《线性代数》教学教案（全）..doc

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第1章行列式

授课序号01

教学基本指标

教学课题

第1章第1节行列式的基本概念

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

逆序数、行列式的概念

教学难点

逆序数、行列式的概念

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

了解行列式的概念

教学基本内容

一．排列及其逆序数

1.定义：

将1，2，…，这个不同的数排成一列，称为阶全排列，也简称为全排列.

注：

（1）阶全排列的总数为.

（2）标准排列.

2.定义：

在一个排列中，如果一对数的排列顺序与自然顺序相反，即排在左边的数比排在它右边的数大，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数，排列的逆序数记为.

3.定义：

逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列.

二．二阶、三阶行列式

1.引例：

解方程组

2.二阶行列式定义：

若记，，

这样上述方程组的解可表示为，

3.二阶行列式定义：

4.平面上三点共线的条件：

已知平面上的互异三点，，共线，推导其应满足的条件.

三．阶行列式

1.定义：

由个元素（）排成行列的式子

称之为阶行列式（递归定义）.

2.余子式与代数余子式：

由行列式中划去所在的第行和第列后，余下的元素按照原来的顺序构成的阶行列式，记为，称为元素的余子式，称为元素的代数余子式.

3.阶行列式的定义可以简记为.

4．定义：

由个元素（）组成的阶行列式定义为

其中表示对所有的列标排列求和.

四．例题讲解

例1.求解二元线性方程组.

例2.计算三阶行列式.

例3.计算行列式

.

例4.计算上三角行列式

.

例5.计算行列式

，

，

.

授课序号02

教学基本指标

教学课题

第1章第2节行列式的性质及其应用

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

行列式的性质、行列式按行（列）展开定理

教学难点

行列式按行（列）展开定理

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

掌握行列式的性质，会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

教学基本内容

一．行列式的性质

1．转置行列式：

将行列式的行与列互换得到的行列式称为行列式的转置行列式，记为或.

2.行列式的性质

性质1.行列式与其转置行列式的值相等.

性质2.互换行列式的两行（列），行列式的值仅改变符号.

推论1.若行列式中有两行（或两列）对应元素相等，则行列式等于零.

性质3.若行列式的某一行（或列）有公因子,则公因子可以提到行列式记号外面；或者说，用乘行列式的某一行（或列），等于用乘以该行列式.

推论1.行列式的某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式的前面.

推论2.如果行列式有两行（列）对应元素成比例，则行列式的值为零.

推论3.若行列式中某一行（列）对应元素全为零，则行列式的值为零.

性质4.若行列式的某一行（列）元素都是两数之和，则可按此行（列）将行列式拆为两个行列式的和.

性质5.把行列式的某一行（列）中每个元素都乘以数，加到另一行（列）中对应元素上，行列式的值不变.

性质6.行列式可以按任意行（列）展开，值不变.

推论：

行列式中某一行（列）的元素与另一行（列）的元素对应的代数余子式的乘积之和等于零，即

（，）

或

（，）

综合上一节和该推论，对于行列式和代数余子式的关系有如下重要结论：

二．行列式性质的简单应用

例1.计算.

例2.计算.

例3.计算.

例4.证明.

例5.将分解因式.

授课序号03

教学基本指标

教学课题

第1章第3节行列式的典型计算方法

课的类型

复习、新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

行列式的计算方法：

上（下）三角法、拆分法、降阶法、升阶法、递推法

教学难点

降阶法、升阶法、递推法

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。

教学基本内容

一.上（下）三角法

根据行列式的运算性质，可以把一个行列式化为上（下）三角行列式，从而求得行列式的值，其值即为主对角线元素之积.

二．降阶法

使用阶行列式的定义计算行列式时，一般可利用性质将行列式化为某一行（或列）仅剩一个非零元素，然后按此行（或列）展开，从而达到降阶的目的.

三．升阶法

除了常用的上三角法和降阶法,对于一些具有特殊特征的行列式,我们还可以采取一些较为有效的方法.当行列式的元素较为规范，除了对角线上的元素外其他同列的元素都相等时,可以在行列式的左上角增加一行和一列，使其达到升阶的目的,进而再利用行列式的性质进行计算.为了让行列式的值不变,我们增加的一列除了第一个元素为1外,其它的元素均为零，这种方法称之为升阶法.

四．拆分法

当行列式中存在非常明显的和运算,同时行列式的各行（列）的元素除一两个外都相同,或结构相似时,可先利用性质逐步拆分行列式,然后再进行化简计算.

五．递推法

当行列式除个别的行（列）外，各行（列）所含元素基本相同，且相同的元素呈阶梯状分布时，可以采取递推法求解行列式，即找到相邻阶行列式的递推关系，进而归纳求解.

六．例题讲解

例1．计算行列式.

例2．计算行列式.

例3.计算行列式.

例4.计算行列式.

例5.计算阶行列式：

.

例6.证明：

阶范德蒙德（Vandermonde）行列式.

例7．计算阶行列式：

.

例8．求方程的根.

例9．证明：

.

例10.设,计算行列式.

例11.计算阶行列式.

例12.计算行列式.

例13.计算阶行列式：

.

例14.已知多项式，证明：

有且仅有两个实根.

授课序号04

教学基本指标

教学课题

第1章第4节克莱姆法则

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

克莱姆法则

教学难点

克莱姆法则

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

会用克莱姆法则

教学基本内容

一.克莱姆（Cramer）法则

1．克莱姆法则：

若方程组的系数行列式

，

则方程组有唯一解

其中是将系数行列式的第列换成常数项所得的阶行列式

2.线性方程组当全为0时，得到称为齐次线性方程组.

3.定理:

若齐次线性方程组的系数行列式，则齐次线性方程组有唯一零解．

推论:

若齐次线性方程组有非零解，则它的的系数行列式．

例1．求解线性方程组

例2．求解线性方程组，其中（，，）.

例3．联合收入问题

有三个股份制公司，，互相关联，公司持有公司70%股份，持有公司20%股份，持有公司30%股份；公司持有公司60%股份，持有公司20%股份；公司持有公司30%股份，持有公司20%股份，持有公司50%股份.现设，，公司各自的净收入分别为22万元、6万元、9万元，每家公司的联合收入是净收入加上其他公司的股份按比例的提成收入，试求各公司的联合收入及实际收入.

第2章矩阵

授课序号01

教学基本指标

教学课题

第2章第1节矩阵的概念及运算

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

矩阵的定义、单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及分块矩阵的定义

教学难点

单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称与反对称矩阵及分块矩阵

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

理解矩阵的概念,了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵及分块矩阵。

教学基本内容

一．矩阵的定义

1.矩阵的定义：

个数排成的行列的数表称为一个矩阵，简记为，有时为了强调矩阵的行数和列数，也记为.数位于矩阵的第行第列，称为矩阵的元素，其中称为元素的行标，称为元素的列标.

2.矩阵的表示：

一般地，常用英文大写字母或字母表示矩阵，例如，，，等等.

二．一些特殊矩阵：

1．的矩阵，也记为.

2．行矩阵，也称为维行向量：

.

3．列矩阵，也称为维列向量：

.

4．阶方阵.

5．下三角矩阵与上三角矩阵.

6．对角矩阵，阶对角矩阵也常记为.

7．数量矩阵，简记为或.

8．阶单位矩阵.

9．梯形矩阵：

设，若当时，恒有，且各行第一个非零元素前面零元素的个数随行数增大而增多，则称该矩阵为上梯形矩阵；若当时，恒有，且各行最后一个非零元素后面零元素的个数随行数增大而减少，则称该矩阵为下梯形矩阵.

10.转置矩阵：

设，把矩阵的行换成同序数的列而得到的新矩阵，叫做矩阵的转置矩阵，记为

11.对称矩阵：

设为阶方阵，如果满足，即，则称为阶对称矩阵.

12.反对称矩阵：

设为阶方阵，如果满足，即，，则称为阶反对称矩阵.反对称矩阵的特点是：

主对角线元素全为0，而关于主对角线对称的元素互为相反数.

12.分块矩阵：

设，将矩阵用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，每个小矩阵称为的一个子块，以这些子块为“元素”的形式上的矩阵称为分块矩阵.

授课序号02

教学基本指标

教学课题

第2章第2节矩阵的运算

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

矩阵的线性运算、乘法、转置、伴随矩阵，以及方阵的行列式

教学难点

伴随矩阵

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、伴随矩阵，以及它们的运算规律，掌握方阵的行列式。

教学基本内容

一．矩阵的线性运算：

1．同型矩阵：

两个矩阵的行数相等、列数也相等，则称这两个矩阵为同型矩阵.

2．矩阵相等：

如果两个同型矩阵和中所有对应位置的元素都相等，即，其中，则称矩阵和相等，记为.

3．负矩阵：

对于矩阵，称矩阵为矩阵的负矩阵，记为.

4．矩阵的加（减）法：

设和是两个同型矩阵，则矩阵与的和为

，

矩阵与的差为.

4.矩阵加法满足的运算规律：

设是任意三个矩阵，则

（1）交换律：

；

（2）结合律：

；

（3）.

5.数乘矩阵：

设矩阵，则.

6.数乘矩阵的运算满足的运算规律：

（1）；

（2）；（3）；（4）.

二．线性变换与矩阵乘法

1．线性变换：

个变量,,…,用个变量,,…,线性地表示,即

给定个数,,…,,经过线性计算得到了个数,,…,,从变量,,…,到变量,,…,的变换就定义为线性变换.线性变换的系数构成矩阵,称为系数矩阵.

2．线性变换与矩阵之间存在着一一对应的关系：

给定了线性变换,就确定了一个系数矩阵；反之，若给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵,则线性变换也就确定了.

3．设有两个线性变换

（2.1）（2.2）

线性变换（2.1）对应的矩阵,线性变换（2.2）对应的矩阵

为了求出从,到,的线性变换,可将（2.2）代入（2.1）,得

（2.3）

线性变换（2.3）可看成是先作线性变换（2.2）再作线性变换（2.1）的结果.我们把线性变换（2.3）对应的矩阵记为

我们把线性变换（2.3）称为线性变换（2.1）与（2.2）的乘积,相应地,其所对应的矩阵定义为线性变换（2.1）与线性变换（2.2）所对应的矩阵的乘积,即

4．定义：

设矩阵,矩阵,则它们的乘积等于矩阵,记作,其中,

5.注意：

（1）第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数,两个矩阵的乘法才有意义，即应有.

（2）乘积矩阵的元素是把矩阵中的第行元素与矩阵中的第列元素对应相乘后再相加得到的,即.

6．矩阵乘法与数的乘法的不同之处：

（1）矩阵乘法不满足交换律.这是因为与不一定都有意义；即使与都有意义,也不一定有成立.

（2）对于方阵、,如果有,则称矩阵、可交换.

（3）在矩阵乘法的运算中，“若，则必有或”这个结论不一定成立.

（4）矩阵乘法的消去律不成立,即“若且，则”这个结论不一定成立.

7.矩阵乘法满足的运算规律：

假设以下运算都有意义

（1）结合律.

（2）分配律,.

（3）.

8.,或写成,即单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1.

9.方阵幂:

设为阶方阵,是正整数,规定,特别地，当为非零方阵时，规定.

10．矩阵的多项式：

设函数,它是变量的一个次多项式,称矩阵的次多项式.

三．矩阵的转置

1．定义：

设矩阵,将其对应的行与列互换位置,得到一个的新矩阵,称为矩阵的转置矩阵,记作.

2．矩阵的转置满足的运算规律：

设以下运算都有意义,是常数.

（1）；

（2）；（3）；（4）.

四．方阵的行列式

1．定义：

用阶方阵的所有元素（保持各元素位置不变）构成的行列式，称为方阵的行列式，记作或.

2.方阵的行列式运算性质：

设,是阶方阵,.

（1）；

（2）；（3）；（4），其中为矩阵的伴随矩阵.

3.几点说明：

（1）只有方阵才有行列式运算.

（2）一般地,.

（3）对于阶方阵,,尽管通常有,但.

（4）性质（3）可以推广到多个阶方阵相乘的情形,即.特别地,,其中为正整数.

4.定义：

设为阶方阵，若，则称为非奇异矩阵，否则称为奇异矩阵.

五．伴随矩阵

定义：

设阶方阵，由中的各个元素的代数余子式按下列方式排列成阶方阵，称是的伴随矩阵.

六．例题讲解

例1．设，，求.

例2.设,,求与.

例3.计算矩阵乘积与,其中,.

例4.设,,,,计算,,,.

例5.设,,求.

例6.已知，求.

例7.路线选择问题

如图2.2所示,为A,B,C三个城市间的交通线路情况（每两个城市可来回走动）.小悦从其中一个城市出发直达另一个城市,她可以有几种选择?

如果她想从某一个城市出发,先经过一个城市,再到达另外一个城市,她又可以有几种选择?

B

C

A

图2.2

例8.矩阵在图形学上应用

平面图形是由一条或若干条封闭起来的曲线围成的区域构成，例如字母是由六条线段围成，如图2.3.将六个点的坐标使用矩阵的方式记录如下：

，其中第个列向量就是第个点的坐标.

数乘矩阵对应的图形就是把图2.3放大倍.

如果我们想得到字母的斜体，可以通过矩阵的乘法来实现.例如，令矩阵，则有

矩阵所对应的字体变为斜体，如图2.4所示.

图2.3图2.4

若记，则的取值可以用来调整字母的大小，而的取值用来控制字母的倾斜度.

例9.设矩阵与为同阶对称矩阵，证明：

为对称矩阵的充要条件为.

例10．设,和为4阶方阵,,,,求,和.

例11.设阶方阵是阶方阵的伴随矩阵，试证：

例12.设为3阶方阵，，为的伴随矩阵，若交换的第一行和第二行得矩阵，求.

授课序号03

教学基本指标

教学课题

第2章第3节初等变换与初等矩阵

课的类型

复习、新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

矩阵的初等变换、初等矩阵

教学难点

初等矩阵的应用

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念。

教学基本内容

一.矩阵的初等变换

1.定义：

下面三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：

（1）对调两行（列）

（2）以数乘某一行（列）中的所有元素

（3）把某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）对应元素上去

2．矩阵的初等变换：

矩阵的初等行变换与矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换.

3．三种初等变换都是可逆的，且它们的逆变换是同一类型的初等变换：

变换的逆变换就是其本身；变换的逆变换为（或记为）；变换的逆变换为（或记为）.

4．矩阵与等价：

若矩阵经过有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价，记为.

5．矩阵之间的等价关系的性质：

（1）反身性；

（2）对称性，则；（3）传递性若，，则.

6.定理：

设是矩阵.

（1）矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行梯形矩阵；

（2）矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；

（3）矩阵总可以经过若干次初等变换化为标准形，为行梯形矩阵中非零行的行数.

二．初等矩阵

1.定义：

由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

2．三种初等矩阵：

（1）把单位矩阵中的第两行互换（或第两列互换），得到第一种初等矩阵.

（2）把数乘以单位矩阵的第行（或第列），得到第二种初等矩阵.

（3）把数乘以单位矩阵的第行加到第行上（或把数乘单位矩阵的第列加到第列上），得到第三种初等矩阵或.

3．定理：

设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.

三．例题讲解

例1.利用初等行变换把矩阵先化为梯形阵，再进一步化为行最简形矩阵：

例2.求矩阵的标准形，并用初等矩阵表示初等变换.

例3.已知矩阵，，，

，则.

A.B.C.D.

例4.与矩阵等价的矩阵是.

A.B.C.D.

授课序号04

教学基本指标

教学课题

第2章第4节逆矩阵

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

矩阵逆的定义、矩阵可逆的充要条件、矩阵的等价关系、矩阵方程

教学难点

矩阵可逆的充要条件、矩阵的等价关系

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

1.理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件。

2.了解矩阵等价的概念，掌握用初等变换逆矩阵的方法。

教学基本内容

一.矩阵逆的定义

1．定义：

对于阶方阵，如果有一个阶方阵，使,则称矩阵可逆，而称矩阵为的逆矩阵，简称逆阵.

2．如果方阵可逆，则的逆阵是唯一的，于是将方阵的逆阵记作，满足.

二．矩阵可逆的充要条件

1．定理：

阶方阵可逆的充要条件是，且.

2.方阵可逆的运算性质：

设为阶方阵.

（1）若可逆，则也可逆，且有.

（2）若可逆，则可逆，且有.

（3）若可逆，则可逆，且有.

（4）若和均为同阶可逆方阵，则均可逆，且有，.

（5）若均为同阶可逆矩阵，则可逆，且.

（6）若方阵可逆，矩阵满足或,则有（即矩阵乘法满足左消去律和右消去律）.

3．若（或），则有,.

4．初等矩阵的逆矩阵仍为同类型的初等矩阵，且有，，

，.

三．矩阵之间的等价关系

1．定理：

方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使.

2．定理：

设，均为矩阵，则的充分必要条件是存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵,使.

3．求矩阵逆的两个公式：

，.

四．解矩阵方程

1.矩阵方程为，其中矩阵可逆.

2.矩阵方程为，其中矩阵可逆.

3.矩阵方程为，其中矩阵、可逆.

五．例题讲解

例1.已知，，根据定义验证.

例2.已知，求.

例3.已知，求的逆矩阵.

例4.若阶方阵满足，求.

例5.求矩阵的逆，其中.

例6.已知为三阶矩阵，且满足，其中为三阶单位矩阵.

（1）证明：

可逆；

（2）若，求矩阵.

例7.已知，其中，求矩阵.

例8.设矩阵、满足，其中，求.

授课序号05

教学基本指标

教学课题

第2章第5节矩阵的秩

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

矩阵的秩的概念、求矩阵的秩的方法、伴随矩阵的概念、伴随矩阵求逆矩阵的方法

教学难点

伴随矩阵

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题

大纲要求

1．理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求逆矩阵。

2．理解矩阵的秩的概念，掌握求矩阵的秩的方法。

教学基本内容

一.矩阵秩的定义

1．矩阵的阶子式：

在矩阵中，任取行列，位于这些行列交叉处的元素按原来位置构成的阶行列式，称为矩阵的阶子式.

2．矩阵的秩：

矩阵中不为零的最高阶子式的阶数，称为矩阵的秩.记为.若一个矩阵没有不等于零的最高阶子式（即零矩阵），则规定该矩阵的秩为零.

二．矩阵秩的性质

1．性质：

设是矩阵

（1）；

（2）；

（3）当时，；当时，，故可逆矩阵称为满秩矩阵，不可逆矩阵称为降秩矩阵.

2．定理：

对于矩阵，的充分必要条件是中存在阶子式不为零，而所有的阶子式（如果存在）全为零.

3．定理：

若矩阵与等价，则.

4．推论：

设是矩阵，，则矩阵的标准形为.

三．矩阵秩的相关结论

1．定理：

设为矩阵，分别为阶、阶满秩矩阵，则

2．定理：

设有矩阵和矩阵

（1）若为矩阵，为矩阵，则，特别地，当为非零列向量时，有；

（2）若和均为矩阵，则；

（3）若为矩阵，为矩阵，则

（4）若为矩阵，为矩阵，若，则；

3．定理：

设为阶方阵，为的伴随矩阵，则.

四．例题讲解

例1．求矩阵的秩，其中.

例2．求梯形阵的秩，其中.

例3．求矩阵的秩.

例4．设三阶矩阵，试求.

例5．设为矩阵，且，而，求矩阵的秩.

例6.设，为矩阵，为矩阵，证明：

.

授课序号06

教学基本指标

教学课题

第2章第6节分块矩阵

课的类型

新知识课

教学方法

讲授、课堂提问、讨论、启发、自学

教学手段

黑板多媒体结合

教学重点

分块矩阵及其运算

教学难点

利用分块矩阵求逆矩阵

参考教材

同济版《线性代数》

作业布置

课后习题