等差等比数列练习题含答案以与基础知识点.docx

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等差等比数列练习题含答案以与基础知识点

、等差等比数列基础知识点

（一）知识归纳：

1．概念与公式：

1等差数列：

1°.定义：

若数列{an}满足an1and（常数）,则{an}称等差数列；

2

2°.通项公式：

ana1（n1）dak（nk）d;

2．简单性质：

a

1°.若{an}是等差数列，则a1ana2n1a3an2;

a

2°.若{an}是等比数列，则a1ana2n1a3an2.②中项及性质：

ab

1°.设a，A，b成等差数列，则A称a、b的等差中项，且A;

2

2°.设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且Gab.

③设p、q、r、s为正整数，且pqrs,

1°.若{an}是等差数列，则apaqaras;

2°.若{an}是等比数列，则apaqaras;

④顺次n项和性质：

n

2n

3n

则

ak

ak,

ak,

ak

组成公差为

k1

kn1

k2n1

n

2n

3n

则

a

k,ak

ak

组成公差为

k1

kn1

k2n1

1°.若{an}是公差为d的等差数列，

2°.若{an}是公差为q的等比数列，

nd的等差数列；

qn的等比数列.（注意：

当q=－1，n为

偶数时这个结论不成立）

⑤若{an}是等比数列，

a,aan

2n2n12n2a3n组成公比这qn2的等比数列

⑥若{an}是公差为d的等差数列

1°.若n为奇数，则Snna中且S奇S偶a中（注:

a中指中项,即a中an1,而S奇、S偶指所有奇数项、所有偶

2

数项的和）；nd2°.若n为偶数，则S偶S奇.

2

（二）学习要点：

[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，

22

c

[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：

根据“中项”性质、根据“定义”判断，

①

（Ⅱ）等比数列的项数n为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为

a5a14d

数列{akn}的公比q3,

a1a1

n1

n1

a1

（kn1）d

2d（kn

1）d

得kn23n11,

n

ak而a

k

（ad）（ad32）a2

2

（a4）（ad）（ad）

3d232d640,d8

d232d32a0

2

2

8a16d

8,得a10或26,

a1q242

（1）

求数列{kn}的前n项和.

2

[解析]a1,a5,a17成等比数列,a5a1a17,

2

（a14d）a1（a116d）d（a12d）0

d0,a12d,

39

2

原三数为2,10,50或,26,338

10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数

999（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为

[解析]设此四数为a15,a5,a5,a15（a15）

（a152）（a5）2（a5）2（a15）2（2m）2（mN）

22

4a5004m（ma）（ma）125,

1251125525,

ma与ma均为正整数,且mama,

ma1ma2

ma125ma25

解得a62或a12（不合）,所求四数为47，57，67，77

[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.

、等差等比数列练习题

选择题

的前n项和为

n（3n13）

n

（B）35

（A）

2

12、下列命题中是真命题的是

A．数列an是等差数列的充要条件是

3n10n3

C）

2

anpnq（p0）

3n110n3

B．已知一个数列

an的前n项和为Snan2bna,如果此数列是等差数列

那么此数列也是等比数列

C．数列an是等比数列的充要条件

anabn1

D．如果一个数列

an的前n项和Snabnc（a0,b0,b1）,则此数列是等比数列的充要条件是

二、填空题

13、各项都是正数的等比数列

an，公比q1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q=

14、已知等差数列

，公差d0,a1,a5,a17成等比数列，则

a5a17

a

2a618

n,则an

15、已知数列an满足Sn1a

4

则插入的这两个数的等比中项为

16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，二、解答题

17、已知数列

an是公差d不为零的等差数列，数列

abn是公比为q的等比数列，

b11,b210,b3

46

，求公比q及bn。

a33b3,a55b5,求an,bn。

18、已知等差数列an的公差与等比数列bn的公比相等，且都等于d（d0,d1）,a1b1

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为

216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数

20

20、已知an为等比数列，a32,a2a4，求an的通项式

3

Ⅰ）求

an的通项公式；

Ⅱ）等差数列

bn的各项为正，其前n项和为Tn，且T315，又a1b1,a2b2,a3b3成等比数列，求Tn

22、已知数列an满足a11,an12an1（nN*）.

（I）求数列an的通项公式；

（II）若数列bn满足4b11.4b21...4bn1（an1）bn（nN），证明：

bn是等差数列；

数列综合题

、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

答案

B

D

C

A

A

A

C

A

D

D

D

D

、填空题

26

14.

29

15

13.

2

三、解答题

41n

15.（）

33

16.63

由{abn}为等比数例，得（a1+9d）

17.ab1=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d

2

=a1（a1+45d）得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d.

∴q=4又由{abn}是{an}中的第bna

项，及abn=ab1·4n-1

=3d·4n-1,a1+（bn-1）d=3d·4n-1

2a1（1-3d2）=-2da1（1-5d4）=-4d

∴bn=3·4n-1-2

2

18.∴a3=3b3,a1+2d=3a1d

a5=5b5,a1+4d=5a1d4,

①②,得15d

13d

4

2

=2，∴d2=1

2

或d2

=1,由题意，

5

d=

5n-1

a1=-5。

∴an=a1+（n-1）d=（n-6）bn=a1dn-1=-5·（5）n-1

555

19.设这四个数为

a

a,aq,2aqaq

a

·aaq216

则q

aaq（3aqa）36

由①，得

a3=216,a=6③

③代入②，得3aq=36,q=2

∴这四个数为3，6，12，18

20.解:

设等比数列

{an}的公比为q,

则q≠0,a2=a3=

2

a4=a3q=2q

q

q

所以

2

20

1

q+2q=3

解得q1=3,q2

=3,

1

1n－1

18

3－n

当q1=

a=18.所以

a=18×（）=

n－1=2

×3.

3

3

3

2

当q=3时,a1=,

所以an=2×3n－

1=2×3n

－3.

99

21.解：

（I）由an1

2Sn1可得an

2Sn1

1n2

，

两式相减得

a

n1an

2an,an13an

n2

又a22S

113∴a2

3a1

故an是首项为1，公比为3得等比数列

∴an3n1

（Ⅱ）设bn的公差为d

由T315得，可得b1b2b315，可得b25故可设b15d,b35d

又a11,a23,a39

2

由题意可得5d15d953

解得d12,d210

∵等差数列bn的各项为正，∴d0

∴d2

nn12

∴Tn3n2n2n

2

a

22（I）：

n12an（1n,）N*

an112（an1）,

an1是以a112为首项，2为公比的等比数列。

an12n.

221（nN*）.

II）证法一：

4b114b21...4bn1（an1）bn

4（b1b2...bn）n

nbn

2[（b1b2...bn）n]nbn,

）

2[（b1b2...bnbn1（n1）]（n1）bn1.

②－①，得2（bn11）（n1）bn1nbn,

即（n1）bn1nbn20,

nbn2