《事件的独立性》PPT课件.ppt
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一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性二、几个重要定理二、几个重要定理三、例题讲解三、例题讲解四、独立试验序列四、独立试验序列1.51.5事件的独立性事件的独立性五、小结五、小结一、事件的相互独立性一、事件的相互独立性(一一)两个事件的独立性两个事件的独立性由条件概率,知由条件概率,知)()()(BPABPBAP一般地,一般地,)()(APBAP这意味着:
事件这意味着:
事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概发生的概率有影响率有影响.然而,在有些情形下又会出现:
然而,在有些情形下又会出现:
)()(APBAP,.,),23(5取到绿球取到绿球第二次抽取第二次抽取取到绿球取到绿球第一次抽取第一次抽取记记有放回地取两次有放回地取两次每次取出一个每次取出一个红红绿绿个球个球盒中有盒中有BA则有则有)(ABP.发生的可能性大小发生的可能性大小的发生并不影响的发生并不影响它表示它表示BA)()(BPABP)()()(BPAPABP53)(BP1.引例引例,则,则若若0)(AP.,)()()(,独立独立简称简称相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是两事件是两事件设设BABABPAPABPBA2.定义定义1.9注注.1则则若若,0)(AP)()(BPABP)()()(BPAPABP说明说明事件事件A与与B相互独立相互独立,是指事件是指事件A的发生与事件的发生与事件B发生的概率无关发生的概率无关.2独立与互斥的关系独立与互斥的关系这是两个不同的概念这是两个不同的概念.两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP两事件互斥两事件互斥AB,21)(,21)(BPAP若若).()()(BPAPABP则则例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事件间的概率属性互斥是事件间本身的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如图如图若若BPAP)()()(BPAPABP故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立不独立.,0)(ABP则则,41)()(BPAP又如:
又如:
两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥可以证明:
可以证明:
特殊地,特殊地,时,有时,有当当0)(,0)(BPAPA与与B独立独立A与与B相容相容(不互不互斥斥)或或A与与B互斥互斥A与与B不独立不独立证证若若A与与B独立独立,则则)()()(BPAPABP0)(,0)(BPAP0)()()(BPAPABPAB故故即即A与与B不互斥不互斥(相容相容).若若A与与B互斥,则互斥,则AB=B发生时,发生时,A一定不发生一定不发生.0)(BAP这表明这表明:
B的发生会影响的发生会影响A发生的可能性发生的可能性(造成造成A不发生不发生),即即B的发生造成的发生造成A发生的发生的概率为零概率为零.所以所以A与与B不独立不独立.理解理解:
BA3.性质性质1.5
(1)必然事件必然事件及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.证证A=A,P()=1P(A)=P(A)=1P(A)=P()P(A)即即与与A独立独立.A=,P()=0P(A)=P()=0=P()P(A)即即与与A独立独立.
(2)若事件若事件A与与B相互独立相互独立,则以下三对则以下三对事件事件也相互独立也相互独立.;与与BA;与与BA.BA与与证证BAABBBAAA)()()()(BAPABPAP)()()(ABPAPBAP注称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.又又A与与B相互独立相互独立)()()(ABPAPBAP)()()(BPAPAP)
(1)(BPAP)()(BPAP)(对偶律对偶律BABA)()(BAPBAP)(1BAP)(1BAP)()()(1ABPBPAP)()()()(1BPAPBPAP)
(1)()(1APBPAP)
(1)(1BPAP).()(BPAP甲甲,乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击已知甲击中敌机的概率为中敌机的概率为0.6,乙击中敌机的概率乙击中敌机的概率为为0.5,求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设A=甲击中敌机甲击中敌机B=乙击中敌机乙击中敌机C=敌机被击中敌机被击中.BAC则则依题设依题设,5.0)(,6.0)(BPAPA与与B不互斥不互斥例例1(P(A)+P(B)=1.11P(A+B)由于甲,乙由于甲,乙同时同时射击,甲击中敌机并不影射击,甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性,所以响乙击中敌机的可能性,所以A与与B独独立立,进而进而.独立独立与与BABACBA)
(1)(CPCP)()(1BPAP)
(1)(11BPAP)5.01)(6.01(1=0.81.三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念(二二)多个事件的独立性多个事件的独立性定义定义.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA2.三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义定义1.10.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA设设A1,A2,An为为n个事件个事件,若对于任意若对于任意k(1kn),及及1i1i2ikn3.n个事件的独立性个事件的独立性定义定义若事件若事件A1,A2,An中任意两个事中任意两个事件相互独立,即对于一切件相互独立,即对于一切1ijn,有有)()()(jijiAPAPAAP.21两两相互独立两两相互独立,则称则称nAAA.12)11(1032个式子个式子共共nCCCCCnnnnnnnn定义定义1.11)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP有有.21相互独立相互独立,则称则称nAAA注注.相互独立相互独立nAAA,21两两相互独立两两相互独立nAAA,21设一个口袋里装有四张形状相同的卡片设一个口袋里装有四张形状相同的卡片.在这四张卡片上依次标有下列各组数在这四张卡片上依次标有下列各组数字:
字:
110,101,011,000从袋中任取一张卡片,记从袋中任取一张卡片,记1位上的数字为位上的数字为取到的卡片第取到的卡片第iAi)3,2,1(i证明:
证明:
;,)1(321两两相互独立两两相互独立AAA.,)2(321不相互独立不相互独立AAA例例2证证
(1)()(2142)(321APAPAP41)(21AAP)()(21APAP41)(31AAP)()(31APAP41)(32AAP)()(32APAP;,321两两相互独立两两相互独立AAA)()2(321AAAP04081)()()(321APAPAP.,321不相互独立不相互独立AAA110,101,011,000.)2(,)2(,.121个事件也是相互独立其中任意则相互独立若事件nkknAAAn)(.,)(,.运算封闭运算封闭独立性关于独立性关于个事件仍相互独立个事件仍相互独立所得的所得的立事件立事件们的对们的对中任意多个事件换成它中任意多个事件换成它则将则将相互独立相互独立个事件个事件若若nAAAnAAAnnn212122两个结论两个结论n个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:
nAAA,21设设事件事件相互独立相互独立,则则)nAAAP211()(121nAAAP)()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21即即n个独立事件至少有一个发生的概率个独立事件至少有一个发生的概率等于等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAP21结论的应用结论的应用nAAA,21则则“至少有一个发生”至少有一个发生”的概率为的概率为P(A1An)=1-(1-p1)(1-pn)()()(121nAPAPAP,1nppnAAA,21若设若设n个独立事件个独立事件发生的概率发生的概率分别为分别为类似可以得出:
类似可以得出:
nAAA,21至少有一个不发生”至少有一个不发生”的概率为的概率为“)(nAAAP21=1-p1pn若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%,假设每个人血清中是否含有肝炎假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立,混合病毒相互独立,混合100个人的血清,个人的血清,求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解毒毒个人的血清含有肝炎病个人的血清含有肝炎病第第记记iAi)100,2,1(i则则004.0)(iAP10021AAAB例例3100肝炎病毒肝炎病毒个人的混合血清中含有个人的混合血清中含有B依题设,依题设,相互独立相互独立10021,AAA)()(10021AAAPBP)(110021AAAP)(110021AAAP)()()(110021APAPAP1001)(11AP100)004.01(1100)996.0(133.0事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用中的应用:
一个元件的可靠性一个元件的可靠性:
该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性:
由元件组成的系统正常由元件组成的系统正常工作的概率工作的概率.设一个系统由设一个系统由2n个元件组成,每个元件个元件组成,每个元件的可靠性均为的可靠性均为r,且各元件能否正常工,且各元件能否正常工作是相互独立的作是相互独立的.
(1)求下列两个系统和的可靠性;求下列两个系统和的可靠性;
(2)问:
哪个系统的可靠性更大?
问:
哪个系统的可靠性更大?
例例4系统系统.系统系统.解解,个元件正常工作个元件正常工作第第设设iAirAPi)(则则),2,1(ni设设B1=系统系统正常工作正常工作n+22nn+112nn+22nn+112nB2=系统系统正常工作正常工作考察系统考察系统:
设设C=通路通路正常工作正常工作,D=通路通路正常工作正常工作每条通路正常工每条通路正常工作作通路上各元件通路上各元件都正常工作都正常工作而而系统系统正常工正常工作作两条通路中两条通路中至少至少有一条正常工作有一条正常工作DCB1nnnnAAAAAA22121)()(21nAAAPCP)()()(21nAPAPAPnr)()(221nnnAAAPDP)()()(221nnnAPAPAPnr)()(1DCPBP)(1DCP)(1DCP)()(1DPCP2)1(1nr)2(nnrr系统系统正常工作的概率正常工作的概率:
考察系统考察系统:
系统系统正常工作正常工作通路上的每对并通路上的每对并联元件正常工作联元件正常工作B2=系统系统正常工作正常工作)()(22211nnnnAAAAAA)
(1)(iniiniAAPAAP)(1iniAAP)()(1iniAPAP2)1(1r)2(rr),2,1(ni)()()()(222112nnnnAAPAAPAAPBP所以,系统所以,系统正常工作的概率:
正常工作的概率:
nrr)2(nnrr)2
(2)问:
哪个系统的可靠性更大?
问:
哪个系统的可靠性更大?
10rnnnnnnrrrrfrrfrfrfxfyxxnnxfnxxf2)2(,12)2
(1)1()2)2
(2)()2()()0(0)1()()2()(2亦即亦即即即是凹的,从而是凹的,从而故曲线故曲线,则,则令令nnrr2)2()()(12BPBP即系统即系统的可靠性比系统的可靠性比系统的大的大.二、独立试验序列概型二、独立试验序列概型1.定义定义1.12(独立试验序独立试验序列列)设设Ei(i=1,2,)是一列随机试验是一列随机试验,Ei的样本的样本空间为空间为i,设设Ak是是Ek中的任一事件中的任一事件,Akk,若若Ak出现的概率都不依赖于其它各次试验出现的概率都不依赖于其它各次试验Ei(ik)的的结果结果,则称则称Ei是是相互独立相互独立的随机试验序列试验序列,简简称称独立试验独立试验序列序列.则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努里试验,简称重贝努里试验,简称为为贝努里概型贝努里概型.若若n次重复试验具有下列次重复试验具有下列特点:
特点:
2.n重贝重贝努利努利(Bernoulli)试验试验1)每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A或或,ApAPpAP1)(,)(且且2)各次试验的结果相互独立,各次试验的结果相互独立,(在各次试验中在各次试验中p是常数,保持不变)是常数,保持不变)实例实例1抛一枚硬币观察得到正面或反面抛一枚硬币观察得到正面或反面.若若将将硬币抛硬币抛n次次,就是就是n重伯努利试重伯努利试验验.实例实例2抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否“出现观察是否“出现1点”点”,就就是是n重伯努利试验重伯努利试验.一般地,一般地,对于对于贝努里概型贝努里概型,有如下公式:
,有如下公式:
定理定理如果在贝努里试验中,事件如果在贝努里试验中,事件A出现出现的概率为的概率为p(0p1),则在则在n次试验次试验中,中,A恰好出现恰好出现k次的概率为:
次的概率为:
knkknnppCkP)1()()1;,2,1,0(pqnkknkknqpC.1)(0nknkP且且3.二项概率公式二项概率公式,发生的次数发生的次数重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件表示表示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则X.,2,1,0n推导如下:
推导如下:
)0(时时当当nkkX.次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA次次kAAA,次次knAAA次次1kAAAAA次次1knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种knC且两两互不相容且两两互不相容.称上式为称上式为二项分布二项分布.记为记为).,(pnBX次的概率为次的概率为次试验中发生次试验中发生在在因此因此knAknkknppC)1(pq1记记knkknqpC经计算得经计算得.)4,3,2,1,0(,4,6,4,10道题的概率道题的概率问能碰对问能碰对试试于是随意填写于是随意填写道题不会做道题不会做有有道题道题生仅会做生仅会做今有一考今有一考其中一个为正确答案其中一个为正确答案可供选择的答案可供选择的答案个个每道选择题有每道选择题有道选择题道选择题设某考卷上有设某考卷上有mm则则道题这一事实道题这一事实道题中碰对道题中碰对表示表示设设,4mBm31604341040040.)()()(CBP04804341343343.)()()(CBP例例5解解)4,3,2,1,0()43()41()(44mCBPmmmm,概率概率首次发生在第首次发生在第需要计算事件需要计算事件在贝努利试验中,通常在贝努利试验中,通常kA.,1,发生发生次次第第发生发生次均是次均是前前次次即试验总共进行了即试验总共进行了AkAkkppAPAPAPBPAAAABiAkiABkkkkkkkik111121121)()()()()(,),(,则则次试验中发生次试验中发生第第在在记事件记事件以以记这一事件记这一事件若以若以几何分布几何分布几何分布例例6.,1,次打开门的概率次打开门的概率求该人在第求该人在第的概率被选中的概率被选中即每次以即每次以开门开门他随机地选取一把钥匙他随机地选取一把钥匙打开这个门打开这个门其中仅有一把能其中仅有一把能把钥匙把钥匙他共有他共有一个人开门一个人开门knn则则次打开门次打开门表示第表示第令令,kBk,)()(211111knnBPkk解解三、内容小结三、内容小结)()()(,.1BPAPABPBA两事件独立两事件独立).()()()(),()()(),()()(),()()(,CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA三个事件相互独立三个事件相互独立.,.2相互独立相互独立与与与与与与相互独立相互独立重要结论重要结论BABABABA则则相互独立相互独立设事件设事件,nAAA213)(nAAAP21)nAAAP211()()()(nAPAPAP2114二项分布二项分布knkknqpC5几何分布几何分布ppk1)1(备用题备用题伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体,其第一面染成红色其第一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色,第三面染成黑色第三面染成黑色,而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以A,B,C分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红,白白,黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件,问问A,B,C是否相互独立是否相互独立?
解解由于在四面体中红由于在四面体中红,白白,黑分别出现两面黑分别出现两面,因此因此,21)()()(CPBPAP又由题意知又由题意知例例2-1,41)()()(ACPBCPABP故有故有因此因此A、B、C不相互独立不相互独立.,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件A,B,C两两独立两两独立.由于由于41)(ABCP),()()(81CPBPAP设每一名机枪射击手击落飞机的概率设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击落飞机的概率是多少问击落飞机的概率是多少?
射击问题射击问题例例3-1解解,名射手击落飞机名射手击落飞机第第为为设事件设事件iAi事件事件B为“击落飞机”为“击落飞机”,1021AAAB则则.10,2,1i)()(1021AAAPBP)(11021AAAP)()()(11021APAPAP.893.0)8.0(110)(11021AAAP甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为0.6,若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击落,求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解,个人击中敌机个人击中敌机表示有表示有设设iAiA,B,C分别表示甲、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机,1CBACBACBAA由于由于,7.0)(,5.0)(,4.0)(CPBPAP则则例例3-2)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP故得故得7.05.06.03.05.06.03.05.04.0.36.0,2BCACBACABA因为因为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP.41.0)()(2BCACBACABPAP得得,3ABCA由由)()(3ABCPAP得得)()()(CPBPAP7.05.04.0因而因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为由全概率公式得飞机被击落的概率为14.0141.06.036.02.0P.458.0.14.0要验收一批要验收一批(100件件)乐器乐器.验收验收方案如下方案如下:
自该批乐器中随机地取自该批乐器中随机地取3件测试件测试(设设3件乐器的测试是相互独立的件乐器的测试是相互独立的),如果如果3件中至少有件中至少有一件在测试中被认为音色不纯一件在测试中被认为音色不纯,则这批乐器就被则这批乐器就被拒绝接收拒绝接收.设一件音色不纯的乐器经测试查出其设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为为音色不纯的概率为0.95;而一件音色纯的乐器经而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为测试被误认为不纯的概率为0.01.如果已知这如果已知这100件乐器中恰有件乐器中恰有4件是音色不纯的件是音色不纯的.试问这批乐器试问这批乐器被接收的概率是多少被接收的概率是多少?
解解,3)3,2,1,0(件乐器件乐器随机地取出随机地取出件件表示事表示事设以设以iHi,件音色不纯件音色不纯其中恰有其中恰有i例例3-3.这批乐器被接收这批乐器被接收表示事件表示事件以以A纯的乐器纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为经测试被认为音色纯的概率为0.99,已知一件音色已知一件音色而一件音色不纯的乐器而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的经测试被认为音色纯的概率为概率为0.05,并且三件乐器的测试是相互独立的并且三件乐器的测试是相互独立的,于是有于是有,)99.0()(30HAP,05.0)99.0(2,)05.0(99.02,)05.0(3,3210的一个划分的一个划分是是SHHHH)(1HAP)(2HAP)(3HAP,310019624)(2HP.310034)(3HP30()()()iiiPAPHPAH=故故000055.08574.0.8629.0,3100396)(0HP而而,310029614)(1HP经计算得经计算得.)4,3,2,1,0(,4,6,4,10道题的概率道题的概率问能碰对问能碰对试试于是随意填写于是随意填写道题不会做道题不会做有有道题道题生仅会做生仅会做今有一考今有一考其中一个为正确答案其中一个为正确答案可供选择的答案可供选择的答案个个每道选择题有每道选择题有道选择题道选择题设某考卷上有设某考卷上有mm则则道题这一事实道题这一事实道题中碰对道题中碰对表示表示设设,4mBm31604341040040.)()()(CBP04804341343343.)()()(CBP例例5-1解解)4,3,2,1,0()43()41()(44mCBPmmmmEn:
可看成将可看成将E重复了重复了n次次,这是一个这是一个n重重贝努里试验贝努里试验.,21,互独立互独立设各局胜负相设各局胜负相利利还是采用五局三胜制有还是采用五局三胜制有有利有利采用三局二胜制采用三局二胜制问对甲而言问对甲而言概率为概率为每局甲胜的每局甲胜的乙两人进行乒乓球比赛乙两人进行乒乓球比赛甲甲pp、解解例例5-2甲胜甲胜设设AE:
观察观察1局比赛甲是否获胜局比赛甲是否获胜设在设在n次试验中,次试验中,A恰好出现恰好出现k次的概率次的概率为:
为:
knkknnppCkP)1()(:
胜局情况可能是胜局情况可能是“甲甲甲甲”,“乙乙甲甲甲甲”,“甲甲乙乙甲甲”;pPPp)1()2(221甲最终获胜的概率:
甲最终获胜的概率:
采用三局二胜制采用三局二胜制,pppCpC).1(12222).1(222ppp,)1(甲最终获胜甲最终获胜采用三局二胜制采用三局二胜制,2局局至少需比赛至少需比赛.1,局局而前面甲需胜而前面甲需胜且最后一局必需是甲胜且最后一局必需是甲胜knkknnppCkP)1()(:
甲最终获胜的概率为甲最终获胜的概率为在五局三胜制下在五局三胜制下23243233)1()1(ppCppCppPpPPp)2()2()3(4332,3,)2(局局至少需比赛至少需比赛甲最终获胜甲最终获胜采用五局三胜制采用五局三胜制.,局局而前面甲需胜二而前面甲需胜二且最后一
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