西北工业大学矩阵论课件PPT第一章例题矩阵的相似变换.ppt
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例,求下列矩阵的特征值与特征向量:
1),第一章矩阵的相似变换,1基本概念,解,A的特征值为,对于,求解,由于,同解方程组为,基础解系为,故对应,的所有特征向量为,对于,求解,由于,同解方程组为,特征向量为,对于,求解,由于,同解方程组为,特征向量为,2),解,A的特征值为,求解,由于,基础解系为,对应,的所有特征向量为,不全为0),同解方程组为,3),解,A的特征值为,对于,求解,由于,同解方程组为,基础解系为,对应,的全部特征向量为,对于,求解,由于,同解方程组为,即对应,有3个线性无关的特征向量,全部特征向量为,不全为0),例,下列矩阵是否可对角化?
若可以,试求出,相似变换矩阵和相应的对角矩阵:
1),解,A的特征值为,因为A的特征值互异,,所以A可对角化。
又对应的特征向量分别为,可求得,2相似对角化,故相似变换阵,使得,2),解,所以A的特征值为,对应三重特征值2有两个线性无关的特征向量,故A不可对角化。
可求得,3),解,对应三重特征值2有三个线性无关的特征向量,故A可对角化。
又对应,的特征向量为,故相似变换阵,可求得,所以A的特征值为,使得,例,试求,解,其中,于是,已知,可求得,例,解,求解一阶线性常系数微分方程组,令,则微分方程组可写成矩阵形式,可求得,使得,令,其中,注意到,代人前一式得,即,写成分量形式为,解之得,故得,任意),例,解,所以A的特征值为,又对应,有2个线性无关的特征向量,求下列矩阵的Jordan标准形:
1),可求得,3Jordan标准形介绍,故A的Jordan标准形为,(或,2),解,所以A的特征值为,可求得,故A的Jordan标准形为,(或,又对应,只有一个线性无关的特征向量,上述方法的缺点是,,当A的某个特征值的重数为,4或大于4时,,其对应的Jordan块可能无法确定。
例,解,求,的Jordan标准形。
注,可求得,且,此时A对应5重特征值1有3个线性无关的特征向量,,直接按特征向量法无法确定A的Jordan标准形。
设,则,可求得,且,所以A1和A2的Jordan标准形分别为,且,故A的Jordan标准形为,求用,所得的商式和余式。
除,例,已知多项式,解,可求得,故以g()除f()所得的商式为,余式为,例,解,用初等变换化为Smith,求下列矩阵的Jordan标准形:
1),第一步:
对,标准形:
从而A的不变因子为,第二步:
(此处是,和,分解成关于的不同的,一次因式方幂的乘积,,本题中A的初等因子为,和,再把A的每个次数大于零的不变因子,并分别写出这些方幂,(相同的按出现的次数计数),,称之为A的初等因子,,第三步:
作出,Jordan块,对每个初等因子,阶,所有初等因子对应的Jordan块构成的Jordan矩阵J,即是A的Jordan标准形。
本题中A的Jordan标准形为,2),解,A的不变因子为,A的初等因子为,A的Jordan标准形为,例,已知一个12阶矩阵的不变因子是,求A的Jordan标准形。
解,A的初等因子为,故A的Jordan标准形为:
例,解,求下列矩阵的Jordan标准形:
1),一阶子式共有9个,,显然,二阶子式共有,个:
所以,又,故,从而A的不变因子为,A的初等因子为,A的Jordan标准形为,2),解,其中三阶子式,故,从而,又有,所以,A的不变因子为,A的初等因子为,A的Jordan标准形为,3),解,中有一个5阶子式,所以,又,A的不变因子为,A的初等因子为,A的Jordan标准形为,例,解,中3阶子式,求矩阵,的Jordan标准形。
因为,整除所有3阶子式,且,所以,A的不变因子为,故A的Jordan标准形为,例,的Jordan标准形J及所用的相似变换阵P。
解,求矩阵,已求得A的Jordan标准形为,设,即按列分块,,则由,即,得,即,也即,由上式可见,,分别是特征值1和3对应的,可利用已求出的,求解非齐次方程组,而,特征向量,,而,作为右端项,,得到,,又可,由求解非齐次方程组,得到。
可求得特征值1对应的特征向量为,取,求解,由于,同解方程组为,令,得,再求解,由于,同解方程组为,令,得,取,为对应特征值3的特征向量,故相似变换阵,使得,是特征值1的广义特征向量。
注,称,它们不是唯一的。
例,的Jordan标准形和所用的相似变换阵。
解,求矩阵,A的特征值为,求解,由于,同解方程组为,基础解系为,从而A的Jordan标准形为,若设,使得,则有,可见,应取对应特征值,的两个线性无关,的特征向量。
(注,为得到,求解方程组,即,这是矛盾方程组。
),若取,处理方法如下:
取定,又令,只要,则,也是对应,选择其中的系数,使,的特征向量,,满足两点:
(1)与,
(2)使方程组,由于,线性无关;,有解。
可见,,方程组有解。
则,它与,又同解方程组为,时,,取,线性无关。
当,令,得,故相似变换阵,使,当一个重特征值对应2个及2个以上的Jordan,注,块时,,经常要作这样的处理,,应加以注意。
例,的n个特征值为,证明,证,取行列式即得。
设,根据Jordan标准形理论,,存在n阶可逆阵P使,(其中*代表0或1),例,求,已知,解,其中,可求得,故,例,解,其中,求解微分方程组,首先化为矩阵形式,可求得,其中,令,其中,代入方程得,即,写成分量形式为,由第1,3个方程解得,这是一阶线性微分方程,,故,任意),代入第2个方程得,其解为,例,求,2),已知,1),解,1),用带余除法,4Hamilton-Cayley定理,设,用,可得,由于,所以,除,其中,A的特征多项式为,2),需求出,注意,满足,又对(*)式求导得,解得,用待定系数法,设,(*),(*),将,代入(*)式和上式并利用(*)式得,故,例,试将,表为A的二次多项式。
解,A的特征多项式为,令,设3阶方阵A的特征值为1,1,2,,将,依次代入上式得,解得,因此,例,解,A的特征多项式为,的因式有,由性质2,,试求下列矩阵的最小多项式,1),只需验证第4个因式。
可知,故,2),解,B的特征多项式为,所以,的因式为,因为,故B的最小多项式为,例,解,求下列矩阵的最小多项式,1),2),解,所以A的特征值为,对应,有两个线性无关的特征向量,从而A的Jordan标准形为,故,因为,例,求下列矩阵的最小多项式,1),解,但,中右上角的,阶子式,故,从而,2),解,但在,中1,3行、1,2列的二阶子式,所以,从而,这一方法的缺点是,,可能比较麻烦。
求,例,求,和,解,已知,5酉(正交)相似下的标准形,例,解,所以,已知向量,试将其单位化。
因为,例,解,试把向量组,正交化。
则,是正交向量组。
例,解,所以A不是酉矩阵。
法2,矩阵,是否酉矩阵?
若不是,,试利用其列向量构造一个酉矩阵。
法1,因为,设,因为,所以A不是酉矩阵。
利用Gram-Schmidt正交化过程构造正交向量组,单位化得,故,是一个酉矩阵。
例,解,即A是实反对称阵,,所以A,又因为,所以A的特征值为,可求得对应的特征向量为,矩阵,是否正规矩阵?
若是,,试将其酉相似对角化。
因为,是正规矩阵。
它们已正交;,故酉矩阵,使,单位化得,例,求正交阵Q,使,解,A的特征值为,对应,的特征向量为,单位化得,对应,的特征向量为,已知实对称阵,为对角阵。
它们已正交,,对应于,的特征向量为,单位化得,故正交矩阵,使,单位化得,
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