(完整版)洪帆《离散数学基础》(第三版)课后习题答案.doc
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第1章集合
1、列举下列集合的元素
(1)小于20的素数的集合
(2)小于5的非负整数的集合
(3)
答:
(1)
(2)
(3)
2、用描述法表示下列集合
(1)
答:
(2)
答:
(3)
答:
3、下面哪些式子是错误的?
(1)答:
正确
(2)答:
错误
(3)答:
正确
(4)答:
正确
4、已给和,指出下面哪些论断是正确的?
哪些是错误的?
(1)错误
(2)正确
(3)正确
(4)正确
(5)错误
(6)正确
(7)错误
(8)正确
(9)正确
(10)错误
(11)错误
(12)正确
5、列举出集合的例子,使其满足,且
答:
,,显然,,显然,但是。
6、给出下列集合的幂集
(1)
答:
幂集
(2)
答:
幂集
7、设,给出和的幂集
答:
8、设由和所表示的的子集各是什么?
应如何表示子集和
答:
,
9、设,,,,确定集合:
(1)
(2)(3)(4)
(5)(6)(7)(8)(9)(10)
答:
(1),
(2),,
(3),
(4),,
(5)(6),
(7),
(8),,
(9),,
(10)
10、给定自然数集的下列子集:
,,
求下列集合:
(1)
答:
,
,
(2)
(3)
解:
,
(4)
解:
,
11、给定自然数集的下列子集
,,,
将下列集合表示为由产生的集合:
(1)
(2)(3)(4)
(5)
(6)
答:
,
,,
=
=
(4)
(5)
(6)
12、判断以下哪些论断是正确的,哪些论断是错误的,并说明理由。
(1)若,则
答:
正确,根据集合并的定义
(2)若,则
答:
显然不正确,因为根据集合交运算的定义,必须同时属于和
(3)若,则
答:
正确
(4)若,则
答:
错误
(5)若,则
答:
正确
(6)若,则
答:
错误
(7)若,则
答:
正确
13、设是任意的集合,下述论断哪些是正确的?
哪些是错误的?
说明理由
(1)若,则
答:
不正确,反例,设,则不论是什么集合,都有,但显然不一定相等。
(2)当且仅当,有;
答:
正确,证明如下:
若,则对,有,则有,因此有。
反之,若,则显然成立。
(3)当且仅当,有
答:
正确,证明如下:
若,则对,因此,则,则有。
若,则,有,因此由,可以得出,因此,又,有。
(4)当且仅当,有
答:
不正确,因为,因此不一定需要满足,而若也可以满足。
例如:
,,,成立,而不成立。
(5)当且仅当,有
答:
不正确,因为若,有成立,但是反之不成立,反例如下:
,,,而,,但是不成立。
14、设是集合,下述哪些论断是正确的?
哪些是错误的?
说明理由。
(1)若,则
答:
正确,证明:
对,则或,因为,因此或,因此,即成立。
(2)若,则
答:
正确
(3)若,,则
答:
正确
(4)若,则
答:
不正确。
例如若,但是,,则。
15、设是两个集合,问:
(1)如果,那么和有什么关系?
答:
因为,而,即对有,因此。
(2)如果,那么和有什么关系?
答:
充要条件是。
证明:
因为的,从而有,即,同理可证明,因此。
16、设是任意集合,下述论断哪些是正确的?
哪些是错误的?
说明理由。
(1)
答:
不正确。
例如,,则
,
显然不成立。
(2)
答:
成立。
证明:
对,则且,则,则,因此。
反之,若,则,则且,因此,且,因此,即。
(3)
答:
显然不成立,因为左边集合肯定含有,而右边不含有。
17、在一个班级的50个学生中,有26人在离散数学的考试中取得了优秀的成绩;21人在程序设计的考试中取得了优秀的成绩。
假如有17人在两次考试中都没有取得优秀成绩,问有多少人在两次考试中都取得了优秀成绩?
答:
分别用表示在离散和程序设计的考试中取得优秀成绩的学生集合,表示全体学生集合:
则,,,则两次考试中都取得了优秀成绩的学生人数为26+21-33=14人。
18、设是任意集合,运用成员表证明:
(1)
证明:
左边
右边
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
(3)
证明:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
0
由上得证左右两边相等。
19、由和的成员表如何判断?
应用成员表证明或否定
答:
先分别给出集合和的成员表如下:
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
观察上述表格,我们发现所标记的列中,仅在第五列为1,这意味着当元素且时,,而在其他情形下,元素。
而集合所标记的列中,第五和第六行均为1,这意味着且时,,当,且时,也有。
所以当元素时也有,反之不然,因此成立。
20、为的子集,至多能产生多少不同的子集?
答:
构造由所产生的集合的成员表,显然该成员表由个行所组成。
在该成员表中不同的列可由为的二进制数0000~11111分别表示,而不同的列所标记的集合不相同的,因此由至多可以产生个不同的集合。
21、证明分配律、等幂律和吸收律
1分配律
证明:
对,则有且,即有,且或,也即有或,即,因此左边右边。
对,则或,即且,或且,即有或,因此,因此右边左边。
2吸收律
证明:
显然成立,对,则显然有,因此有,因此有成立。
22、设是任意集合,运用集合运算定律证明:
(1)
证明:
(2)
证明:
(3)
证明:
由上题的证明可知左边=右边,得证。
23、用得摩根定律证明补集是。
证明:
24、设为某些实数的集合,定义为
试证明:
证明:
设,则比存在整数,使得,因此有,于是,因此。
另一方面,设,则有,若,则有,因此。
若,则令,,令,其中表示的整数部分,则有,因此,即,于是,因此得证。
25、设是集合的一个分划,试证明中所有非空集合构成的一个分划。
证明:
因为是集合的一个分划,因此由分划的定义,可得,且,而,且,因此中所有非空集合构成的一个分划。
26、个元素的集合,有多少中不同的方法可以分划成两块?
答:
当奇数时有种不同的方法,当为偶数时有种不同的方法。
第2章关系
1、若,,确定集合:
(1)
(2)(3)
解:
2、在通常的具有X轴和Y轴的笛卡尔坐标系中,若有
试给出笛卡尔积的几何解释
解:
表示横坐标的范围在,纵坐标的范围在的二维点集所构成的集合。
3、设A,B,C和D是任意的集合,证明
(1)
(2)
(3)
证明:
(3)首先,因为,,所以
类似地,,所以有:
反之,若,则,
则,且,即,
所以,
所以
所以
4、对下列每种情形,列出由A到B的关系的元素,确定的定义域和值域,构造的关系矩阵:
(1)
解:
,
关系矩阵
(2)
解:
关系矩阵=
5、设,对下列每一种情形,构造A上的关系图,并确定的定义域和值域
(1)
解:
图略
定义域,
(2)
解:
定义域,
(3)
解:
定义域,
(4)
解:
定义域,
(5)
解:
定义域,
(6)
解:
定义域,
(7)
解:
定义域,
(8)
解:
定义域,
6、设和,试求出,,,,和,并证明:
=
解:
,,,
证明:
=
设,则必存在,使得,所以或者,因此,或者,即,所以;
反之,设,则或者,所以存在,使得,或者存在,使得,由并集的定义知,,或者,总之有,故。
证明:
设,则必存在,使得,,因此且,由交集的定义,故。
7、和是分别具有基数和的有限集,试问有多少个到的不同关系?
答:
的所有子集都是到的一个关系,所以共有个不同的关系。
8、找出集合上普遍关系和恒等关系的关系矩阵和关系图的特征。
答:
上的普遍关系的关系矩阵是全1矩阵,而恒等关系的关系矩阵是单位矩阵。
9、下列是集合上的关系:
,,试确定如下的复合关系:
(1)
(2)(3)(4)
解:
(1),
(2)
(3)
(4)
10、设是集合上的关系,试证明:
如果,则有:
(1)
(2)(3)
证明:
(1)对,由复合关系的定义,,使得,,,因为,所以,所以,所以
(2)对,由复合关系的定义,,使得,,,因为,所以,所以,所以。
(3)对,有,因为,所以,所以,也即。
11、给定,求一个基数最小的关系,使满足的条件。
一般地说,若给定和,能被唯一的确定吗?
基数最小的能被唯一确定吗?
答:
。
一般地说,若给定和,不能被唯一的确定。
基数最小的也不能被唯一确定。
12、给定集合,设是由得关系,和是由得关系,试证明:
(1)=
证明:
根据并集和复合关系的定义,和都是上的关系,下只需要证明它们由完全相同的序偶组成。
设,必存在,使得,,所以有或者,所以有或者,也即,也即;反之,若,也即或者,若,则存在,使得,,则,,则,若同理可得,因此有。
则=。
(2)
证明:
设,则存在,使得,,,则,且,所以,且,即,所以。
13、给定是什么?
答:
,
,则
14、对第9题中的关系,构造关系矩阵
(1)
(2)
解:
(3)
解:
15、设是有个元素的有限集,是上的关系,试证明必存在两个正整数,使得。
证明:
因为是上的关系,所以对于任意正整数,也是上的关系,另一方面,因为,所以,,也即上只有个不同的关系,因此在关系中必有两个是相同的,也即存在两个正整数,使得,其中。
16、设是由到的关系,是由到的关系,试证明。
证明:
由题设知道和都是由到的关系,因此只要证明它们由完全相同的序偶组成。
设,则,因此必存在元素,使得,,所以,,所以。
反之,设,则必存在元素,使得,,所以,,所以,所以,所以。
17、
(1)设和是由到的关系,问成立吗?
答:
成立
(2)设是集合上的关系,如果是自反的,则一定是自反的吗?
答:
是的。
证明:
若是自反的,则对所有的,有,则一定有,则也是自反的。
(3)若是对称的,则也是对称的吗?
答:
是的。
(4)若是可传递的,则也是可传递的吗?
答:
是的
证明:
若是可传递的,由定义可知,若,,则一定有,由逆关系的定义,也即,若,,一定有,,则也是可传递的。
18、图2-9给出了集合上的关系的关系图,试画出关系和的图,并利用关系图求出关系的传递闭包。
解:
图2-9
关系
因为,所以,
传递闭包。
19、试证明:
若是基数为的集合上的一个关系,则的传递闭包为
证明:
由定义,要证明,因为,所以只要证明即可。
设,则必存在正整数,使得,若,则,若,则在中必存在个元素,使得:
因为,所以在这个元素中必有两个元素(,记为,记为),因此下述关系
成立,这表明,。
若,用类似的方法又可找到,使,最后必可找到一正整,使且,因此,故。
20、下列关系中哪一个是自反的、对称的、反对称的或者可传递的?
(1)当且仅当时,有;
答:
是自反的,对称的,非可传递的,例如,,但不成立。
(2)当且仅当时,有;
答:
非自反的,因为不成立,但。
对称的,非可传递的,因为,,但是不成立。
(3)当且仅当时,有。
答:
自反的,非对称的,非可传递的,因为,,但是不成立。
21、设和是集合上的任意两个关系,判断下列命题是否正确,并说明理由:
(1)若和是自反的,则也是自反的;
答:
正确。
因为和是自反的,因此对任意,有,因此,所以也是自反的。
(2)若和是非自反的,则也是非自反的;
答:
错误;例如,,,和都是非自反的,但是是自反的。
(3)若和是对称的,则也是对称的;
答:
错误,设,,,显然和是对称的,但是是非对称的。
(4)若和是反对称的,则也是反对称的;
答:
错误,设,,,显然和是反对称的,但是不是对称的。
(5)若和是可传递的,则也是可传递的;
答:
错误,设,,,显然是可传递的,但是却是不可传递的。
22、证明若是对称的,则对任何整数,也是对称的。
证明:
数学归纳法,当时,若,则根据复合关系的定义,存在元素,使得,因为是对称的,所以,所以,因此是对称的,假设当时成立,则当时,若,则存在元素,使得,因为和是对称的,因此,所以,因此:
时成立,即得证。
23、已知和定义在上的关系,试证明不是可传递的。
求出一个关系,使得是可传递的,你能求出另一个关系也是可传递的嘛?
答:
证明:
显然不是可传递的,因为,,但是。
,能找出另一个关系。
。
24、图2-10表示在上的12个关系的关系图。
试对每一个这样的图,确定其表示的关系是自反的还是非自反的;是对称,非对称还是反对称;是可传递的还是不可传递的?
答:
自反的、非对称的、非反对称的,非可传递的
自反的、对称的,非反对称的、可传递的
非自反的、非对称的、反对称的、可传递的
自反的、非对称的、反对称的、可传递的
25、图2-11给出了上的两个关系的关系图,这些关系是等价的吗?
答:
(a)(b)
答:
图(a)表示的关系具有自反性,对称性,但是不具有传递性,因为有,但是,因此不是等价关系。
图(b)表示的关系,具有自反性,对称性,传递性,因此是等价关系。
26、在上的关系定义为当且仅当可以用形式表示时,有,这里是任意整数:
(1)证明是等价关系
证明:
对,,因此,所以关系具有自反性。
对,若,即存在,使得,则有,因此有。
所以关系具有对称性。
对,若,且,即存在,使得,,则,因此有,所以关系具有传递性。
综上可得关系是等价关系。
(2)找出的所有等价类
答:
27、有人说,集合上的关系,如果是对称的且可传递的,则它也是自反的,其理由是,从,由对称性得,再由可传递性便得。
答:
这种说法是错误的。
例如,,,显然是对称的,且是可传递的,但是它不是自反的。
28、设有集合和上的关系,对于所有的,若由和可推得,则称关系是循环的,试证明当且仅当是等价关系时,是自反且循环的。
证明:
先证充分性
若是等价关系,则是自反的,对称的,可传递的。
对于所有的,若且,则,由对称性则有,因此关系是循环的。
再证必要性
若对于所有的,若有,又由自反性,有,则由是循环的,可得成立,即具有对称性。
若对于所有的,若由和,由是循环的有,由对称性可得,因此具有可传递性。
又由是自反的,则是等价的。
29、设和是上的等价关系,试证明:
当且仅当中的每一等价类都包含于的某一等价类中时,有。
证明:
先证充分性
设中的每一个等价类都包含于的某一个等价类中,对任一,有,因此。
又由假设必有某元素存在,使得,因此有,,所以,故有。
再证必要性:
设,并设是中任一等价类,对任一,有,即,由假设,即,故有。
30、已知和是集合上分别有秩和的等价关系,试证明也是上的等价关系,它的秩最多为,再证明不一定是上的等价关系。
证明:
由交集的定义
对于,因为都是自反的,所以,且,因为,所以是自反的。
对于,若,则,,由和的对称性知,且,因而有,故是对称的。
对于,若,,则有,,,,由的传递性知,,因而,故是可传递的。
所以也是上的等价关系。
对于,由并集的定义知
对于,因为是自反的,所以,因而,所以是自反的。
对于,若,则或者,由于和都是对称的,因此有或者,因而有,故也是对称的。
对于任意的,若,,则或者;或者,因为和不一定能同时属于,也不一定能同时属于,所以无法推出或者,因而也就无法推出,这说明的可传递性不一定能成立,因此推不出是上的等价关系。
反例:
设,上的关系,,显然和均是等价关系。
,这里是自反的,对称的,但是不可传递的。
31、设是集合上的一个关系,。
试证明:
若是一个等价关系,则也是一个等价关系。
证明:
因为是自反的,因此对,有,由,因此有,故是自反的。
对于任意的,若,则必有元素,使得且,由的对称性又有且,因而有,故是对称的。
对任意的,若,,则必有元素,使得:
由的可传递性,又有,,于是又有,故是可传递的。
由上得证是一个等价关系。
32、设是由4个元素组成的集合,试问在上可以定义多少个不同的等价关系?
答:
根据等价关系与分划一一对应,将分划为一块:
有一种方法,将分划为两块:
2+2方式有1/2种,1+3方式有种
将分划为三块:
只能是1+1+2方式,有种
将分划为四块:
有一种方法
因此集合上不同等价关系的个数为15种。
33、设和是集合上的等价关系,下列各式哪些是上的等价关系?
为什么?
(1)
答:
不是等价关系,因为不具有自反性
(2)
答:
不是等价关系,因为不具有自反性
(3)
答:
是等价关系,证明如下:
是自反的,显然也是自反的。
若,则有复合关系的定义,存在,使得,,由的对称性有,,由复合关系的定义有,因此是对称的。
若,由复合关系的定义,
由对称性,,
所以,由的对称性,,因此具有传递性。
因此是上的等价关系。
(4)
答:
不一定是上的等价关系。
例如,,为上的普遍关系,则不具有传递性,因为,但是。
34、对于下列集合中的’整除’关系,画出次序图:
(1)
答:
(2)
答:
35、对于下列集合,画出偏序关系’整除’的次序图,并指出哪些是全序
(1)
答:
是全序
(2)
答:
非全序
(3)
答:
非全序
(4)
答:
是全序
(5)
答:
是全序
36、如果是集合中的偏序关系,且,试证明:
是上的偏序关系。
证明:
对任意的,必有,又因为及的自反性,所以,因此,故是自反的。
对任意的,若,且,则有,且,由的反对称性,有,因此是反对称的。
对任意的,若,,则,且,由的可传递性必有,由的定义,,于是,因此是可传递的,由上得证是上的偏序关系。
37、给出一个集合的例子,使得包含关系是幂集上的一个全序。
答:
,
上的关系。
38、给出一个关系,使它既是某一集合上的偏序关系又是等价关系
答:
,,显然具有自反性,对称性,可传递性,还具有反对称性,因此既是上的;偏序关系,也是等价关系。
39、图2-12表示上的四个偏序关系图。
画出每一个的次序图,并指出其中哪些是全序,哪些是良序
答:
(a)
不是全序,也不是良序
(b)
不是全序也不是良序
(c)
是全序也是良序
(d)
非全序,也不是良序。
40、一个集合上的自反和对称关的关系称为相容关系
(1)设是人的集合,是集合上的关系,定义为当且仅当是的朋友时,有,试证明是上的相容关系。
证明:
对,因为任何的人都是自己的朋友,也就是有,因此具有自反性,若,也就是是的朋友,那么一定有是的朋友,则有,因此是对称的,因此是上的相容关系。
(2)是正整数集上的关系,当且仅当两个正整数和中有相同的数字时,,试证明是一个相容关系;
证明:
显然,对,有,因此具有自反性;若,则表示和中有相同的数字,因此和也有相同的数字,因此。
所以具有对称性,所以是上的一个相容关系。
(3)再举出一个相容关系的例子
答:
等价关系都是相容关系,反之则不成立。
(4)设和是上的两个相容关系,是相容关系吗?
是相容关系吗?
答:
和都是相容关系,前题30中证明了若和是上的等价关系,则也是等价关系,而具有自反性和对称性。
第3章函数
1.以下关系中哪一个构成函数?
(1)
答:
不构成函数。
象的唯一性不能满足,因为都属于这个集合。
而等这样的数在中无像,所以象的存在性也不能满足。
(2)
答:
是函数,象的唯一性和存在性都能满足。
2.设,,给定由到的关系:
是函数吗?
若是的话,的值域吗?
为什么?
答:
是函数。
的值域。
因为对,则,则对,,因此象的像源为。
3.下列集合能够定义函数吗?
如果能,试指出它们的定义域和值域?
(1)
答:
能定义函数。
,
(
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