(专题)勾股定理相关模型(含答案解析).docx
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模型一:
勾股树模型
例1.1
1.如图,以Rt△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=,则图中阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.5
【答案】D
【解析】
【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积,再根据勾股定理可得:
AB2=AC2+BC2,进而可将阴影部分的面积求出.
【详解】解:
,
∵在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=,
∴AB2+AC2+BC2=10,
∴S阴影=×10=5.
故选:
D.
【点睛】本题考查了勾股定理的知识,能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系是解决本题的关键.
变式1.1-1
2.如图,分别以Rt△ABC的三条边为边向外作正方形,面积分别记为S1,S2,S3.若S1=36,S2=64,则S3=()
A.8 B.10 C.80 D.100
【答案】D
【解析】
【分析】由正方形的面积公式可知S1=AC2,S2=BC2,S3=AB2,在Rt△ABC中,由勾股定理得AC2+BC2=AB2,即S1+S2=S3,由此可求S3.
【详解】解:
∵在Rt△ABC中,AC2+BC2=AB2,
又由正方形面积公式得S1=AC2,S2=BC2,S3=AB2,
∴S3=S1+S2=100.
故选:
D.
【点睛】本题考查了勾股定理及正方形面积公式的运用.关键是明确直角三角形的边长的平方即为相应的正方形的面积.
变式1.1-2
3.三个正方形的面积如图所示,则面积为的正方形的边长为()
A.164 B.36 C.8 D.6
【答案】D
【解析】
【分析】已知四边形OGMN和四边形OBCD是正方形,面积分别为64和100,即可求得OG和OD的长,再利用勾股定理即可求得GD的长.
【详解】∵四边形OGMN和四边形OBCD是正方形,面积分别为64和100
∴OG2=64,OD2=100
∴OG=8,OD=10
∴
故面积为的正方形的边长为:
6
故选:
D
【点睛】本题考查了正方形的基本性质,四边形各边相等,面积等于边长的平方,本题还考查了利用勾股定理解直角三角形.
例12
4.下图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若最大正方形G的边长是6cm,则正方形A,B,C,D,E,F,G的面积之和是()
A.18cm2 B.36cm2 C.72cm2 D.108cm2
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形的面积公式,运用勾股定理可以证明:
6个小正方形的面积和等于最大正方形面积的3倍.
【详解】根据勾股定理得到:
A与B的面积的和是E的面积;C与D的面积的和是F的面积;而E,F的面积的和是G的面积.
即A、B、C、D、E、F的面积之和为3个G的面积.
∵M的面积是62=36cm2,
∴A、B、C、D、E、F的面积之和为36×3=108cm2.
故选D.
【点睛】考查了勾股定理,注意运用勾股定理和正方形的面积公式证明结论:
6个小正方形的面积和等于最大正方形的面积的2倍.
变式1.2-1
5.如图,这是一株美丽的勾股树,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的边长是3、5、2、3,则最大正方形E的边长是( )
A.13 B. C.47 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设中间两个正方形的边长分别为x、y,最大正方形E的边长为z,根据勾股定理进行求解.
【详解】设中间两个正方形的边长分别为x、y,最大正方形E的边长为z,由勾股定理得:
x2=32+52=34,
y2=22+32=13,
z2=x2+y2=47,
即最大正方形E的面积为:
z2=47,边长为z=,
故选B.
【点睛】本题考查勾股定理,掌握以直角三角形斜边为边长的正方形的面积等于两个以直角边为边长的正方形面积之和是解题的关键.
变式1.2-2
6.有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了上图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是()
A.1 B.2021 C.2020 D.2019
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和,结合图形总结规律,根据规律解答即可.
【详解】解:
由题意得,正方形A的面积为1,
由勾股定理得,正方形B的面积+正方形C的面积=1,
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,
同理可得,“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,
……
∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021,
故选:
B.
【点睛】本题考查了勾股定理,如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
模型二:
赵爽弦图模型
赵爽弦图的由来:
三国时期吴国的数学家赵爽创制了这幅“赵爽弦图”,用数形结合的方式,最早完成了对勾股定理的证明.正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成,设的长为的长为的长为b,
,整理得到.
四个全等的直角三角形与一个小正方形镶嵌而成的图案,大正方形面积为49,小正方形面积为4,若x、y表示直角三角形的两直角边(x>y),则有:
(1)x2+y2=49勾股定理
(2)x-y=2小正方形边长=长直-短直
(3)2xy+4=49面积算两次
例2.1
7.设直角三角形的较长直角边长为x,较短直角边长为y.若xy=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为()
A.9 B.6 C.4 D.3
【答案】D
【解析】
【分析】设小正方形的边长为a,根据图形面积关系可得S大正方形=S小正方形+4S直角三角形,再根据xy=8,可列方程求解.
【详解】设小正方形的边长为a(a>0),
∵S大正方形=S小正方形+4S直角三角形,S直角三角形=x·y,
∴25=a²+×4×8,
所以a=3.
故选D.
【点睛】本题考查勾股定理,解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型.
变式2.1-1
8.如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB=10,EF=2,那么AH等于()
A.8 B.6 C.4 D.5
【答案】B
【解析】
【详解】根据面积的差得出a+b的值,再利用a﹣b=2,解得a,b的值代入即可.
解:
∵AB=10,EF=2,∴大正方形的面积是100,小正方形的面积是4,
∴四个直角三角形面积和为100﹣4=96,设AE为a,DE为b,即4×ab=96,
∴2ab=96,a2+b2=100,∴(a+b)2=a2+b2+2ab=100+96=196,∴a+b=14,
∵a﹣b=2,解得:
a=8,b=6,∴AE=8,DE=6,∴AH=8﹣2=6.
故选B.
变式2.1-2
9.如图,有4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形,若大正方形的面积是17,小正方形的面积是5,直角三角形较长直角边为a,较短直角边为b,则ab的值是()
A.4 B.6 C.8 D.10
【答案】B
【解析】
【分析】小正方形、大正方形的面积可以分别用a、b表示,进而两式相减即可求出ab的值.
【详解】由勾股定理,得大正方形的面积为:
,又小正方形的面积为
即
∴
∴ab=6
故选:
B.
【点睛】本题是以弦图为背景的计算题,考查了勾股定理,图形的面积,关键是用a、b表示大小正方形的面积.
变式2.1-3
10.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】C
【解析】
【详解】如图所示,∵(a+b)2=21
∴a2+2ab+b2=21,
∵大正方形的面积为13,2ab=21﹣13=8,
∴小正方形的面积为13﹣8=5.
故选C.
考点:
勾股定理的证明.
变式2.1-4
11.由4个直角边长分别为a,b的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示.
根据大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a-b)2与4个直角三角形的面积2ab的和证明了勾股定理a2+b2=c2,还可以用来证明结论∶若a>0,b>0且a2+b2为定值,则当a____b时,ab取得最大值.
拓展:
如图所示,在正方形的四边上分别取点,使得,
(1)求证:
四边形是正方形.
(2)若,求证四边形是正方形.
【答案】=;拓展:
(1)见解析;
(2)见解析
【解析】
【分析】由可得,由此可得当a=b时,ab取得最大值;
拓展:
(1)易证,从而可得结论;
(2)由四个平行条件可得四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形,从而可证得
,则问题可解决.
【详解】∵由“赵爽弦图”知,大正方形的面积c2等于小正方形的面积(a-b)2与4个直角三角形的面积2ab的和,
即,
∴,
∴当a=b时,ab取得最大值,且最大值为;
故答案为:
=;
拓展:
(1)在正方形中,,
,
又,
,
.
,
,
,
四边形是正方形.
(2),且,
四边形、四边形、四边形、四边形均为长方形,
,
,
,且,
四边形为正方形.
【点睛】本题考查了弦图的应用,勾股定理,全等三角形的判定与性质,正方形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识,证明三角形全等是关键.
模型三:
风吹树折模型(雷劈模型)
12.“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”,源自《九章算术》,原文为:
“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺.问折者高几何?
”意思是:
一根竹子,原高一丈,一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,则折断后的竹子高度为多少尺?
(1丈=10尺)
【答案】4.55尺
【解析】
【分析】已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和,即可设所求的一边长度为x,通过勾股定理建立方程,求出答案.
【详解】解:
设折断后的竹子高度为x尺,则被折断的竹子长度为尺.
由勾股定理得,
解得:
x=4.55
答∶折断后竹子的高度是4.55尺.
【点睛】本题考查勾股定理的应用,解题的关键是正确理解题意,设出未知数,根据勾股定理列出关于未知数的方程.
例3
13.如图,一竖直的木杆在离地面4米处折断,木杆顶端落在地面离木杆底端3米处,木杆折断之前的高度为().
A.7米 B.8米 C.9米 D.12米
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求AC的长,从而求木杆折断前的高度.
【详解】解:
由题意可知,AB=4,BC=3
∴在Rt△ABC中,
∴木杆在折断前的高度为4+5=9米
故选:
C.
【点睛】本题考查勾股定理解直角三角形,正确理解题意进行计算是解题关键.
变式3-1
14.一棵大树在一次强台风中于离地面米处折断倒下,倒下部分与地面成夹角,这棵大树在折断前的高度为()
A.米 B.米 C.米 D.米
【答案】B
【解析】
【分析】如图,由于倒下部分与地面成30°夹角,所以∠BAC=30°,由此得到AB=2CB,而离地面5米处折断倒下,即BC=6米,所以得到AB=12米,然后即可求出这棵大树在折断前的高度.
【详解】解:
如图,∵∠BAC=30°,∠BCA=90°,
∴AB=2CB,
而BC=6米,
∴AB=12米,
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=18米,
故选B.
【点睛】本题利用了直角三角形中30°的角所对的边是斜边的一半解决问题,解题关键是善于观察题目的信息,利用信息解决问题.
变式3-2
15.如图,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树干底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是( )
A.8米 B.12米 C.5米 D.5或7米
【答案】A
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出折断部分的长,再加上没折断的部分即可.
【详解】米,
3+5=8米.
故选A.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用,在直角三角形中,如果两条直角边分别为a和b,斜边为c,那么a2+b2=c2.也就是说,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.
变式3-3
16.如图,一棵高为16m的大树被台风刮数断,若树在地面6m处折断,则树顶端落在离树底部()处
A.5m B.7m C.8m D.10m
【答案】C
【解析】
【分析】首先设树顶端落在离树底部x米,根据勾股定理可得62+x2=(16-6)2,再解即可.
【详解】设树顶端落在离树底部x米,由题意得:
解得:
x=8.
故选C.
【点睛】考查勾股定理的应用,根据勾股定理列出方程是解题的关键.
变式3-4
17.一阵大风把一根高为9m的树在离地4m处折断,折断处仍相连,此时在离树3.9m处,一头高1m的小马正在吃草,小马有危险吗?
为什么?
【答案】小马危险,理由详见解析
【解析】
【分析】构建模型进行解题,如图,折断树高为,离树,小马高CD=1,此时只要计算的长,即可判断小马是否有危险
【详解】解:
如图,过点作于点
∵,
∴
∴在中,由勾股定理得
∵树高为
∴
∴小马危险
故答案是:
小马危险,理由详见详解
【点睛】此题主要考查勾股定理的应用,关键是构建直角三角形模型,再利用勾股定理进行解题.
变式3-5
18.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题:
“今有竹高一丈,末折抵地,去根三尺,问折者高几何?
”题意是:
一根竹子原高1丈(1丈10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高?
答:
折断处离地面________尺高.
【答案】
【解析】
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形,设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10-x)尺,利用勾股定理解题即可.
【详解】解:
设竹子折断处离地面x尺,则斜边为(10-x)尺,
根据勾股定理得:
x2+32=(10-x)2,
解得:
;
故答案为:
.
【点睛】此题考查了勾股定理的应用,解题的关键是利用题目信息构造直角三角形,从而运用勾股定理解题.
模型四:
出水芙蓉
方法说明:
根据题意构造出直角三角形(即荷花吹歪与不歪时恰好构成直角三角形),再根据已知条件运用勾股定理求解.
例4
19.读诗求解“出水3尺一红莲,风吹花朵齐水面,水面移动有6尺,求水深几何请你算”.
【答案】4.5尺
【解析】
【分析】设出水深AP的高,PB=PC=(x+3),根据勾股定理解答即可.
【详解】设水深AP=x尺,PB=PC=(x+3)尺,
根据勾股定理得:
PA²+AC²=PC²,x²+6²=(x+3)².
解得:
x=4.5,
答∶水深4.5尺.
【点睛】本题比较简单,考查的是勾股定理在实际生活中的应用,解题的关键是设出AP的长,再根据勾股定理求出AP的值.
变式4-1
20.在平静的湖面上,有一枝荷花,高出水面1米.一阵风吹过来,荷花被吹到一边,花朵齐及水面.已知荷花移动的水平距离为2米,问这里的水深多少米?
【答案】这里水深为米
【解析】
【详解】试题分析:
根据题意,AD=AB,设这里水深为xm,可以知道DC和BC的长度,从而构造直角三角形,根据勾股定理就可求出AC的距离.
试题解析:
如图,设这里水深为xm;
在Rt△ABC中,(x+1)2=22+x2
解之得:
x=米.
答:
这里水深为米.
【点睛】本题考查正确运用勾股定理.善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键.
变式4-2
21.如图是一个饮料罐,下底面半径是5,上底面半径是8,高是12,上底面盖子的中心有一个小圆孔,则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)的取值范围是()
A.12≤a≤13 B.12≤a≤15 C.5≤a≤12 D.5≤a≤13
【答案】A
【解析】
【分析】最短距离就是饮料罐的高度,最大距离可根据勾股定理解答.
【详解】解:
由题意可得:
a的最小长度为饮料罐的高,即为12,
当吸管斜放时,如图,此时a的长度最大,即为AB,
∵下底面半径是5,
∴AB==13,
∴a的取值范围是12≤a≤13,
故选A
【点睛】本题考查正确运用勾股定理.主要是运用勾股定理求得a的最大值,此题比较常见,难度不大.
变式4-3
22.《算法统宗》是中国古代数学名著,作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题:
“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,五尺人高曾记.仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几.”(注:
1步=5尺)
译文:
“有一架秋千,当它静止时,踏板离地1尺,将它往前推送10尺(水平距离)时,秋千的踏板就和人一样高,这个人的身高为5尺,秋千的绳索始终拉得很直,问绳索有多长.”
【答案】尺
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为x尺,根据题意可得AB=(x-4)尺,利用勾股定理可得x2=102+(x-4)2,解之即可.
【详解】解:
设秋千的绳索长为x尺,根据题意可列方程为:
x2=102+(x-4)2,
解得:
x=,
∴秋千的绳索长为尺.
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用,关键是正确理解题意,表示出AB、AC的长,掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.
变式4-4
23.我国古代算书《九章算术》中第九章第六题是:
今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深葭长各几何?
你读懂题意了吗?
请回答水深______尺,葭长_____尺.解:
根据题意,设水深OB=x尺,则葭长OA'=(x+1)尺.可列方程正确的是( )
A.x2+52=(x+1)2 B.x2+52=(x﹣1)2
C.x2+(x+1)2=102 D.x2+(x﹣1)2=52
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据图形将题目中的数字对应起来,再根据题意设出未知数,用勾股定理求解即可.
【详解】解:
设水池的深度为x尺,由题意得:
x2+52=(x+1)2,
解得:
x=12,
则x+1=13,
答:
水深12尺,芦苇长13尺,
故选A.
【点睛】本题主要考查勾股定理的应用,根据勾股定理列出方程,将其化简成一元一次方程.
模型五:
梯子滑动模型
例5
24.如图,一根长5米的竹竿斜靠在竖直的墙上,这时为4米,若竹竿的顶端沿墙下滑2米至处,则竹竿底端外移的距离()
A.小于2米 B.等于2米 C.大于2米 D.以上都不对
【答案】A
【解析】
【分析】利用勾股定理可求出OB、OD的长,即可得出BD的长,再根据无理数的估算,估算出BD的长即可得答案.
【详解】∵AB=5,OA=4,AC=2,AB=CD=5,
∴OB==3,OD==,
∴BD=-3,
∵16<21<25,
∴4<<5,
∴1<-3<2,即BD的长小于2米,
故选:
A.
【点睛】本题考查勾股定理的应用及无理数的估算,灵活运用勾股定理、熟练运用“夹逼法”估算无理数是解题关键.
变式5-1
25.如图,一个梯子斜靠在一竖直的墙上,测得米.若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米,这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米,则梯子的长度为()
A.10米 B.6米 C.米7 D.8米
【答案】A
【解析】
【分析】设BO=xm,利用勾股定理用x表示出AB和CD的长,进而求出x的值,即可求出AB的长度.
【详解】解:
设BO=xm,依题意,得AC=2,BD=2,AO=8.
在Rt△AOB中,根据勾股定理得,
在Rt△COD中,根据勾股定理
∴
解得x=6,∴AB=
答:
梯子AB的长为10m.
故选:
A.
【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用,本题中找到AB=CD是解题的关键.
变式5-2
26.一架25米长的云梯,斜立在一竖直的墙上,这时梯脚距离墙底端7米.如果梯子的顶端沿墙下滑4米,那么梯脚将水平滑动()
A.9米 B.15米 C.5米 D.8米
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理进行解答.求出下滑后梯子低端距离低端的距离,再计算梯子低端滑动的距离.
【详解】梯子顶端距离墙角的距离为=24m,
24-4=20m,
梯子下滑后梯子底端距离墙角的距离为=15m,
15m-7m=8m,
即梯角水平滑动8m,
故选D.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用,熟练掌握勾股定理是解题的关键,注意梯子的长度是不变的.
变式5-3
27.如图,一架长的梯子斜靠在垂直的墙上,这时为.如果梯子的顶端沿墙下滑,那么梯子的底端向外移动_________.
【答案】0.5
【解析】
【分析】由题意先根据勾股定理求出OB的长,再根据梯子的长度不变求出OD的长,根据BD=OD-OB即可得出结论.
【详解】解:
∵Rt△OAB中,AB=2.5m,AO=2m,
∴;
同理,Rt△OCD中,
∵CD=2.5m,OC=2-0.5=1.5m,
∴,
∴BD=OD-OB=2-1.5=0.5(m).
答:
梯子底端B向外移了0.5米.
故答案为:
0.5.
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用,在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法,解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.
变式5-4
28.如图,一架13m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上,这时AC为12m.如果子的顶端A沿墙下滑7m,那么梯子底端B向外移___m.
【答案】7.
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出CB的长,在根据勾股定理求出CD的长,进而求解.
【详解】∵∠ACB=90°,AB=13m,AC=12m,
∴BC==5m,
∵AE=7m,
∴CE=12﹣7=5m,
∴CD==12m,
∴BD=CD﹣BC=7m,
∴梯子底端B向外移7m,
故答案为:
7.
【点睛】本题考查勾股定理的应用,关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型.
模型六:
最短路径模型(蚂蚁爬行模型)
模型1(长方体)蚂蚁沿着长方体的表面爬行,从A到B的最短路径怎么算?
【作法】
蚂蚁爬行的方式有6种,但是汇总起来,每两种的爬行长度一样,所以共有三大类(图1,图2,图3).
假设长方体的长、宽、高分别为,则这三大类的爬行长度分别为
①;
②;
③.
由此可见,谁小,该类爬行方式所得结果就小.
例6.1
29.如图,长方体的长为3,宽为2,高为4,一只蚂蚁从点出发,沿长方体表面到点处吃食物,那么它爬行最短路程是()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】要求长方
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