P（）。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

超几何分布

P（X

k）

knkMCNM

CNn

H（n,N,M）。

k0,1,2,l

lmin（M,n）

几何分布均匀分布

P（X

k）qk1p,k1,2,3,，其中p≥0，

q=1-p。

记为G（p）。

设随机变量X的值只落在[a，b]内，其密度函数

即

f（x）

在[a，b]上为常数

1

ba

指数分布

f（x）

1

ba

0,

a≤x≤b

其他，

则称随机变量X在[a，b]上服从均匀分布，记为X~U（a，b）分布函数为

0，x

xa

F（x）f（x）dxbaa≤x≤b

1，x>b。

当a≤x1

x2x1

P（x1Xx2）21ba

其中0，

X的分布函数为

0,

则称随机变量

x0,

x0,

X服从参数为的指数分布。

F（x）

1ex,记0住,积分公式：

x0

x<0。

xnexdxn!

正态分布

设随机变量X的密度函数为

1（x）2

f（x）1e22，x，

2其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或

2高斯（Gauss）分布，记为X~N（,）。

f（x）具有如下性质：

12°当x时，f（）1为最大值；

22若X~N（1,）x，则（tX的）2分布函数为F（x）1e22dt

2。

。

。

。

参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为X~N（0,1），其密

2度函数记为1x

（x）1e2

2，x，

分布函数为1xt2

（x）e2dt。

22X如果X~N（,），则~N（0,1）。

x2x1

P（x1Xx2）21。

第三章二维随机变量及其分布

连续型

对于二维随机向量（X,Y），如果存在非负函数f（x,y）（x,y），使对任意一个其邻边分别平行于

坐标轴的矩形区域D，即D={（X,Y）|a

P{（X,Y）D}f（x,y）dxdy,

D

则称为连续型随机向量；并称f（x,y）为=（X，Y）的分布密度或称为X和Y的联合分布密度。

分布密度f（x,y）具有下面两个性质：

（1）f（x,y）≥0;

（2）f（x,y）dxdy1.

（2）二维随机变量的本质

（Xx,Yy）（XxYy）

3）联合分布

设（X，Y）为二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数

F（x,y）P{Xx,Yy}

称为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件

{（1,2）|X

（1）x,Y

（2）y}的概率为函数值的一个实值函数。

分布函数F（x,y）具有以下的基本性质：

（1）0F（x,y）1;

（2）F（x,y）分别对x和y是非减的，即

当x2>x1时，有F（x2,y）≥F（x1,y）;当y2>y1时，有F（x,y2）≥F（x,y1）;

（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即

F（x,y）F（x0,y）,F（x,y）F（x,y0）;

（4）F（,）F（,y）F（x,）0,F（,）1.

（5）对于x1x2，y1y2，

F（x2，y2）F（x2，y1）F（x1，y2）F（x1，y1）0.

（5）边缘分布

离散型

X的边缘分布为

PiP（Xxi）pij（i,j1,2,）；

j

Y的边缘分布为

PjP（Yyj）pij（i,j1,2,）。

i

连续型

X的边缘分布密度为

fX（x）f（x,y）dy；

Y的边缘分布密度为

fY（y）f（x,y）dx.

连续型

在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为

f（x|y）f（x,y）；

fY（y）

在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为f（y|x）f（x,y）

fX（x）

（7）独立性

一般型

F（X,Y）=FX（x）FY（y）

离散型

pijpipj有零不独立

二维正态分布

1x122（x1）（y2）y22

12（12）1122

f（x,y）2e1122,

21212

＝0

（8）二维均匀

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

1SDf（x,y）

0,

（x,y）D

其他

其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。

9）二维正态

设随机向量（X，Y）的分布密度函数为

分布

f（x,y）

1

e2（12）

21212

22（x1）（y2）

12

y222,

其中1,2,10,20,||1是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，

22

10）函数分布

记为（X，Y）～N（1,2,12,22,）.

根据定义计算：

FZ（z）P（Zz）P（XYz）

对于连续型，fZ（z）＝f（x,zx）dx

22

两个独立的正态分布的和仍为正态分布（12,1222）。

n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。

分布

分布

设n个随机变量

的平方和

的分布密度为

我们称随机变量

X1,X2,,Xn相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们

n

W

i1

Xi2

n21

f（u）22n2

u0,

0,

u0.

2

W服从自由度为n的分布

，记为

W～

2

2（n），其中

n2

x21exdx.

所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。

2分布满足可加性：

设

Yi2（ni）,

k

ZYi~2（n1n2nk）.

i1

设X，Y是两个相互独立的随机变量，且

X~N（0,1）,Y~

2（n）,

可以证明函数

的概率密度为

f（t）

n1

2

nn

2

TY/n

n1t2n

（t）.

我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t（n）

t1（n）t（n）

F分布

2）期望的性质

3）方差的性质

5）二

维随机

字特

22

设X~2（n1）,Y~2（n2），且X与Y独立，

率密度函数为

f（y）

可以证明

FX/n1的概

Y/n2

n1n2n1

2n12yn211

n1

11y

n1n2n2

n2

22

n1n2

0,y0

y0

我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f（n1,

n2）.

F1（n1,n2）F（n2,n1）

第四章随机变量的数字特征

（1）

E（C）=C

（2）

E（CX）=CE（X）

（3）

E（X+Y）=E（X）+E（Y）

n

E（CiXi）

i1

（4）

E（XY）=E（X）E（Y），

Y独立；

充分条件：

X和

n

CiE（Xi

i1

充要条件：

X和Y不

相关。

D（C）=0；E（C）=C

D（aX）=a2D（X）；E（aX）=aE（X）

2

D（aX+b）=aD（X）；E（aX+b）=aE（X）+b

22

D（X）=E（X2）-E2（X）

D（X

D（X±Y）=D（X）+D（Y），充分条件：

X和Y独立；

充要条件：

X和Y不相关。

±Y）=D（X）+D（Y）±2E[（X-E（X））（Y-E（Y））]，无条件成立。

而E（X+Y）=E（X）+E（Y），无条件成立。

二项分布B（n,p）

泊松分布P（）

几何分布G（p）

超几何分布H（n,M,N）

均匀分布U（a,b）

期望

方差

p（1p）

np（1p）

1p

正态分布N（,2）

ab

2

（ba）2

12

指数分布