统计学第3章概率、概率分布与抽样分布(袁卫).pptx
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统计学第3章概率、概率分布与抽样分布(袁卫).pptx
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统计学统计学STATISTICS第第3章概率、概率分布与抽样分章概率、概率分布与抽样分布布3.1事件及其概率事件及其概率3.2随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3.3常用的抽样方法常用的抽样方法3.4抽样分布抽样分布3.5中心极限定理的应用中心极限定理的应用1统计学统计学STATISTICS学习目标学习目标事件及其概率事件及其概率随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布常用的抽样方法常用的抽样方法抽样分布抽样分布中心极限定理的应用中心极限定理的应用2统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS3.1事件及其概率事件及其概率3.1.1试验、事件和样本空间3.1.2事件的概率3.1.3概率的性质和运算法则3.1.4条件概率与事件的独立性3.1.5全概公式与逆概公式33统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS试验、事件和样本空间试验、事件和样本空间34统计学统计学STATISTICS试验试验(experiment)1.1.对试验对象进行一次观察或测量的过程对试验对象进行一次观察或测量的过程掷一颗骰子,观察其出现的点数掷一颗骰子,观察其出现的点数从一副从一副52张扑克牌中抽取一张,并观察其结张扑克牌中抽取一张,并观察其结果果(纸牌的数字或花色纸牌的数字或花色)2.2.试验的特点试验的特点可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行每次试验的可能结果可能不止一个,但试验的每次试验的可能结果可能不止一个,但试验的所有可能结果在试验之前是确切知道的所有可能结果在试验之前是确切知道的在试验结束之前,不能确定该次试验的确切结在试验结束之前,不能确定该次试验的确切结果果5统计学统计学STATISTICS事件事件(event)1.事件:
试验的每一个可能结果试验的每一个可能结果(任何样本任何样本点集合点集合)掷一颗骰子出现的点数为掷一颗骰子出现的点数为3用大写字母用大写字母A,B,C,表示表示2.随机事件(randomevent):
每次试验可能每次试验可能出现也可能不出现的事件出现也可能不出现的事件掷一颗骰子可能出现的点数掷一颗骰子可能出现的点数6统计学统计学STATISTICS事件事件(event)1.简单事件(simpleevent):
不能被分解成其他事:
不能被分解成其他事件组合的基本事件件组合的基本事件抛一枚均匀硬币,“出现正面”和“出现反面”抛一枚均匀硬币,“出现正面”和“出现反面”2.必然事件(certainevent):
每次试验一定出现的:
每次试验一定出现的事件,用事件,用表示表示掷一颗骰子出现的点数小于掷一颗骰子出现的点数小于73.不可能事件(impossibleevent):
每次试验一定不:
每次试验一定不出现的事件,用出现的事件,用表示表示掷一颗骰子出现的点数大于掷一颗骰子出现的点数大于67统计学统计学STATISTICS样本空间与样本点样本空间与样本点1.样本空间(sampleSpace)一个试验中所有结果的集合,用一个试验中所有结果的集合,用表示表示例如:
在掷一颗骰子的试验中,样本空例如:
在掷一颗骰子的试验中,样本空间表示为:
间表示为:
1,2,3,4,5,6在投掷硬币的试验中,在投掷硬币的试验中,正面,反正面,反面面2.样本点(samplepoint)样本空间中每一个特定的试验结果样本空间中每一个特定的试验结果用符号用符号表示表示8统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS事件的概率事件的概率39统计学统计学STATISTICS事件的概率事件的概率(probability)1.1.事件事件A的概率是一个介于的概率是一个介于0和和1之间的一个值之间的一个值,用以度量试验完成时事件,用以度量试验完成时事件A发生的可能性大发生的可能性大小,记为小,记为P(A)2.2.当试验的次数很多时,概率当试验的次数很多时,概率P(A)可以由所观察可以由所观察到的事件到的事件A发生次数发生次数(频数频数)的比例来逼近的比例来逼近在相同条件下,重复进行在相同条件下,重复进行n次试验,事件次试验,事件A发生了发生了m次,则事件次,则事件A发生的概率可以写发生的概率可以写为为10pnmAAP重复试验次数发生的次数事件)(统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS概率的性质和运算法则概率的性质和运算法则311统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(mutuallyexclusiveevents)在试验中,两个事件有一个发生时,另在试验中,两个事件有一个发生时,另一个就不能发生,一个就不能发生,则称事件则称事件A与事件与事件B是是互斥事件,(没有公共样本点没有公共样本点)AB互斥事件的文氏图(Venndiagram)12统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例题分析例题分析)【例】在一所城市中随机抽取在一所城市中随机抽取600个家庭,个家庭,用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。
用以确定拥有个人电脑的家庭所占的比例。
定义如下事件:
定义如下事件:
A:
600个家庭中恰好有个家庭中恰好有265个家庭拥个家庭拥有电脑有电脑B:
恰好有:
恰好有100个家庭拥有电脑个家庭拥有电脑C:
特定户张三家拥有电脑:
特定户张三家拥有电脑说明下列各对事件是否为互斥事件,说明下列各对事件是否为互斥事件,并说明你的理由并说明你的理由
(1)A与与B
(2)A与与C(3)B与与C13统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例题分析例题分析)解:
(1)事件事件A与与B是互斥事件。
因为你是互斥事件。
因为你观察观察到恰好有到恰好有265个家庭拥有个家庭拥有电脑,就电脑,就不可能恰好有不可能恰好有100个家庭个家庭拥有电脑拥有电脑
(2)事件事件A与与C不是互斥事件。
因为不是互斥事件。
因为张三张三也许正是这也许正是这265个家庭之一个家庭之一,因而事,因而事件与有可能同时发生件与有可能同时发生(3)事件事件B与与C不是互斥事件。
理由不是互斥事件。
理由同同
(2)14统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例题分析例题分析)【例】【例】同时抛掷两枚硬币,并考察其结果。
恰好有一枚正面朝上的概率是多少?
解解:
用H表示正面,T表示反面,下标1和2表示硬币1和硬币2。
该项试验会有4个互斥事件之一发生
(1)两枚硬币都正面朝上,记为H1H2
(2)1号硬币正面朝上而2号硬币反面朝上,记为H1T2(3)1号硬币反面朝上而2号硬币正面朝上,记为T1H2(4)两枚硬币都是反面朝上,记为T1T215统计学统计学STATISTICS互斥事件及其概率互斥事件及其概率(例题分析例题分析)解:
由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率由于每一枚硬币出现正面或出现反面的概率都是都是1/2,当抛掷的次数逐渐增大时,上面的,当抛掷的次数逐渐增大时,上面的4个简单事件中每一事件发生的相对频数个简单事件中每一事件发生的相对频数(概率概率)将近似等于将近似等于1/4。
因为仅当。
因为仅当H1T2或或T1H2发生发生时,才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生,而事时,才会恰好有一枚硬币朝上的事件发生,而事件件H1T2或或T1H2又为互斥事件,两个事件中一又为互斥事件,两个事件中一个事件发生或者另一个事件发生的概率便是个事件发生或者另一个事件发生的概率便是1/2(1/4+1/4)。
因此,抛掷两枚硬币,恰好有一枚出。
因此,抛掷两枚硬币,恰好有一枚出现正面的概率等于现正面的概率等于H1T2或或T1H2发生的概率,发生的概率,也就是两种事件中每个事件发生的概率之和也就是两种事件中每个事件发生的概率之和16统计学统计学STATISTICS互斥事件的加法规则互斥事件的加法规则(additionlaw)加法规则1.1.若两个事件若两个事件A与与B互斥,则事件互斥,则事件A发生发生或事件或事件B发生的概率等于这两个事件各发生的概率等于这两个事件各自的概率之和,即自的概率之和,即P(AB)=P(A)+P(B)2.2.事件事件A1,A2,An两两互斥,则有两两互斥,则有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)17统计学统计学STATISTICS互斥事件的加法规则互斥事件的加法规则(例题分析例题分析)解:
解:
掷一颗骰子出现的点数(1,2,3,4,5,6)共有6个互斥事件,而且每个事件出现的概率都为1/6根据互斥事件的加法规则,得【例】【例】抛掷一颗骰子,并考察其结果。
求出其点数为1点或2点或3点或4点或5点或6点的概率181616161616161)6()5()4()3()2()1()654321(PPPPPPP或或或或或统计学统计学STATISTICS概率的性质概率的性质(小结小结)1.1.非负性非负性对任意事件对任意事件A,有,有P12.2.规范性规范性一个事件的概率是一个介于一个事件的概率是一个介于0与与1之间的值,即对之间的值,即对于任意事件于任意事件A,有有0P13.3.必然事件的概率为必然事件的概率为1;不可能事件的概率为;不可能事件的概率为0。
即即P()=1;P()=04.4.可加性可加性若若A与与B互斥,则互斥,则P(AB)=P(A)+P(B)推广到多个两两互斥事件推广到多个两两互斥事件A1,A2,An,有,有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)19统计学统计学STATISTICS事件的补及其概率事件的补及其概率事件的补(complement)事件事件AA不发生的事件,称为补事件不发生的事件,称为补事件AA的补的补事件事件(或称逆事件或称逆事件),记为,记为A。
它是样本空。
它是样本空间中所有不属于事件间中所有不属于事件A的样本点的集合的样本点的集合AAP(A)=1-P(A)20统计学统计学STATISTICS广义加法公式广义加法公式广义加法公式广义加法公式对任意两个随机事件A和B,它们和的概率为两个事件分别概率的和减去两个事件交的概率,即P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)两个事件的并两个事件的交21统计学统计学STATISTICS广义加法公式广义加法公式(事件的并或和事件的并或和)事件A或事件B发生的事件,称为事件A与事件B的并。
它是由属于事件A或事件B的所有样本点的集合,记为AB或A+BBAAB22统计学统计学STATISTICS广义加法公式广义加法公式(事件的交或积事件的交或积)ABAB事件A与事件B同时发生的事件,称为事件A与事件B的交,它是由属于事件A也属于事件B的所有公共样本点所组成的集合,记为BA或AB23统计学统计学STATISTICS广义加法公式广义加法公式(例题分析例题分析)解:
设设A=员工离职是因为对工资不满意员工离职是因为对工资不满意B=员工离职是因为对工作不满意员工离职是因为对工作不满意依题意有:
依题意有:
P(A)=0.40;P(B)=0.30;P(AB)=0.15P(AB)=P(A)+P(B)+P(AB)=0.40+0.30-0.15=0.55【例】一【例】一家计算机软件开发公司的人事部门最近做了一项调查,发现在最近两年内离职的公司员工中有40%是因为对工资不满意,有30%是因为对工作不满意,有15%是因为他们对工资和工作都不满意。
求两年内离职的员工中,离职原因是因为对工资不满意、或者对工作不满意、或者二者皆有的概率24统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性325统计学统计学STATISTICS条件概率条件概率(conditionalprobability)在事件在事件B已经发生的条件下事件已经发生的条件下事件A发生的概发生的概率,称为已知事件率,称为已知事件B时事件时事件A的条件概率,记的条件概率,记为为P(A|B)P(B)P(AB)P(A|B)=事件B及其概率P(B)事件AB及其概率P(AB)事件事件AA事件事件BB一旦事件一旦事件BB发发生生26统计学统计学STATISTICS条件概率条件概率(例题分析例题分析)解:
设设A=顾客购买食品,顾客购买食品,B=顾客购买其他商品顾客购买其他商品依题意有:
依题意有:
P(A)=0.80;P(B)=0.60;P(AB)=0.35【例】【例】一家超市所作的一项调查表明,有80%的顾客到超市是来购买食品,60%的人是来购买其他商品,35%的人既购买食品也购买其他商品。
求:
(1)已知某顾客购买食品的条件下,也购买其他商品的概率
(2)已知某顾客购买其他的条件下,也购买食品的概率274375.080.035.0)()()(APABPABP5833.060.035.0)()()(BPABPBAP统计学统计学STATISTICS条件概率条件概率(例题分析例题分析)【例】一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算一家电脑公司从两个供应商处购买了同一种计算机配件,质量状况如下表所示机配件,质量状况如下表所示从这从这200个配件中任取一个进行检查,求个配件中任取一个进行检查,求
(1)取出的一个为正品的概率取出的一个为正品的概率
(2)取出的一个为供应商甲的配件的概率取出的一个为供应商甲的配件的概率(3)取出一个为供应商甲的正品的概率取出一个为供应商甲的正品的概率(4)已知取出一个为供应商甲的配件,它是正品的概率已知取出一个为供应商甲的配件,它是正品的概率甲乙两个供应商提供的配件正品数次品数合计供应商甲84690供应商乙1028110合计1861420028统计学统计学STATISTICS条件概率条件概率(例题分析例题分析)解:
设设A=取出的一个为正品取出的一个为正品B=取出的一个为供应商甲供应的配件取出的一个为供应商甲供应的配件
(1)
(2)(3)(4)2993.0200186)(AP45.020090)(BP42.020084)(ABP9333.045.042.0)()()(BPABPBAP统计学统计学STATISTICS乘法公式乘法公式(multiplicativelaw)1.1.用来计算两事件交的概率用来计算两事件交的概率2.2.以条件概率的定义为基础以条件概率的定义为基础3.3.设设A,B为两个事件,若为两个事件,若P(B)0,则,则4.P(AB)=P(B)P(A|B)5.5.或或6.P(AB)=P(A)P(B|A)30统计学统计学STATISTICS乘法公式乘法公式(例题分析例题分析)【例】【例】一家报纸的发行部已知在某社区有75%的住户订阅了该报纸的日报,而且还知道某个订阅日报的住户订阅其晚报的概率为50%。
求某住户既订阅日报又订阅晚报的概率解:
解:
设A=某住户订阅了日报B=某个订阅了日报的住户订阅了晚报依题意有:
P(A)=0.75;P(B|A)=0.50P(AB)=P(A)P(B|A)=0.750.5=0.37531统计学统计学STATISTICS独立事件与乘法公式独立事件与乘法公式(例题分析例题分析)【例】【例】从一个装有3个红球2个白球的盒子里摸球(摸出后球不放回),求连续两次摸中红球的概率解:
解:
设A=第2次摸到红球B=第1次摸到红球依题意有:
P(B)=3/5;P(A|B)=2/4P(AB)=P(A)P(B|A)=3/52/4=0.332统计学统计学STATISTICS独立事件与乘法公式独立事件与乘法公式(independentevents)1.1.若若P(A|B)=P(A)或或P(B|A)=P(B),则称,则称事件事件A与与B事件独立,或称独立事件事件独立,或称独立事件2.2.若两个事件相互独立,则这两个事件同若两个事件相互独立,则这两个事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率时发生的概率等于它们各自发生的概率之积,即之积,即.P(AB)=P(A)P(B)3.3.若事件若事件AA1,1,AA2,2,AnAn相互独立,则相互独立,则.P(A1,A2,An)=P(A1)P(A2)P(An)33统计学统计学STATISTICS独立事件与乘法公式独立事件与乘法公式(例题分析例题分析)【例】【例】一个旅游经景点的管理员根据以往的经验得知,有80%的游客在古建筑前照相留念。
求接下来的两个游客都照相留念的概率解:
解:
设A=第一个游客照相留念B=第二个游客照相留念两个游客都照相留念是两个事件的交。
在没有其他信息的情况下,我们可以假定事件A和事件B是相互立的,所以有P(AB)=P(A)P(B)=0.800.80=0.6434统计学统计学STATISTICS独立事件与乘法公式独立事件与乘法公式(例题分析例题分析)【例】【例】假定我们是从两个同样装有3个红球2个白球的盒子摸球。
每个盒子里摸1个。
求连续两次摸中红球的概率解:
解:
设A=从第一个盒子里摸到红球B=从第二个盒子里摸到红球依题意有:
P(A)=3/5;P(B|A)=3/5P(AB)=P(A)P(B|A)=3/53/5=0.3635统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS全概公式与逆概公式全概公式与逆概公式336统计学统计学STATISTICS全概公式全概公式全概公式BB22BB55BB44BB11BB33完备事件组完备事件组37niiiniiBAPBPABPAP11)()()()(统计学统计学STATISTICS全概公式全概公式(例题分析例题分析)【例】【例】假设在n张彩票中只有一张中奖奖券,那么第二个人摸到奖券的概率是多少?
解:
解:
设A=第二个人摸到奖券,B=第一个人摸到奖券依题意有:
P(B)=1/n;P(B)=(n-1)/nP(A|B)=0P(A|B)=1/n-138nnnnnBAPBPBAPBPAP111101)()()()()(统计学统计学STATISTICS逆概公式逆概公式逆概公式(贝叶斯公式)P(Bi)被称为事件Bi的先验概率(priorprobability)P(Bi|A)被称为事件Bi的后验概率(posteriorprobability)39njBAPBPBAPBPABPniiijjj,1,)()()()()(1统计学统计学STATISTICS逆概公式逆概公式(例题分析例题分析)【例】【例】某考生回答一道四选一的考题,假设他知道正确答案的概率为1/2,而他不知道正确答案时猜对的概率应该为1/4。
考试结束后发现他答对了,那么他知道正确答案的概率是多大呢?
解:
解:
设A=该考生答对了,B=该考生知道正确答案依题意有:
P(B)=1/2;P(B)=1-1/2=1/2P(A|B)=1/4P(A|B)=1408.04121121121)()()()()()()(BAPBPBAPBPBAPBPABP统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS3.2随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布3.2.1随机变量3.2.2离散型随机变量的概率分布3.2.3离散型随机变量的数学期望和方差3.2.4几种常用的离散型概率分布3.2.5概率密度函数与连续型随机变量3.2.6常见的连续型概率分布341统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS随机变量随机变量342统计学统计学STATISTICS随机变量随机变量(randomvariables)1.1.一次试验的结果的数值性描述一次试验的结果的数值性描述2.2.一般用一般用X,Y,Z来表示来表示3.3.例如:
投掷两枚硬币出现正面的数量例如:
投掷两枚硬币出现正面的数量4.4.根据取值情况的不同分为离散型随机变根据取值情况的不同分为离散型随机变量和连续型随机变量量和连续型随机变量43统计学统计学STATISTICS离散型随机变量离散型随机变量1.1.随机变量随机变量X取有限个值或所有取值都可以取有限个值或所有取值都可以逐个列举出来逐个列举出来x1,x2,2.2.以确定的概率取这些不同的值以确定的概率取这些不同的值3.3.离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查100个产品一家餐馆营业一天电脑公司一个月的销售销售一辆汽车取到次品的个数顾客数销售量顾客性别0,1,2,1000,1,2,0,1,2,男性为0,女性为144统计学统计学STATISTICS连续型随机变量连续型随机变量1.1.可以取一个或多个区间中任何值可以取一个或多个区间中任何值2.2.所有可能取值不可以逐个列举出来,而是取所有可能取值不可以逐个列举出来,而是取数轴上某一区间内的任意点数轴上某一区间内的任意点3.3.连续型随机变量的一些例子连续型随机变量的一些例子试验随机变量可能的取值抽查一批电子元件新建一座住宅楼测量一个产品的长度使用寿命(小时)半年后工程完成的百分比测量误差(cm)X00X100X045统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的概率分离散型随机变量的概率分布布346统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布1.1.列出离散型随机变量列出离散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值2.2.列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率3.3.通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示X=xix1,x2,xnP(X=xi)=pip1,p2,pn4.P(X=xi)=pi称为离散型随机变量的概率函数pi0;4711niip统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布(例题分析例题分析)【例】【例】一部电梯在一周内发生故障的次数X及相应的概率如下表故障次数故障次数X=xi0123概率概率P(X=xi)pi0.100.250.35一部电梯一周发生故障的次数及概率分布
(1)确定的值
(2)求正好发生两次故障的概率(3)求故障次数多于一次的概率(4)最多发生一次故障的概率48统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布(例题分析例题分析)解:
解:
(1)由于0.10+0.25+0.35+=1所以,=0.30
(2)P(X=2)=0.35(3)P(X2)=0.10+0.25+0.35=0.70(4)P(X1)=0.35+0.30=0.6549统计学统计学STATISTICS统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的数学期离散型随机变量的数学期望和方差望和方差350统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望(expectedvalue)1.1.离散型随机变量离散型随机变量X的所有可能取值的所有可能取值xi与其取相与其取相对应的概率对应的概率pi乘积之和乘积之和2.2.描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度3.3.记为记为或或E(X)4.4.计算公式为计算公式为51取无穷个值)取有限个值)XpxXEXpxXEiiiniii()()(1统计学统计学STATISTICS离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差(variance)1.1.随机变量随机变量X的每一个取值与期望值的离差平的每一个取值与期望值的离差平方和的数学期望,记为方和的数学期望,记为2或或D(X)2.2.描
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