平面向量的数量积及其应用教案.doc
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5.3 平面向量的数量积及其应用
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.
3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.
4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.
6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.
1.两个向量的夹角
(1)定义
已知两个__________向量a和b,作=a,=b,则__________称作向量a与向量b的夹角,记作〈a,b〉.
(2)范围
向量夹角〈a,b〉的范围是__________,且__________=〈b,a〉.
(3)向量垂直
如果〈a,b〉=__________,则a与b垂直,记作__________.
2.平面向量的数量积
(1)平面向量的数量积的定义
__________叫做向量a和b的数量积(或内积),记作a·b=__________.可见,a·b是实数,可以等于正数、负数、零.其中|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.
(2)向量数量积的运算律
①a·b=__________(交换律)
②(a+b)·c=__________(分配律)
③(λa)·b=__________=a·(λb)(数乘结合律).
3.平面向量数量积的性质:
已知非零向量a=(a1,a2),b=(b1,b2)
性质
几何表示
坐标表示
定义
a·b=|a||b|cos〈a,b〉
a·b=a1b1+a2b2
模
a·a=|a|2或|a|=
|a|=
若A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1)
||=
a⊥b的充要条件
a·b=0
a1b1+a2b2=0
夹角
cos〈a,b〉=(|a||b|≠0)
cos〈a,b〉=
|a·b|与|a||b|的关系
|a·b|≤|a||b|
|a1b1+a2b2|≤
1.已知下列各式:
①|a|2=a2;
②=;
③(a·b)2=a2b2;
④(a-b)2=a2-2a·b+b2,其中正确的有( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.设向量a=(1,0),b=,则下列结论中正确的是( ).
A.|a|=|b| B.a·b=
C.a∥b D.a-b与b垂直
3.已知a=(1,-3),b=(4,6),c=(2,3),则(b·c)a等于( ).
A.(26,-78) B.(-28,-42)
C.-52 D.-78
4.若向量a,b满足|a|=1,|b|=2且a与b的夹角为,则|a+b|=__________.
5.已知|a|=2,|b|=4且a⊥(a-b),则a与b的夹角是__________.
一、平面向量数量积的运算
【例1】
(1)在等边△ABC中,D为AB的中点,AB=5,求·,||;
(2)若a=(3,-4),b=(2,1),求(a-2b)·(2a+3b)和|a+2b|.
方法提炼
平面向量的考查经常有两种:
一是考查加减法,平行四边形法则和三角形法则,平面向量共线定理;二是考查数量积,此时注意应用平面向量基本定理,选择恰当的基底,以简化运算过程.坐标形式时,运算要准确.
提醒:
向量数量积与实数相关概念的区别:
1.表示方法的区别
数量积的记号是a·b,不能写成a×b,也不能写成ab.
2.相关概念及运算的区别
(1)若a,b为实数,且ab=0,则有a=0或b=0,但a·b=0却不能得出a=0或b=0.
(2)若a,b,c∈R,且a≠0,则由ab=ac可得b=c,但由a·b=a·c及a≠0却不能推出b=c.
(3)若a,b,c∈R,则a(bc)=(ab)c(结合律)成立,但对于向量a,b,c,而(a·b)c与a(b·c)一般是不相等的,向量的数量积是不满足结合律的.
(4)若a,b∈R,则|a·b|=|a|·|b|,但对于向量a,b,却有|a·b|≤|a||b|,等号当且仅当a∥b时成立.
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二、两平面向量的夹角与垂直
【例2】已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.
(1)求a与b的夹角θ;
(2)若=a,=b,求△ABC的面积.
方法提炼
1.求两非零向量的夹角时要注意:
(1)向量的数量积不满足结合律;
(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角.
2.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a·b及|a|,|b|或得出它们的关系.
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三、求平面向量的模
【例3-1】(2012江西高考)设单位向量m=(x,y),b=(2,-1).若m⊥b,则|x+2y|=__________.
【例3-2】已知向量a=,b=,且x∈.
(1)求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值.
方法提炼
利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:
(1)|a|2=a2=a·a;
(2)|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2;
(3)若a=(x,y),则|a|=.
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四、平面向量的应用
【例4-1】已知点O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的( ).
A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心
C.外心、重心、垂心 D.外心、重心、内心
【例4-2】已知向量=a=(cosα,sinα),=b=(2cosβ,2sinβ),=c=(0,d)(d>0),其中O为坐标原点,且0<α<<β<π.
(1)若a⊥(b-a),求β-α的值;
(2)若=1,=,求△OAB的面积S.
方法提炼
向量与其他知识结合,题目新颖而精巧,既符合考查知识的“交汇处”的命题要求,又加强了对双基覆盖面的考查,特别是通过向量坐标表示的运算,利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时,把问题转化为新的函数、三角或几何问题.
请做演练巩固提升3
忽视对直角位置的讨论致误
【典例】已知平面上三点A,B,C,向量=(2-k,3),=(2,4).
(1)若三点A,B,C不能构成三角形,求实数k应满足的条件;
(2)若△ABC为直角三角形,求k的值.
错解:
(1)由三点A,B,C不能构成三角形,
得A,B,C在同一条直线上,即向量与平行.
∵∥,
∴4(2-k)-2×3=0.
∴k=.
(2)∵=(2-k,3),
∴=(k-2,-3).
∴=+=(k,1).
∵△ABC为直角三角形,
∴⊥,·=0.
∴2k+4=0,解得k=-2.
错因:
因和已知,则可得(含k的式子),若三点不能构成三角形,则有三点共线;若△ABC为直角三角形,则有一个角为直角,即某两边构成的角成直角,转化为某两个向量垂直,此时应根据直角顶点不同而进行分类讨论,求得符合条件的k的值.
正解:
(1)由三点A,B,C不能构成三角形,得A,B,C在同一条直线上,即向量与平行,
∵∥,
∴4(2-k)-2×3=0,解得k=.
(2)∵=(2-k,3),∴=(k-2,-3),
∴=+=(k,1).
∵△ABC为直角三角形,
则当∠BAC是直角时,
⊥,即·=0,
∴2k+4=0,解得k=-2;
当∠ABC是直角时,
⊥B,即·=0,
∴k2-2k-3=0,解得k=3或k=-1;
当∠ACB是直角时,
⊥,即·=0,
∴16-2k=0,解得k=8.
综上得k的取值为-2,-1,3,8.
答题指导:
1.用向量研究平面几何问题,是向量的一个重要应用,也是高考的热点.本题难度不大,属中档题.
2.本题的错误非常典型.造成错误的主要原因就是思维定势所致.第
(1)问,三点不能构成三角形,从构成三角形的条件直接否定,转化成求解不等式,从而使问题变得复杂,无法进行下去.第
(2)问,由于思维定势,误认为∠A一定为直角,从而使解答不完整.
3.考生书写格式不规范,不完整,也是失分的一个重要因素.
1.(2012福建高考)已知向量a=(x-1,2),b=(2,1),则a⊥b的充要条件是( ).
A.x=- B.x=-1
C.x=5 D.x=0
2.(2012天津高考)在△ABC中,∠A=90°,AB=1,AC=2.设点P,Q满足=λ,=(1-λ),λ∈R.若·=-2,则λ=( ).
A. B. C. D.2
3.(2012湖南高考)在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,则BC等于( ).
A. B. C.2 D.
4.在长江南岸渡口处,江水以12.5km/h的速度向东流,渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江,则航向为__________.
5.给出以下四个命题:
①对任意两个向量a,b都有|a·b|=|a||b|;
②若a,b是两个不共线的向量,且=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则A,B,C共线λ1λ2=-1;
③若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a+b与a-b的夹角为90°;
④若向量a,b满足|a|=3,|b|=4,|a+b|=,则a,b的夹角为60°.
以上命题中,错误命题的序号是__________.
6.已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
参考答案
基础梳理自测
知识梳理
1.
(1)非零 ∠AOB
(2)[0,π] 〈a,b〉(3) a⊥b
2.
(1)|a||b|cos〈a,b〉 |a||b|cos〈a,b〉
(2)①b·a ②a·c+b·c ③λ(a·b)
基础自测
1.B 解析:
②错,向量不能约分;
③中(a·b)2=|a|2·|b|2·cos2θ不一定与a2·b2相等,∴③错.
2.D
3.A 解析:
a(b·c)=(1,-3)×(4×2+6×3)=(26,-78).
4. 解析:
|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2
=12+2×1×2×cos+22=7.
∴|a+b|==.
5. 解析:
∵a⊥(a-b),
∴a·(a-b)=0,
即a2-a·b=0,∴a·b=4,
∴cosθ===(θ是a与b的夹角),
∴θ=.
考点探究突破
【例1】解:
(1)如图,向量,的夹角为120°,
∴·=||·||·cos120°
=5×5×=-.
∵=(+),
∴||2=(+)2
=(||2+2·+||2)
=×(25+2×5×5×cos60°+25)=,∴||=.
(2)a-2b=(3,-4)-2(2,1)=(-1,-6),
2a+3b=2(3,-4)+3(2,1)=(12,-5),
∴(a-2b)·(2a+3b)=(-1)×12+(-6)×(-5)=-12+30=18.
∵a+2b=(3,-4)+2(2,1)=(7,-2),
∴|a+2b|==.
【例2】解:
(1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,
∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
又|a|=4,|b|=3,
∴64-4a·b-27=61,
∴a·b=-6.
∴cosθ===-.
又0≤θ≤π,∴θ=.
(2)∵与的夹角θ=,
∴∠ABC=π-=.
又||=|a|=4,||=|b|=3,
∴S△ABC=||||sin∠ABC
=×4×3×=3.
【例3-1】 解析:
因为m⊥b,
所以m·b=2x-y=0.①
又因为m为单位向量,
所以x2+y2=1.②
由①②解得或
所以|x+2y|=.
【例3-2】解:
(1)a·b=coscos-sinsin=cos2x.
|a+b|=
==2|cosx|,
∵x∈,∴cosx>0,
∴|a+b|=2cosx.
(2)f(x)=cos2x-2cosx
=2cos2x-2cosx-1
=22-,
∵x∈,∴≤cosx≤1.
∴当cosx=时,f(x)取得最小值-,
当cosx=1时,f(x)取得最大值-1.
【例4-1】C 解析:
如图,∵++=0,∴+=.
依向量加法的平行四边形法则,知||=2||,故N为重心.
∵·=·,
∴(-)·=·=0.
同理·=0,·=0,
∴点P为△ABC的垂心.
由||=||=||,知O为△ABC的外心.
【例4-2】解:
(1)由a⊥(b-a)a·(b-a)=0a·b-a2=0,
又|a|=1,|b|=2,〈a,b〉=|α-β|,
∴2cos|α-β|=1cos|α-β|=.
由0<α<<β<π,得β-α=.
(2)∵||=1,||=2,
记〈,〉=θ1,〈,〉=θ2,
∵=(0,d),d>0,
∴θ1=β-,θ2=-α,且θ1,θ2∈.
由=||·cosθ1=1cosθ1=得β-=.
由=||·cosθ2=cosθ2=得-α=,
∴∠AOB=β-α=,
∴S=×2×1=1.
演练巩固提升
1.D 解析:
∵a=(x-1,2),b=(2,1),a⊥b,∴a·b=(x-1,2)·(2,1)=2(x-1)+2×1=2x=0,即x=0.
2.B 解析:
设=a,=b,
∴|a|=1,|b|=2,且a·b=0.
·=(-)·(-)
=[(1-λ)b-a]·(λa-b)
=-λa2-(1-λ)b2=-λ-4(1-λ)=3λ-4=-2,
∴λ=.
3.A 解析:
∵·=||||cos(π-B)
=2·||(-cosB)=1,
∴cosB=.
又∵cosB=
=
=,
∴||2=3.
∴BC=||=.
4.北偏西30° 解析:
如图,渡船速度为,水流速度为,船实际垂直过江的速度为,依题意知,||=12.5,||=25,由于四边形OADB为平行四边形,
则||=||,又OD⊥BD,
∴在Rt△OBD中,∠BOD=30°,∴航向为北偏西30°.
5.①②④ 解析:
①错,
|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|.
②错.∵A,B,C共线,∴=k.
∴∴λ1λ2=1.
④错,∵|a+b|2=13,
∴|a|2+|b|2+2a·b=13,
即a·b=|a||b|·cosθ=-6,
∴cosθ=-.∴θ=120°.
6.解:
(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2可得
∴或
∴c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),
∴(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0.
∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
∴2×5+3a·b-2×=0.
∴a·b=-,
∴cosθ===-1,
∵θ∈[0,π],∴θ=π.
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- 平面 向量 数量 及其 应用 教案