人教A版高中数学知识点与公式大全.docx
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高中数学知识点及其公式大全(人教A版2019)
必修第一册
第一章集合与常用逻辑用语
1.集合
1.1集合的概念及其表示
⑴.集合中元素的三个特征:
①.确定性:
给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
②.互异性:
一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的.
③.无序性:
即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种:
属于(用符号“”表示)和不属于(用符号“”表示).
⑶.集合常用的表示方法有三种:
列举法、Venn图、描述法.
(4).常见的数集及其表示符号
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示符号
N
或
Z
Q
R
1.2集合间的基本关系
性质
符号表示
空集
空集是任何集合的子集
空集是任何非空集合的真子集
相等
集合A与集合B所有元素相同
A=B
子集
集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素
真子集
集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有
1.3集合之间的基本运算
符号表示
集合表示
并集
交集
补集
2.逻辑用语
2.1充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇏p
p是q的必要不充分条件
p⇏q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇏q且q⇏p
【特别提醒】
若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A⊆B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系.
①若AB,则p是q的充分不必要条件;②若A⊇B,则p是q的必要条件;
③若AB,则p是q的必要不充分条件;
④若A=B,则p是q的充要条件;
⑤若A⊈B且A⊉B,则p是q的既不充分也不必要条件.
2.2全称量词和存在量词
(1)全称量词有:
所有的,任意一个,任给,用符号“∀”表示;存在量词有:
存在一个,至少有一个,有些,用符号“∃”表示.
(2)含有全称量词的命题,叫做全称命题.“对M中任意一个x,有p(x)成立”用符号简记为:
∀x∈M,p(x).
(3)含有存在量词的命题,叫做特称命题.“存在M中元素x0,使p(x0)成立”用符号简记为:
∃x0∈M,p(x0).
第二章一元二次函数、方程与不等式
1.一元二次不等式的概念及形式
(1).概念:
把只含有一个未知数,并且知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式.
(2).形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);④ax2+bx+c≤0(a≠0).
2.一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系
(1)一元二次不等式的解集的概念:
一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.
(2)关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0)的解集;
若二次函数为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则一元二次不等式f(x)>0或f(x)<0的解集,就是分别使二次函数f(x)的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合.
(3)三个“二次”之间的关系:
设f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac
判别式Δ
=b2-4ac
Δ>0
Δ=0
Δ<0
解不等式
f(x)>0
或f(x)<
0的步骤
求方程f(x)=0的解
有两个不等的实数解x1,x2
有两个相等的实数解x1=x2
没有实数解
画函数y=f(x)的示意图
得不
等式
的解
集
f(x)>0
{x|x 或x>x2} {x|x≠-} R f(x)<0 {x|x1 ∅ ∅ 3.基本不等式的变形与拓展 1. (1)若,则; (2)若,则(当且仅当时取“=”). 2. (1)若,则; (2)若,则(当且仅当时取“=”); (3)若,则(当且仅当时取“=”). 3.若,则(当且仅当时取“=”);若,则(当且仅当时取“=”);若,则,即或(当且仅当时取“=”). 4.若,则(当且仅当时取“=”);若,则,即或(当且仅当时取“=”). 5.一个重要的不等式链: . 第三章函数的概念与性质 3.1函数与映射的相关概念 函数 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 对应关系 按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 名称 称f: A→B为从集合A到集合B的一个函数 记法 y=f(x),x∈A 注意: 判断一个对应关系是否是函数关系,就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点. (2)函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. (3)构成函数的三要素: 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种: 解析法、列表法、图象法. 解析法: 一般情况下,必须注明函数的定义域; 列表法: 选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征; 图象法: 注意定义域对图象的影响. 3.2函数的三要素 (1).函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,常见基本初等函数定义域的要求为: (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y=x0的定义域是{x|x≠0}. (2).函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式,对于不是y=f(x)的形式,可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时,一定要注意函数定义域的变化,特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式,不注明定义域往往导致错误. (3).函数的值域: 函数的值域就是函数值构成的集合,掌握以下四种常见初等函数的值域: (1)一次函数y=kx+b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞,0)∪(0,+∞). (3)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数且a≠0), 当a>0时,二次函数的值域为;当a<0时,二次函数的值域为. 求二次函数的值域时,应掌握配方法: . 3.3函数的单调性 单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1 当x1 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 单调区间的定义: 如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x)的单调区间. 函数的最值 前提 设函数的定义域为,如果存在实数满足 条件 (1)对于任意的,都; (2)存在,使得 (3)对于任意的,都; (4)存在,使得 结论 为最大值 为最小值 注意: (1)函数的值域一定存在,而函数的最值不一定存在; (2)若函数的最值存在,则一定是值域中的元素;若函数的值域是开区间,则函数无最值,若函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值. 函数单调性的常用结论 (1)若均为区间A上的增(减)函数,则也是区间A上的增(减)函数; (2)若,则与的单调性相同;若,则与单调性相反; (3)函数在公共定义域内与,的单调性相反; (4)函数在公共定义域内与的单调性相同; (5)一些重要函数的单调性: ①的单调性: 在和上单调递增,在和上单调递减; ②(,)的单调性: 在和上单调递增,在和上单调递减. 3.4函数的奇偶性 (1).函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是偶函数 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数是奇函数 图象关于原点对称 注意: 由函数奇偶性的定义可知,函数具有奇偶性的一个前提条件是: 对于定义域内的任意一个x,也在定义域内(即定义域关于原点对称). (2).函数奇偶性的几个重要结论 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反. (2),在它们的公共定义域上有下面的结论: 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 (3)若奇函数的定义域包括,则. (4)若函数是偶函数,则. (5)定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. (6)若函数的定义域关于原点对称,则为偶函数,为奇函数,为偶函数. 重难点复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数,偶函数+偶函数=偶函数; ②奇函数奇函数=偶函数,奇函数偶函数=奇函数,偶函数偶函数=偶函数; 3.5幂函数 (1)幂函数的定义: 一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质: ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 3.6函数的应用 1.函数零点的定义 一般地,如果函数在实数处的值等于零,即,则叫做这个函数的零点. 重点强调: 零点不是点,是一个实数; 2.零点存在性定理 如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有,那么函数在区间(a,b)内有零点,即存在,使得,这个c也就是方程的根. 3.二分法 二分法求零点: 对于在区间,上连续不断,且满足·的函数,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精度,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: (1)确定区间,,验证·,给定精度; (2)求区间,的中点; (3)计算: ①若=,则就是函数的零点; ②若·<,则令=(此时零点); ③若·<,则令=(此时零点); (4)判断是否达到精度; 即若,则得到零点零点值(或);否则重复步骤2~4. 注意: 二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点. 第四章指数函数与对数函数 4.1指数与指数函数 (1)根式 概念: 叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.性质: ()n=a(a使有意义); 当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|= (2)分数指数幂 规定: 正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. 有理指数幂的运算性质: aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q. (3)指数函数及其性质 概念: 函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,x是自变量,函数的定义域是R,a是底数. 指数函数的图象与性质 a>1
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