2023年北京高考数学真题及参考答案.pdf
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2023年北京高考数学真题及参考答案.pdf
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12023年北京高考数学真题及答案解析年北京高考数学真题及答案解析一、选择题:
本题共一、选择题:
本题共10小题,每小题小题,每小题4分,共分,共40分分.在每小题列出的四个选项中,选出符合在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项题目要求的一项.1.已知集合20,10MxxNxx,则MN()A.21xxB.21xxC.2xxD.1xx2.在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,3),则z的共轭复数z()A.13iB.13iC.13iD.13i3.已知向量ab,满足(2,3),(2,1)abab,则22|ab()A.2B.1C.0D.14.下列函数中,在区间(0,)上单调递增的是()A.()lnfxxB.1()2xfxC.1()fxxD.|1|()3xfx5.512xx的展开式中x的系数为()A.80B.40C.40D.806.已知抛物线2:
8Cyx的焦点为F,点M在C上若M到直线3x的距离为5,则|MF()A.7B.6C.5D.47.在ABC中,()(sinsin)(sinsin)acACbAB,则C()A.6B.3C.23D.568.若0xy,则“0xy”是“2yxxy”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件29.坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形若25m,10mABBCAD,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为145,则该五面体的所有棱长之和为()A.102mB.112mC.117mD.125m10.已知数列na满足31166(1,2,3,)4nnaan,则()A.当13a时,na为递减数列,且存在常数0M,使得naM恒成立B.当15a时,na为递增数列,且存在常数6M,使得naM恒成立C.当17a时,na为递减数列,且存在常数6M,使得naM恒成立D.当19a时,na为递增数列,且存在常数0M,使得naM恒成立二、填空题:
本题共二、填空题:
本题共5小题,每小题小题,每小题5分,共分,共25分分11.已知函数2()4logxfxx,则12f_12.已知双曲线C的焦点为(2,0)和(2,0),离心率为2,则C的方程为_13.已知命题:
p若,为第一象限角,且,则tantan能说明p为假命题的一组,的值为_,_14.我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”已知9枚环权的质量(单位:
铢)从小到大构成项数为9的数列na,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192aaa,则7a_;数列na所有项的和为_315.设0a,函数222,(),1,.xxafxaxaxaxxa,给出下列四个结论:
()fx在区间(1,)a上单调递减;当1a时,()fx存在最大值;设111222,MxfxxaNxfxxa,则|1MN;设333444,PxfxxaQxfxxa若|PQ存在最小值,则a的取值范围是10,2其中所有正确结论的序号是_三、解答题:
本题共三、解答题:
本题共6小题,共小题,共85分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.如图,在三棱锥PABC中,PA平面ABC,13PAABBCPC,
(1)求证:
BC平面PAB;
(2)求二面角APCB的大小17.设函数()sincoscossin0,|2fxxx
(1)若3(0)2f,求的值
(2)已知()fx在区间2,33上单调递增,213f,再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知,使函数()fx存在,求,的值条件:
23f;条件:
13f;条件:
()fx在区间,23上单调递减注:
如果选择的条件不符合要求,第
(2)问得0分;如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分418.为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同时段价格变化第1天到第20天-+0-+0+0-+-+00+第21天到第40天0+0-+0+0+-+0-+用频率估计概率
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率;
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率;(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大(结论不要求证明)19.已知椭圆2222:
1(0)xyEabab的离心率为53,A、C分别是E的上、下顶点,B,D分别是E的左、右顶点,|4AC
(1)求E的方程;
(2)设P为第一象限内E上的动点,直线PD与直线BC交于点M,直线PA与直线2y交于点N求证:
/MNCD520.设函数3()eaxbfxxx,曲线()yfx在点(1,
(1)f处的切线方程为1xy
(1)求,ab的值;
(2)设函数()()gxfx,求()gx的单调区间;(3)求()fx的极值点个数21.已知数列,nnab的项数均为m
(2)m,且,1,2,nnabm,nnab的前n项和分别为,nnAB,并规定000AB对于0,1,2,km,定义max,0,1,2,kikriBAim,其中,maxM表示数集M中最大的数.
(1)若1231232,1,3,1,3,3aaabbb,求0123,rrrr的值;
(2)若11ab,且112,1,2,1,jjjrrrjm,求nr;(3)证明:
存在,0,1,2,pqstm,满足,pqst使得tpsqABAB6答案解析答案解析一、选择题一、选择题1.【答案】A【分析】先化简集合,MN,然后根据交集的定义计算.【详解】由题意,20|2Mxxxx,10|1Nxxxx,根据交集的运算可知,|21MNxx.2.【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数z,然后利用共轭复数的定义计算.【详解】z在复平面对应的点是(1,3),根据复数的几何意义,13iz,由共轭复数的定义可知,13iz.3.【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律,数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量,ab满足(2,3),(2,1)abab,所以22|()()2
(2)311ababab.4.【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性,结合复合函数的单调性判断ABC,举反例排除D即可.【详解】对于A,因为lnyx在0,上单调递增,yx在0,上单调递减,所以lnfxx在0,上单调递减,故A错误;对于B,因为2xy在0,上单调递增,1yx在0,上单调递减,所以12xfx在0,上单调递减,故B错误;对于C,因为1yx在0,上单调递减,yx在0,上单调递减,所以1fxx在0,上单调递增,故C正确;对于D,因为1112213332f,112101331,233ff,显然13xfx在0,上不单调,D错误.5.【答案】D7【分析】写出512xx的展开式的通项即可【详解】512xx的展开式的通项为55521551212rrrrrrrrTCxCxx令521r得2r所以512xx的展开式中x的系数为252251280C【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用,较简单.6.【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线2:
8Cyx的焦点2,0F,准线方程为2x,点M在C上,所以M到准线2x的距离为MF,又M到直线3x的距离为5,所以15MF,故4MF.7.【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.【详解】因为()(sinsin)(sinsin)acACbAB,所以由正弦定理得()()()acacbab,即222acabb,则222abcab,故2221cos222abcabCabab,又0C,所以3C.8.【答案】C【分析】解法一:
由2xyyx化简得到0xy即可判断;解法二:
证明充分性可由0xy得到xy,代入xyyx化简即可,证明必要性可由2xyyx去分母,再用完全平方公式即可;解法三:
证明充分性可由xyyx通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0xy代入即可,证明必要性可由xyyx通分后用配凑法得到完全平方公式,再把0xy代入,解方程即可.【详解】解法一:
8因为0xy,且2xyyx,所以222xyxy,即2220xyxy,即20xy,所以0xy.所以“0xy”是“2xyyx”的充要条件.解法二:
充分性:
因为0xy,且0xy,所以xy,所以112xyyyyxyy,所以充分性成立;必要性:
因为0xy,且2xyyx,所以222xyxy,即2220xyxy,即20xy,所以0xy.所以必要性成立.所以“0xy”是“2xyyx”的充要条件.解法三:
充分性:
因为0xy,且0xy,所以2222222222xyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxy,所以充分性成立;必要性:
因为0xy,且2xyyx,所以22222222222xyxyxyxyxyxyxyxyyxxyxyxyxy,所以20xyxy,所以20xy,所以0xy,所以必要性成立.所以“0xy”是“2xyyx”的充要条件.9.【答案】C【分析】先根据线面角的定义求得5tantan14EMOEGO,从而依次求EO,EG,EB,EF,再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图,过E做EO平面ABCD,垂足为O,过E分别做EGBC,EMAB,垂足分别为9G,M,连接,OGOM,由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO和EGO,所以5tantan14EMOEGO.因为EO平面ABCD,BC平面ABCD,所以EOBC,因为EGBC,,EOEG平面EOG,EOEGE,所以BC平面EOG,因为OG平面EOG,所以BCOG,.同理:
OMBM,又BMBG,故四边形OMBG是矩形,所以由10BC得5OM,所以14EO,所以5OG,所以在直角三角形EOG中,222253149EGEOOG在直角三角形EBG中,5BGOM,22223958EBEGBG,又因为55255515EFAB,所有棱长之和为2252101548117m.10.【答案】B【分析】利用数列归纳法可判断ACD正误,利用递推可判断数列的性质,故可判断B的正误.【详解】因为311664nnaa,故311646nnaa,对于A,若13a,可用数学归纳法证明:
63na即3na,证明:
当1n时,1363a,此时不等关系3na成立;设当nk时,63ka成立,则3162514764,4kkaa,故136ka成立,由数学归纳法可得3na成立.而231116666441nnnnnnaaaaaa,1020144651149na,60na,故10nnaa,故1nnaa,故na为减数列,注意1063ka故23111666649644nnnnnaaaaa,结合160na,所以16694nnaa,故119634nna,故119634nna,若存在常数0M,使得naM恒成立,则19634nM,故16934nM,故9461log3Mn,故naM恒成立仅对部分n成立,故A不成立.对于B,若15,a=可用数学归纳法证明:
106na即56na,证明:
当1n时,10611a,此时不等关系56na成立;设当nk时,56ka成立,则31164416,0kkaa,故1106ka成立即由数学归纳法可得156ka成立.而231116666441nnnnnnaaaaaa,201416na,60na,故10nnaa,故1nnaa,故na为增数列,若6M,则6na恒成立,故B正确.对于C,当17a时,可用数学归纳法证明:
061na即67na,证明:
当1n时,1061a,此时不等关系成立;设当nk时,67ka成立,则31160,4164kkaa,故1061ka成立即167ka由数学归纳法可得67na成立.11而21166014nnnnaaaa,故1nnaa,故na为减数列,又2111666644nnnnaaaa,结合160na可得:
111664nnaa,所以1164nna,若1164nna,若存在常数6M,使得naM恒成立,则164nM恒成立,故14log6nM,n的个数有限,矛盾,故C错误.对于D,当19a时,可用数学归纳法证明:
63na即9na,证明:
当1n时,1633a,此时不等关系成立;设当nk时,9ka成立,则3162764143kkaa,故19ka成立由数学归纳法可得9na成立.而21166014nnnnaaaa,故1nnaa,故na为增数列,又2119666446nnnnaaaa,结合60na可得:
11116396449nnnaa,所以114963nna,若存在常数0M,使得naM恒成立,则19643nM,故19643nM,故946log13Mn,这与n的个数有限矛盾,故D错误.【点睛】关键点睛:
本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题,再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系,从而可判断数列的上界或下界是否成立.二、填空题二、填空题11.【答案】112【分析】根据给定条件,把12x代入,利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数2()4logxfxx,所以12211()4log21122f.12.【答案】22122xy【分析】根据给定条件,求出双曲线C的实半轴、虚半轴长,再写出C的方程作答.【详解】令双曲线C的实半轴、虚半轴长分别为,ab,显然双曲线C的中心为原点,焦点在x轴上,其半焦距2c,由双曲线C的离心率为2,得2ca,解得2a,则222bca,所以双曲线C的方程为22122xy.13.【答案】.94.3【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为tanfxx在0,2上单调递增,若0002,则00tantan,取1020122,2,kkkkZ,则100200tantan2tan,tantan2tankk,即tantan,令12kk,则10201200222kkkk,因为120022,02kk,则12003202kk,即12kk,则.不妨取12001,0,43kk,即9,43满足题意.14.【答案】.48.384【分析】方法一:
根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解,dq,进而可求得结果;方法二:
根据等比中项求73,aa,在结合等差、等比数列的求和公式运算求解.【详解】方法一:
设前3项的公差为d,后7项公比为0q,则4951921612aqa,且0q,可得2q=,13则53212aadq,即123d,可得1d,空1:
可得43733,48aaaq,空2:
127693121233232338412aaaL方法二:
空1:
因为,37nan为等比数列,则527291219248aaa,且0na,所以748a;又因为2537aaa,则25373aaa;空2:
设后7项公比为0q,则2534aqa,解得2q=,可得133933456712893319226,3812112aaaaqaaaaaaaaaqa,所以12396381384aaaaL.故答案为:
48;384.15.【答案】【分析】先分析fx的图像,再逐一分析各结论;对于,取12a,结合图像即可判断;对于,分段讨论fx的取值范围,从而得以判断;对于,结合图像可知MN的范围;对于,取45a,结合图像可知此时PQ存在最小值,从而得以判断.【详解】依题意,0a,当xa时,2fxx,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线;当axa时,22fxax,易知其图像是,圆心为0,0,半径为a的圆在x轴上方的图像(即半圆);当xa时,1fxx,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线;对于,取12a,则fx的图像如下,14显然,当(1,)xa,即1,2x时,fx在1,02上单调递增,故错误;对于,当1a时,当xa时,221fxxa;当axa时,22fxax显然取得最大值a;当xa时,112fxxa,综上:
fx取得最大值a,故正确;对于,结合图像,易知在1xa,2xa且接近于xa处,111222,MxfxxaNxfxxa的距离最小,当1xa时,10yfx,当2xa且接近于xa处,221yfxa,此时,1211MNyya,故正确;对于,取45a,则fx的图像如下,因为333444,PxfxxaQxfxxa,结合图像可知,要使PQ取得最小值,则点P在425fxxx上,点Q在216442555fxxx,同时PQ的最小值为点O到425fxxx的距离减去半圆的半径a,此时,因为425fxyxx的斜率为1,则1OPk,故直线OP的方程为yx,联立2yxyx,解得11xy,则1,1P,15显然1,1P在425fxxx上,满足PQ取得最小值,即45a也满足PQ存在最小值,故a的取值范围不仅仅是10,2,故错误.故答案为:
.【点睛】关键点睛:
本题解决的关键是分析得fx的图像,特别是当axa时,22fxax的图像为半圆,解决命题时,可取特殊值进行排除即可.三、解答题三、解答题16.【答案】
(1)证明见解析;
(2)3【分析】
(1)先由线面垂直的性质证得PABC,再利用勾股定理证得BCPB,从而利用线面垂直的判定定理即可得证;
(2)结合
(1)中结论,建立空间直角坐标系,分别求得平面PAC与平面PBC的法向量,再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为PA平面,ABCBC平面ABC,所以PABC,同理PAAB,所以PAB为直角三角形,又因为222PBPAAB,1,3BCPC,所以222PBBCPC,则PBC为直角三角形,故BCPB,又因为BCPA,PAPBP,所以BC平面PAB.【小问2详解】由
(1)BC平面PAB,又AB平面PAB,则BCAB,以A为原点,AB为x轴,过A且与BC平行的直线为y轴,AP为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)APCB,所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)APACBCPC,16设平面PAC的法向量为111,mxyz,则00mAPmAC,即1110,0,zxy令11x,则11y,所以(1,1,0)m,设平面PBC的法向量为222,xnyz,则00nBCnPC,即222200yxyz,令21x,则21z,所以(1,0,1)n,所以11cos,222mnmnmn,又因为二面角APCB为锐二面角,所以二面角APCB的大小为3.17.【答案】
(1)3.
(2)条件不能使函数()fx存在;条件或条件可解得1,6.【分析】
(1)把0x代入()fx的解析式求出sin,再由|2即可求出的值;
(2)若选条件不合题意;若选条件,先把()fx的解析式化简,根据()fx在2,33上的单调性及函数的最值可求出T,从而求出的值;把的值代入()fx的解析式,由13f和|2即可求出的值;若选条件:
由()fx的单调性可知()fx在3x处取得最小值1,则与条件所给的条件一样,解法与条件相同【小问1详解】因为()sincoscossin,0,|2fxxx所以3(0)sin0coscos0sinsin2f,因为|2,所以3.【小问2详解】因为()sincoscossin,0,|2fxxx,17所以()sin,0,|2fxx,所以()fx的最大值为1,最小值为1.若选条件:
因为()sinfxx的最大值为1,最小值为1,所以23f无解,故条件不能使函数()fx存在;若选条件:
因为()fx在2,33上单调递增,且213f,13f所以2233T,所以2T,21T,所以()sinfxx,又因为13f,所以sin13,所以2,Z32kk,所以2,Z6kk,因为|2,所以6.所以1,6;若选条件:
因为()fx在2,33上单调递增,在,23上单调递减,所以()fx在3x处取得最小值1,即13f.以下与条件相同18.【答案】
(1)0.4;
(2)0.168;(3)不变【分析】
(1)计算表格中的的次数,然后根据古典概型进行计算;
(2)分别计算出表格中上涨,不变,下跌的概率后进行计算;(3)通过统计表格中前一次上涨,后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况.【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个,也就是有16天是上涨的,根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为:
160.440【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25,18于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C0.4C0.350.250.168【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次,不变的有9次,下跌的有2次,因此估计第41次不变的概率最大.19.【答案】
(1)22194xy;
(2)证明见解析【分析】
(1)结合题意得到53ca,24b,再结合222acb,解之即可;
(2)依题意求得直线BC、PD与PA的方程,从而求得点,MN的坐标,进而求得MNk,再根据题意求得CDk,得到MNCDkk,由此得解.【小问1详解】依题意,得53cea,则53ca,又,AC分别为椭圆上下顶点,4AC,所以24b,即2b,所以2224acb,即22254499aaa,则29a,所以椭圆E的方程为22194xy.【小问2详解】因为椭圆E的方程为22194xy,所以0,2,0,2,3,0,3,0ACBD,因为P为第一象限E上的动点,设,03,02Pmnmn,则22194mn,19易得022303BCk,则直线BC的方程为223yx,033PDnnkmm,则直线PD的方程为33nyxm,联立22333yxnyxm,解得332632612326nmxnmnynm,即332612,326326nmnMnmnm,而220PAnnkmm,则直线PA的方程为22nyxm,令=2y,则222nxm,解得42mxn,即4,22mNn,又22194mn,则22994nm,2287218mn,所以12264122326332696182432643262MNnnmnnmknmnmnmnmmnmn222222648246482498612369612367218nmnmnmnmnmmnmnmnnm22222324126482429612363332412nmnmnmnmnmnmnmnm,又022303CDk,即MNCDkk,显然,MN与CD不重合,所以/MNCD.20.【答案】
(1)1,1ab;
(2)答案见解析(3)3个【分析】
(1)先对fx求导,利用导数的几何意义得到
(1)0f,
(1)1f,从而得到关于,ab的方程组,解之即可;
(2)由
(1)得gx的解析式,从而求得gx,利用数轴穿根法求得0gx与0gx的解,由此求得gx的单调区间;(3)结合
(2)中结论,利用零点存在定理,依次分类讨论区间,0,10,x,1
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- 2023 北京 高考 数学 参考答案