ChapterThree 第三章.pptx
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FourierSeriesRepresentationofPeriodicSignals第3章周期信号的傅里叶级数表示本章内容:
.周期信号的频域分析.LTI系统的频域分析.傅立叶级数的性质3.0引言Introductionv时域分析方法的基础:
1)信号在时域的分解。
2)LTI系统满足线性、时不变性。
v从分解信号的角度出发,基本信号单元必须满足两个要求:
1.本身简单,且LTI系统对它的响应能简便得到。
2.具有普遍性,能够用以构成相当广泛的信号。
3.1历史的回顾(AHistoricalPerspective)任何科学理论,科学方法的建立都是经过许多人不懈的努力而来的,其中有争论,还有人为之献出了生命。
历史的经验告诉我们,要想在科学的领域有所建树,必须倾心尽力为之奋斗。
今天我们将要学习的傅立叶分析法,也经历了曲折漫长的发展过程,刚刚发布这一理论时,有人反对,也有人认为不可思议。
但在今天,这一分析方法在许多领域已发挥了巨大的作用。
v1768年生于法国v1807年提出“任何周期信号都可以用正弦函数的级数来表示”v拉格朗日反对发表v1822年首次发表“热的分析理论”v1829年狄里赫利第一个给出收敛条件傅里叶生平17681830傅里叶的两个最重要的贡献v“周期信号都可以表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点v“非周期信号都可以用正弦信号的加权积分来表示”傅里叶的第二个主要论点v复指数函数、是一切LTI系统的特征函数。
、分别是LTI系统与复指数信号相对应的特征值。
结论:
v只有复指数函数才能成为一切LTI系统的特征函数。
对时域的任何一个信号或者,若能将其表示为下列形式:
()Hs()Hzstenz()()stHshtedt-=()()nkHzhnz-=-=()xt()xntststseaeaeatx321321)(利用系统的齐次性与叠加性所以有即:
同理:
*问题:
究竟有多大范围的信号可以用复指数信号的线性组合来表示?
由于tskkkkesHaty)()(tststsesHaesHaesHatytx321)()()()()(332211tskkkeatx)(nkkkZanx)(nkkkkZZHany)()(111()ststeHse222()ststeHse333()ststeHseFourierSeriesRepresentationofContinuous-TimePeriodicSignals一.连续时间傅里叶级数成谐波关系的复指数信号集:
其中每个信号都是以为周期的,它们的公共周期为,且该集合中所有的信号都是彼此独立的。
3.3连续时间周期信号的傅里叶级数表示如果将该信号集中所有的信号线性组合起来,有0()jktktewF=02kpw02pw显然也是以为周期的。
该级数就是傅里叶级数,为傅立叶级数的系数。
这表明用傅里叶级数可以表示连续时间周期信号,即:
连续时间周期信号可以分解成无数多个复指数谐波分量。
例1:
02pw()xt0()jktkkxtaew=-=0()cosxttw=001122jtjteeww-=+ka例2:
在该信号中,有四个谐波分量,即显然该信号中,有两个谐波分量,为相应分量的加权因子。
时对应的谐波分量。
傅里叶级数表明:
连续时间周期信号可以按傅立叶级数被分解成无数多个复指数谐波分量的线性组合。
00()cos2cos3xtttww=+00003312jtjtjtjteeeewwww-=+,3,1k112a=二.频谱(Spectral)的概念信号集中的每一个信号,除了成谐波关系外,每个信号随时间的变化规律都是一样的,差别仅仅是频率不同。
在傅里叶级数中,各个信号分量(谐波分量)间的区别也仅仅是幅度(可以是复数)和频率不同。
因此,可以用一根线段来表示某个分量的幅度,用线段的位置表示相应的频率。
t()ktF分量可表示为因此,当把周期信号表示为傅里叶级数时,就可以将表示为这样绘出的图称为频谱图1212w0w0w-00w1w0jtew()xt()xt0()jktkkxtaew=-=0001cos()2jtjtteewww-=+0w0w-0a1a2a3a3a-2a-1a-wgggggggg频谱图其实就是将随频率的分布表示出来,即关系。
由于信号的频谱完全代表了信号,研究它的频谱就等于研究信号本身。
因此,这种表示信号的方法称为频域表示法。
三.傅里叶级数的其它形式或若是实信号,则有,于是kakaw0000*()jktjktjktjktkkkkkkkkxtaeaeaeaewwww-*-=-轾=犏臌邋邋kkaa*-=*kkaa-=)()(txtx()xt若令则为实数即:
表明的模关于偶对称,幅角关于奇对称。
kjkkaAeq=0a0001kkjktjjktjkkkaAeeAeewqwq-=+0001()()01()kkkjjktjktjktkkkkkkxtAeeaAeAeqwwqwq+=-=+邋*kkjjkkkkaaAeAeqq-=QkkAA-=kkqq-=-kakk傅里叶级数的三角函数表示式若令则0001()kkjktjjktjkkkxtaAeeAeewqwq-=+0012cos()kkkaAktwq=+kkkaBjC=+00101()()()jktjktkkkkkkxtaBjCeBjCeww-=-=+邋0001()()jktjktkkkkkaBjCeBjCeww-=轾=+臌因此即的实部关于偶对称,虚部关于奇对称。
傅里叶级数的另一种三角函数形式将此关系代入,可得到*kkaa-=QkkkkBjCBjC-=+kkBB-=kkCC-=-kakk0001()()()jktjktkkkkkxtaBjCeBjCeww-=轾=+-臌00012cossinkkkaBktCktww=+-四.连续时间傅里叶级数的系数确定如果周期信号可以表示为傅里叶级数则有对两边同时在一个周期内积分,有0()jktkkxtaew=-=02Tpw=()xt00()()jntjkntkkxteaeww-=-=0000()00()TTjntjkntkkxtedtaedtww-=-=蝌即在确定此积分时,只要积分区间是一个周期即可,对积分区间的起止并无特别要求,因此可表示为是信号在一个周期的平均值,通常称直流分量。
0000()00000cos()sin()TTTjkntedtkntdtjkntdtwww-=-+-蝌0000()TjntnxtedtaTw-=00001()TjntnaxtedtTw-=00,T=knkn=01()jktkTaxtedtTw-=01()TaxtdtT=0a五.周期性矩形脉冲信号的频谱其中10011101000002sin11TjktjktTkTTkTaedteTjkTkTwwwww-=-=01111101001000sin2222()sin()kTTTTTSakTckTkTTTTwww=sinSa()xxx=sinsin()xcxxpp=10T0T-t()xt鬃鬃鬃鬃根据可绘出的频谱图。
称为占空比ka()xt102TT0pp-()Sax1px0121-sin()cx1x1不变时10212TT=10214TT=10218TT=0T1T不变时10212TT=10214TT=10218TT=1T0T周期性矩形脉冲信号的频谱特征:
1.离散性2.谐波性3.收敛性考查周期和脉冲宽度改变时频谱的变化:
1.当不变,改变时,随使占空比减小,谱线间隔变小,幅度下降。
但频谱包络的形状不变,包络主瓣内包含的谐波分量数增加。
2.2.当改变,不变时,随使占空比减小,谱线间隔不变,幅度下降。
频谱的包络改变,包络主瓣变宽。
主瓣内包含的谐波数量也增加。
0T12T1T1T0T0T1T0T表明:
奇信号的是关于的奇函数、虚函数。
当时,有表明:
偶信号的是关于的偶函数、实函数。
当时,有信号对称性与频谱的关系:
()()xtxt=-()()xtxt=-kaka02200212()()cosTTjktkTaxtedtxtktdtTTww-=蝌02200212()()sinTTjktkTaxtedtjxtktdtTTww-=-蝌kk若以为周期3.4连续时间傅里叶级数的收敛()xt这一节来研究用傅氏级数表示周期信号的普遍性问题,即满足什么条件的周期信号可以表示为傅里叶级数。
一.傅里叶级数是对信号的最佳近似用有限个谐波分量近似时,有()xtConvergenceoftheFourierseries0()jktkkxtaew=-=002Tpw=0T0()NjktNkkNxtaew=-=误差为以均方误差作为衡量误差的准则,其均方误差为于是:
()()()NNetxtxt=-00220011()()()()NNNTTEtetdtxtxtdtTT=-蝌000*01()()NNjktjktkkTkNkNxtaextaedtTww=-=-轾轾=-犏犏臌臌邋0220012()cos()NNNkkkkkTkNkNExtdtAABTTjq=-=-=+-邋在均方误差最小的准则下,可以证明,此时应满足:
其中这就是傅氏级数的系数结论:
在均方误差最小的准则下,傅里叶级数是对周期信号的最佳近似。
kakjkkaAeq=00()kjktjkTxtedtBewj-=0001()jktkTaxtedtTw-=傅里叶级数收敛的两层含义:
是否存在?
级数是否收敛于?
二.傅里叶级数的收敛两组条件:
1.平方可积条件:
如果则必存在。
能量有限一定存在。
()xtkaka02()Txtdtka()xtQ2.Dirichlet条件:
,在任何周期内信号绝对可积。
在任何有限区间内,只有有限个极值点,且极值为有限值。
在任何有限区间内,只有有限个第一类间断点。
因此,信号绝对可积就保证了的存在。
0()Txtdt0000011()()jktkTTaxtedtxtdtTTw-蝌ka这两组条件并不完全等价。
它们都是傅里叶级数收敛的充分条件。
相当广泛的信号都能满足这两组条件中的一组,因而用傅里叶级数表示周期信号具有相当的普遍适用性。
几个不满足Dirichlet条件的信号三.Gibbs现象满足Dirichlet条件的信号,其傅里叶级数是如何收敛于的。
特别当具有间断点时,在间断点附近,如何收敛于?
()xt()xt()xt1N=3N=7N=19N=100N=用有限项傅里叶级数表示有间断点的信号时,在间断点附近会不可避免的出现振荡和超量。
超量的幅度不会随所取项数的增加而减小。
只是随着项数的增多,振荡频率变高,并向间断点处压缩,从而使它所占有的能量减少。
Gibbs现象表明:
PropertiesofContinuous-TimeFourierSeries3.5连续时间傅里叶级数的性质学习这些性质,有助于对概念的理解和对信号进行级数展开。
一.线性:
若和都是以为周期的信号,且则()Fkxta()Fkytb()xt()ytT()()FkkAxtBytAaBb+二.时移:
三.反转:
若是以为周期的信号,且则若是以为周期的信号,且则四.尺度变换:
若是以为周期的信号,且则以为周期,于是000()jktFkxttaew-()Fkxta()xtT02Tpw=()xtT()Fkxta()Fkxta-()xtT()Fkxta()xat/Ta0/()()jkatFkTaaxatbxatedtTw-令,当在变化时,从变化,于是有:
五.相乘:
若和都是以为周期的信号,且则也即att=t0/Tat0T01()jkkkTbxedaTwttt-=()Fkkxatba()Fkxta()Fkytb()xt()ytT01()()()()jktFkTxtytCxtytedtTw-g001()jltjktklTlCaeytedtTww-=-=g六.共轭对称性:
若是以为周期的信号,且则由此可推得,对实信号有:
或时有:
0()1()jkltkllklTllCaytedtabTw-=-=邋()()Flklkklxtytabab-=-()xtT()Fkxtakatx)(kkaa*-=kkaa*-=kjkkaAeq=kkkkAAqq-=-七.Parseval定理:
表明:
一个周期信号的平均功率就等于它所有谐波分量的平均功率之和.*掌握表3.1时有:
对实信号,当时,(实偶函数)当时,(虚奇函数)kkTadttxT22)(1kkkaBjC=+kkkkBBCC-=-()()xtxt=-kkaa-=()()xtxt=-kkaa-=-例1:
-T1T010-TT例2:
周期性矩形脉冲将其微分后可利用例1表示为(不记直流分量)kkTttx)()(t)(tx)()()(11TtxTtxtg0/2/211()TjktkTatedtTTwd-=01()jktkxteTw=-=02Tpw=)(tg1T1Tt10设由时域微分性质有由例1知根据时移特性,有)(tgt1T1T()()FFkkgtcgtb井0kkbjkcw=1/kaT=0101012sinjkTjkTkkkbaeejakTwww-轾=-=臌0101100012sinsin2kkbkTkTTcjkkTTkTwwwww=02/Twp=0k考察成谐波关系的复指数信号集:
该信号集中每一个信号都以为周期,且该集合中只有个信号是彼此独立的。
FourierSeriesRepresentationofDiscrete-TimePeriodicSignals一.离散时间傅里叶级数(DFS)Discrete-TimeFourierSeries3.6离散时间周期信号的傅里叶级数表示2()jknNknepF=NN将这个独立的信号线性组合起来,一定能表示一个以为周期的序列。
即:
其中为个相连的整数这个级数就称为离散时间傅里叶级数(DFS),其中也称为周期信号的频谱。
二.傅里叶级数系数的确定给两边同乘以,得2()jknNkkNxnaep=ka()xn2()jknNkkNxnaep=2jrnNep-NNNk显然仍是以为周期的而22()21()()0,2()011jkrNjkrnjkrnNNNjkrnNnNeeeepppp-=-=-邋22()()jrnjkrnNNkkNxneaepp-=2()jrnNxnep-222()()()jrnjkrnjkrnNNNkknNnNkNkNnNxneaeaeppp-=邋邋2()jrnNrnNxneNap-=kr=krN显然上式满足即也是以为周期的,或者说中只有个是独立的。
即或对实信号同样有:
21()jrnNrnNaxneNp-=21()jknNknNaxneNp-=kNkaa+=kakakkaa*-=kkaa-=kkaa-=-RRReRekkaa-=ImImkkaa-=-NN三.周期性方波序列的频谱112121()()221jkjkNjkNNNNjkjkjkNNNeeeNeeepppppp-+-+-轾-犏臌=轾-犏臌211112
(1)22111jkNNjNkNNjknNkjknNNeeaeNNepppp-+-=-=-显然的包络具有的形状。
时121kNaN+=krN=kasinsinxxb1sin(21)1sinkNNNkNpp+=0,2,kNN贡弊鬃周期性方波序列的频谱kkk1220NN=1110NN=1210NN=u当不变、时,频谱的包络形状不变,只是幅度减小,谱线间隔变小。
u当改变、不变时,由于的包络具有的形状,而,可知其包络形状一定发生变化。
当时,包络的第一个零点会远离原点从而使频谱主瓣变宽。
这一点也与连续时间周期矩形脉冲的情况类似。
1N1NNNkasinsinxxb121Nb=+1N三.DFS的收敛DFS是一个有限项的级数,确定的关系式也是有限项的和式,因而不存在收敛问题,也不会产生Gibbs现象。
周期序列的频谱也具有离散性、谐波性,当在区间考查时,也具有收敛性。
不同的是,离散时间周期信号的频谱具有周期性。
kapp-1.相乘2.差分周期卷积PropertiesofDiscrete-TimeFourierSeries3.7DFS的性质DFS有许多性质,这里只选几个加以讨论。
()DFSkxna井()DFSkynb井()()DFSklkllNxnyncab-=井()DFSkxna井00()()
(1)jnDFSkxnxnneaw-井3.时域内插若以N为周期,则以mN为周期。
令令,则有时()mxn=(/)xnm0nrm=nrm()xn()mxn()Fmkxnh21()jknmNkmnmNhxnemNp-=nrm=0nmN0rN22111()()jkrmjkrmNNkkrNrNhxrexreamNmNmpp-=邋4.Paseval定理左边是信号在一个周期内的平均功率,右边是信号的各次谐波的总功率。
上式表明:
一个周期信号的平均功率等于它的所有谐波分量的功率之和。
也表明:
周期信号的功率既可以由时域求得,也可以由频域求得。
221|()|knNkNxnaN=邋()DFSkxna井称、为系统的系统函数。
FourierSeriesandLTISystemsLTI系统对复指数信号所起的作用只是给输入信号加权了一个相应的特征值。
对连续时间系统对离散时间系统3.8傅里叶级数与LTI系统()Hs()()stHshtedt-=()()nnHzhnz-=-=()Hz如果有被称为连续时间LTI系统的频率响应如果则称为离散时间LTI系统的频率响应对而言,以为周期如果一个LTI系统输入周期性信号或sjw=()()jtHjhtedtww-=()Hjwjzew=()()jjnnHehneww-=-=()jHew()jHeww2p()xt()xn0()jktkkxtaew=-=02Tpw=则*可见,LTI系统对周期信号的响应仍一个周期信号,LTI系统的作用是对各个谐波频率的信号分量进行不同的加权处理。
00()()jktkkytaHjkeww=-=22()()jkjknNNkkNynaHeepp=2()jknNkkNxnaep=例:
某离散时间LTI系统,输入为:
,求输出。
由得2111aa21)(22nNjnNjeenx11),()(nunhn)2cos()(nNnx()yn22()()jkjknNNnHehnepp+-=-=20jknnNnepa+-=211jkNepa-=-221()1jNjNHeeppa-=-221()1jNjNHeeppa-=-2()jkNkkbaHep=121/21jNbepa-=-121/21jNbepa-=-21()jknNkkynbep=3.9滤波Filtering本节移至第6章讲授。
3.10用微分方程描述的连续时间滤波器举例本节移至第6章讲授相关内容时由学生自学。
3.11用差分方程描述的离散时间滤波器举例本节移至第6章讲授相关内容时由学生自学。
3.12小结Summary本章主要讨论了:
v复指数函数是一切LTI系统的特征函数。
v建立了用傅里叶级数表示周期信号的方法,实现了对周期信号的频域分解。
v以周期性矩形脉冲信号为典型例子,研究了连续时间周期信号和离散时间周期信号的频谱特点及信号参量改变对频谱的影响。
v通过对连续时间傅氏级数和离散时间傅氏级数的讨论,既看到它们的基本思想与讨论方法完全类似,又研究了它们之间的重大区别。
v在对信号分析的基础上,研究了LTI系统的频率响应及LTI系统对周期信号的响应。
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