高一数学(必修一)《第五章-三角函数》练习题及答案解析-人教版.docx
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高一数学(必修一)《第五章三角函数》练习题及答案解析-人教版
班级:
___________姓名:
___________考号:
___________
一、单选题
1.为了得到函数的图象,可以将函数图象上所有的点( )
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
2.下列图像中,符合函数的是( )
A. B.
C. D.
3.已知函数的最小正周期为,将函数的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像,则( )
A. B.
C. D.
4.函数在上的图像是( )
A. B. C. D.
5.要想得到正弦曲线,只需将余弦曲线( )
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
6.将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,再将所得函数图象向左平移个单位长度,最后将所得函数图象上所有点的纵坐标变为原来的倍,横坐标不变,得到如图所示的函数的部分图象,则的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>1,0≤φ≤π)是R上的偶函数,其图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,则ω和φ的值分别为( )
A.和 B.2和 C.2和 D.和
8.已知函数的部分图象如图所示,若先将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再把图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到函数的图象,则当时,则函数的值域为( )
A.[-2,0] B.[-1,0] C.[0,1] D.[0,2]
9.已知函数,则下列结论中正确的是( )
A.的最小正周期为 B.的最大值为2
C.在区间上单调递增 D.的图像关于直线对称
10.将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象,若在上为增函数,则最大值为( )
A. B.2 C.3 D.
11.在锐角三角形中,角,B,的对边分别为,b,c,若,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
12.已知函数的最小正周期为,将其图象沿x轴向左平移个单位,所得图象关于直线对称,则实数m的最小值为( )
A. B. C. D.
13.已知函数是奇函数,为了得到函数的图象,可把函数的图象( )
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
14.某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈的模型波动(的单位:
千元,为月份,且).已知3月出厂价最高,为9千元,7月出厂价最低,为5千元,则的解析式为( )
A. B.
C. D.
15.函数的图象可以由函数的图象( )
A.向右平移单位得到 B.向左平移单位得到
C.向右平移单位得到 D.向左平移单位得到
16.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,则下列关于的说法正确的是( )
A.图象关于直线对称 B.图象关于对称
C.图象关于点中心对称 D.图象关于点中心对称
17.将偶函数的图象向右平移个单位,得到的图象,则的一个单调递减区间为( )
A. B.
C. D.
二、解答题
18.已知函数,)函数关于对称.
(1)求的解析式;
(2)用五点法在下列直角坐标系中画出在上的图象;
(3)写出的单调增区间及最小值,并写出取最小值时自变量的取值集合.
19.不画图,说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得出:
(1);
(2).
20.已知函数,为奇函数,且其图象上相邻的一个最高点与一个最低点之间的距离为.
(1)求的解析式;
(2)若已知三点坐标,和.若,且,求的值.
21.已知函数的最小正周期为4,且满足.
(1)求的解析式;
(2)求方程在区间上所有解的和.
22.已知函数,说明此函数是由如何变换而来的.
23.已知函数,其中常数.
(1)若函数的最小正周期为,求的值;
(2)若是上的严格增函数,求的取值范围;
(3)当时,则将函数的图像向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数的图像,区间满足:
在上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的中,求的最小值.
三、填空题
24.已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位,得到的图象,则下列有关与的描述正确的有______.(填序号)
①方程所有根的和为;
②不等式的解集为
③函数与函数图象关于对称.
25.将函数的图象向右平移个单位长度后,所得图象与函数的图象重合,则的最小值为______.
26.将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的图象.若函数的图象关于原点对称,则的一个取值为_________.
27.已知数列满足,.若从四个条件:
①;②;③;④中,选择一个作为条件补充到题目中,将数列的通项表示为的形式,则___________.
四、多选题
28.已知函数(,),若函数的部分图象如图所示,函数,则下列结论不正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数的图象关于点对称
C.将函数的图象向左平移个单位长度可得到函数的图象
D.函数在区间上的单调递减区间为
29.将函数的图像向左平移个单位后,得到函数的图像,则下列结论中正确的是( )
A.
B.的图象关于点中心对称
C.的图象关于对称
D.在区间上单调递增
参考答案与解析
1.C
【分析】由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.
【详解】因为
所以应将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度.
故选:
C.
2.A
【分析】根据函数的奇偶性及函数值验证选项即可得出答案.
【详解】由知
是奇函数,选项B错误;
,所以选项C和选项D错误,选项A正确.
故选:
A.
3.A
【分析】先将化为,根据最小正周期求出,再根据正弦函数的图像平移得到答案.
【详解】因为的最小正周期为,所以.将的图像向左平移个单位长度后得到函数的图像.
故选:
A.
4.D
【解析】利用五点法找到特殊点,由此判断选项即可
【详解】根据五点法找出五个特殊点,分别为,然后描点并用光滑的曲线连接
故选:
D
【点睛】本题考查正弦型函数的图像,考查五点法作图的应用
5.A
【分析】由诱导公式及函数图象平移规则即得.
【详解】因为
所以将余弦曲线向右移个单位可得.
故选:
A.
6.D
【分析】由图象求得的表达式,然后由图象变换得结论.
【详解】设,由函数图象,知,所以.所以.
又函数图象过点,所以.
所以,解得.
因为,所以.所以.所以.
故选:
D.
7.C
【分析】由f(x)是偶函数及0≤φ≤π可得φ.由图象关于点M对称,且在区间上是单调函数,结合ω>1及余弦函数的图象与性质可求ω.
【详解】解:
由f(x)是偶函数φ=kπ
∵0≤φ≤π,∴当k=0时,则φ.
∴f(x)=sin(ωx)=cosωx
∵f(x)图象上的点关于对称
∴,故kπ
即.
∵f(x)在区间上是单调函数,可得,即ω≤2.
又∵ω>1
∴当k=1时可得ω=2.
故选:
C.
8.D
【分析】由图可求出函数的周期,从而可求出,由图可得,然后将点代入函数中可求出的值,进而可求得函数解析式,根据三角函数图象变换规律求出,再由求出,再由余弦函数的性质可求得的值域.
【详解】由题意得,∴
当时,则
∴,令可得
又易知,故
由三角函数图象的变换可得
所以
∵,∴
∴,故函数的值域为.
故选:
D
9.C
【分析】根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可.
【详解】由
对A项的最小正周期为,故A错;
对B项的最大值为,故B错;
对C.项当时,则有,因为在上单调递增
所以在区间上单调递增,故C正确;
对D.项,当时,则有,所以不是的对称轴,故D错.
故选:
C
10.B
【分析】先求出,又因为在上为增函数,则,且,即可求出最大值.
【详解】函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
则
又因为在上为增函数
所以,且
解得,故的最大值为2.
故选:
B.
11.C
【分析】根据题意可得,由锐角三角形可求出A的范围,再由正弦定理及余弦函数的值域即可求解.
【详解】
.
故选:
C
12.A
【分析】由已知,先对函数进行化简,根据最小正周期为,求解出,然后根据题意进行平移变换,得到平移后的解析式,再利用图象关于直线对称,建立等量关系即可求解出实数m最小值.
【详解】解:
即,由其最小正周期为,即,解得
所以
将其图象沿轴向左平移()个单位,所得图象对应函数为
其图象关于对称,所以,所以
由,实数的最小值为.
故选:
A.
13.D
【分析】根据是奇函数可求得,利用诱导公式得,即可得出结果.
【详解】因为是奇函数,所以,即
因为,所以,所以
因为
所以可把函数的图象向右平移个单位长度.
故选:
D.
14.D
【分析】先根据最值,求出,求出最小正周期,进而求出,代入特殊点坐标求出,求出正确答案.
【详解】解:
由题意得,解得,又最小正周期为
所以,所以
将代入,解得,则
因为,所以当时,则符合题意
综上:
故选:
D
15.D
【分析】根据辅助角公式,结合正弦型函数图像变换的性质进行求解即可.
【详解】因为,所以函数向左平移单位得到函数的图像
故选:
D
16.C
【分析】根据三角函数图象的平移变换可得,结合三角函数对称轴、对称中心的定义与验证法依次判断选项即可.
【详解】由题意得,
∴,和
故A,B,D错误,又
∴图象关于点中心对称.
故选:
C.
17.C
【分析】根据辅助角公式,结合偶函数的性质求出值,再根据余弦函数图象的变换规律求出函数的解析式,最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】.
因为函数是偶函数,所以
因为,所以,所以
因为函数的图象向右平移个单位,得到的图象
所以
当时,则函数单调递减
即当时,则函数单调递减
当时,则函数在时单调递减.
故选:
C
18.
(1)
(2)详见解析
(3)单调递增区间是最小值为,取得最小值的的集合.
【分析】
(1)根据函数的对称轴,列式,求;
(2)利用“五点法”列表,画图;
(3)根据三角函数的性质,即可求解.
(1)
因为函数关于直线对称,所以
,因为,所以
所以
(2)
首先根据“五点法”,列表如下:
(3)
令
解得
所以函数的单调递增区间是
最小值为
令,得
函数取得最小值的的集合.
19.
(1)答案见解析;
(2)答案见解析
【分析】
(1)根据先平移,再进行横坐标伸缩变换,最后进行纵坐标伸缩变换求解即可;
(2)根据先平移,再进行横坐标伸缩变换,最后进行纵坐标伸缩变换求解即可;
【详解】解:
(1)将正弦曲线上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象,再将它图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,再将它的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍,横坐标不变得到函数的图象.
(2)将正弦曲线上的所有点向左平移个单位长度得到函数的图象,再将它图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍,纵坐标不变,得到函数的图象,再将它的图象上所有点的纵坐标缩小为原来的倍,横坐标不变得到函数的图象.
20.
(1)
(2)
【分析】
(1)由题意设最高点为,相邻最低点为,则,由三角函数的图象及已知可得,解得,利用周期公式可求,由,结合范围,可求的值,即可得解的解析式.
(2)由
(1)利用诱导公式化简三点坐标,利用向量平行的坐标表示可得,进而利用三角函数恒等变换即可求解的值.
(1)
解:
设最高点为,相邻最低点为,则
由三角函数的图象及已知,可得,即,解得,由,可得
所以
因为函数,为奇函数
所以,得
又,所以
于是
(2)
21.
(1)
(2)
【分析】
(1)由的最小正周期为4求得,由得的图象的对称中心,并结合,求出的值及的解析式
(2)由,得,解得或和,再由,可求出的值,从而可求得它们的和.
(1)
因为的最小正周期为4,所以.
因为满足,所以的图象关于点对称
所以,所以,即
又,所以.
的解析式为.
(2)
由
得,所以或
解得或
因为,所以方程的解集为
所以所有解的和为.
22.向左平移个单位
【分析】利用辅助角公式化简函数解析式,然后根据左右平移变换即可求出结果.
【详解】因为
根据三角函数的图象变换,将函数向左平移个单位,即可得到的图象.
23.
(1)1
(2)
(3)
【分析】
(1)y=Asin(ωx+φ)+B的最小正周期为;
(2)依题意可得,解之即可;
(3)由条件根据函数的图象变换规律,可得的解析式,令,即可解出零点的坐标,可得相邻两个零点之间的距离.若最小,则和都是零点,此时在区间,恰有个零点,所以在区间,是恰有29个零点,从而在区间,至少有一个零点,即可得到,满足的条件.进一步即可得出的最小值.
(1)
解:
,∴
(2)
解:
由,根据题意有,解得
(3)
另一方面,在区间,恰有30个零点
因此的最小值为.
24.③
【分析】根据图象分别确定,结合五点作图法可最终求得解析式,再根据三角函数平移变换求得;
对于①,直接代入,解析式,结合三角恒等变换化简方程为,再结合范围求得方程的根即可;
对于②,所以和,解得,故②错误;
对于③,因为
所以与图象关于对称,故③正确.
故答案为:
③
25.12
【分析】由题意,利用图像平移变换法则得到为函数的一个周期,从而得到,可得的最小值.
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后
所得图象与的图象重合,故为函数的一个周期
即,则,故当时,则取得最小值12.
故答案为:
12
26.
【分析】根据平移后的可得函数,根据题意可得可得,取一值即可得解.
【详解】将函数的图象向左平移个单位长度
可得,由函数的图象关于原点对称
可得
所以
当时,则.
故答案为:
27.或
【分析】由递推关系推出的通项公式,发现周期为2,求出,则排除②,再根据,,的取值,求出,排除④,分别讨论①和③作为条件时是否成立,得到最终的表达式.
所以数列周期为2,即,解得,则②不能作为条件,此时
有解得,则④不能作为条件,此时
当①作为条件时,则,此时,代入成立,故①可作为条件,此时
当③作为条件时,则,则,此时,代入成立,故③可作为条件,此时.
故答案为:
或.
【点睛】思路点睛:
(1)本题在求出数列的通项公式后,先根据周期性和特殊值确定和的值,排除部分选项,然后逐一讨论其他选项是否成立;
(2)三角函数中解析式的确定,一般由周期确定,由特殊值确定,由最值确定,由对称中心确定.
28.ABD
【分析】根据三角函数的图象求得的值,得出函数,进而求得的解析式,结合正弦函数的图象与性质,逐项判定,即可求解.
【详解】根据函数的图象,可知
当时,则满足,则,即
因为,所以,可得.
对于A中,当时,则,可得函数的图象不关于直线对称,所以A项错误;
对于B中,当时,则,可得函数的图象不关于点对称,所以B项错误;
对于C中,因为,将其图象向左平移个单位,可得函数的图象,所以C项正确;
对于D中,因为,所以,所以当,即时,则单调递减,所以D项错误.
故选:
ABD
29.BCD
【分析】进行平移可得,根据三角函数的性质,逐项分析判断即可得解.
【详解】,故A错误;
令可得,故B正确;
令可得,故C正确;
,所以
易知在单增,所以在单增,故D正确.
故选:
BCD
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