广东省湛江市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题..pdf

广东省湛江市第一中学2024届高三上学期开学考试数学试题..pdf

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广东省湛江市第一中学广东省湛江市第一中学20242024届高三上学期开学考试数学届高三上学期开学考试数学试题试题学校:

_姓名：

_班级：

_考号：

_一、单选题一、单选题1已知集合121,20xMxeNxxx-=-的焦点为F，准线为l，点（）（）00,10Pxx在抛物线C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若POPQ=（O为坐标原点），则0x=（）A22B3C32D4试卷第11页，共33页7已知q为钝角，2cos2sin2cosqqq-=，则tan3q的值为（）A43-B-2C83-D211-8已知函数（）2sin（0）3fxxww=+且满足236fxfx-=-，则w的最小值为（）A23B12C1D2二、多选题二、多选题9一组数据：

0，1，5，6，7，11，12，则（）A这组数据的平均数为6B这组数据的方差为16C这组数据的极差为11D这组数据的第70百分位数为710已知函数2（）lnfxxxxx=-，则（）A（）fx有两个极值点B（）fx有两个零点C（）0fx恒成立D（）0fx恒成立11已知圆22:

（3）

（1）1Cxy-+-=与圆222:

（）

（2）（,0）Mxmymrmr-+-=R相交于,AB两点，则（）A圆C的圆心坐标为（）3,1B当2r=时，25251155m-的左，右焦点分别为1F，2F，右支上有一点M，满足1290FMF=，12FMF的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为四、解答题四、解答题17在ABCV中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知3cos2A=.

（1）若3b=，2c=，求a的值；

（2）若223abc=-，求角B，C的大小.18已知数列na满足11a=，1113nnaan+=+

（1）求数列na的通项公式；

（2）求数列na的前n项和nS19如图，直三棱柱111ABCABC-中，平面1ABC平面11ABBA.

（1）证明：

ABBC；

（2）若12,AAACBCE=为1BB上一点，且13BEEB=，求二面角1EACB-的余弦值.202023年的高考已经结束，考试前一周，某高中进行了一场关于高三学生课余学习时间的调查问卷，现从高三12个班级每个班随机抽取10名同学进行问卷，统计数据试卷第41页，共33页如下表：

课余学习时间超过两小时课余学习时间不超过两小时200名以前4010x+200名以后310x-40

（1）求x的值；

（2）依据上表，根据小概率值0.001a=的独立性检验，分析学生成绩与课余学习超过两个小时是否有关系；（3）学校在成绩200名以前的学生中，采用分层抽样，按课余学习时间是否超过两小时抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中课余学习时间超过两小时的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.附：

参考公式：

（）（）（）（）22（）nadbcabcdacbdc-=+，其中nabcd=+.a0.100.050.0100.0050.001ax2.7063.8416.6357.87910.82821已知椭圆2222:

1（0）xyEabab+=的右焦点为F，上顶点为B，2BF=，离心率为12

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线（）:

20lyxmm=-与椭圆E相交于,AC两点，且点（）0,Nm，当ACN的面积最大时，求直线l的方程22已知函数（）1elnxfxx-=-试卷第51页，共33页

（1）求函数（）fx的最小值；

（2）求证：

（）（）1ee1lne02xxfxxx+-+试卷第61页，共33页参考答案：

参考答案：

1C【分析】根据指数函数的性质解出集合M，再由二次不等式的解法求出集合N，最后求并集即可.【详解】由11xe-得10xee-，函数xye=在R上单调递增，则10x-，即1Mxx=，又由220xx-得02x，即02Mxx=.故选：

C.2A【分析】利用复数的除法运算法则求出复数，再利用复数模的公式求解即可.【详解】（）（）（）（）2i12i2i5i1111i12i12i12i5z-+-+=+=+=+=+-，则2z=.故选：

A.3A【分析】根据图象及其性质，即可得出1122ADABAC=+uuuruuuruuur，1122BACADB=-uuuruuuruuur，进而根据1122BMBABD=+uuuuruuuruuur，即可求出,mn的值，即可得出答案.【详解】答案第11页，共22页因为D是BC的中点，所以1122ADABAC=+uuuruuuruuur，（）21122112CBCAABCABDBA-=-uuuruuuuuruuuuuurruuruur.又因为M是AD的中点，所以，1122BMBABD=+uuuuruuuruuur（）1124ABACAB=-+-uuuruuuruuur3144ABAC=-+uuuruuur，又BMmABnAC=+uuuuruuuruuur，所以34m=-，14n=，所以12mn+=-故选：

A4A【分析】利用复合函数的单调性求函数的增区间.【详解】函数（）2313xxfx-+=定义域为R，令231,3uuxxy=-+=，又3uy=在R上单调递增，231uxx=-+的增区间为3,2+，所以（）fx的增区间为3,2+.故选：

A.5D【分析】设等差数列na的公差为,d利用基本量代换求出（）（）19941494aaSSaa+=+，进而求解.【详解】设等差数列na的公差为（）,0dd.4512aa=，（）4412aad=+，解得：

4ad=，52ad=4132aadd=-=-，14aad+=-答案第21页，共22页（）（）（）199541414929499444aaSadSaaaad+=-+-故选：

D6A【分析】由抛物线的定义结合POPQ=可求得p的值，将点（）（）00,10Pxx代入方程即可求解.【详解】因为POPQPF=，所以122p=，即4p=，28xy=，2081x=，又00x，022x=.故选：

A.7D【分析】根据二倍角的余弦公式化简得正余弦关系，再根据同角公式求出正切，再根据二倍角和两角和的正切公式可求出结果.【详解】由2cos2sin2cosqqq-=得22sincossinqqq-=，化简得2cossinsin0qqq-=，则tan2q=-，则22tan4tan2tan2tan2,tan31tan31tan2tan11qqqqqqqq+=-故选：

D8A答案第31页，共22页【分析】由236fxfx-=-可得函数（）fx的图象关于4x=对称，由正弦型函数的对称性列方程求w的最小值.【详解】由已知可得255312126fxfx-=+-，即44fxfx-=+，所以（）fx关于4x=对称，故432kw+=+，Zk，所以243kw=+，又0w，所以0k=时，w取最小值为23故选：

A9AD【分析】由已知的这组数据，利用公式分别计算平均数、方差、极差、第70百分位数即可.【详解】对A，这组数据的平均数为：

（）101567111267+=，故A选项正确；对B，这组数据的方差为：

（）22222221124651015677+=，故B选项错误；对C，这组数据的极差为：

12012-=，故C选项错误；对D，由770%4.9=，则第70百分位数是第5个数7，故D选项正确.答案第41页，共22页故选：

AD.10AD【分析】求函数（）fx的导函数（）fx，设（）（）gxfx=，利用导数研究（）gx的单调性，最值，判断C，再确定（）fx的极值判断A，利用证明（）1ln0hxxx=-由此判断BD.【详解】函数2（）lnfxxxxx=-的定义域为（）0,+，（）21ln12ln2fxxxxx=-=-，设（）（）2ln2gxfxxx=-，则（）1212xgxxx=-=-，当102x时，（）0gx时，（）0gx，函数（）gx，即（）fx在1,2+上单调递增，又11ln2202f=+-，所以存在0211,e2x，使得（）00fx=，又（）10f=，所以当00xx，函数（）fx在（）00,x上单调递增，当01xx时，（）00fx，函数（）fx在（）0,1x上单调递减，当1x，函数（）fx在（）1,+上单调递增，所以当0xx=时，函数（）fx取极大值，当1x=时，函数（）fx取极小值，所以函数（）fx有两个极值点，故A正确；答案第51页，共22页设（）1lnhxxx=-，则（）111xhxxx-=-=，当01x时，（）0hx时，（）0hx，函数（）hx在（）1,+上单调递增，又（）10h=，所以当0x时，1ln0xx-，当且仅当1x=时取等号，所以当0x时，（）2（）ln1ln0fxxxxxxxx=-=-，当且仅当1x=时取等号，所以函数（）fx只有一个零点，（）0fx恒成立，B错误；D正确；故选：

AD11ABD【分析】由方程得出圆心坐标；由两圆的位置关系得出m的范围；由勾股定理结合距离公式判断C；由AB为圆C的直径，结合二次函数的性质判断D.【详解】由圆C的方程可知圆C的圆心坐标为（）3,1，即A正确；当2r=时，圆22:

（）

（2）4Mxmym-+-=，22（3）（21）MCmm=-+-，所以有221（3）（21）3mm-+-，即21510109mm-+，解得25251155m-，当2a时，222ln22ln（）axxxxgxxx-=，2222222022（）xxgxxxx-+=+-=，故（）

（1）0gxg=符合题意，当2a时，

（1）20ha=-，（）1,m$+，在（1,）m上，（）0hx，根据小概率值0.001a=的独立性检验，我们认为学生课余学习时间超过两小时跟学生成绩有关，此推断犯错误概率不大于0.001.（3）这6人中课余学习时间超过两小时的人数为40644020=+，课余学习时间不超过两小时的人数为2，则X的取值为1,2,3，有（）124236CC11C5PX=，（）214236CC32C5PX=，（）3436C13C5PX=，所以X的分布列为：

X123P153515数学期望（）1311232555EX=+=.21

（1）22143xy+=

（2）142yx=+或142yx=-答案第151页，共22页【分析】

（1）根据题意，结合椭圆的几何性质，求得,ab的值，即可求得椭圆的方程；

（2）联立方程组，根据0，得到m的范围，由点到直线的距离公式和弦长公式，分别求得322dm=，24221127ACm=-，得到（）22337447ACNSmm=-V，结合基本不等式，即可求解.【详解】

（1）解：

由题意，可得2BFa=，且1e2ca=，所以1c=，则2223bac=-=，所以椭圆E的方程为22143xy+=.

（2）解：

由直线l的方程为2yxm=-，则点（）0,Nm到直线l的距离为322dm=，联立方程组221432xyyxm+=-，整理可得2271616120xmxm-+-=，由判别式（）222564716120mm=-，解得77,00,22m-，设（）（）1122,AxyCxy，则21212161612,77mmxxxx-+=，可得（）（）（）（）22221212121222ACxxyyxxxmxm=-+-=-+-+（）（）22121212224xxxxxx=-=+-（）2224161225642221124977mmm-=-=-，所以211423221122272ACNSACdmm=-V答案第161页，共22页（）22223333744337447722mmmm-+=-=，当且仅当1477,00,422m=-时，等号成立，所以所求直线的方程为142yx=+或142yx=-22

（1）1

（2）证明见解析【分析】

（1）对（）fx求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得函数的最小值；

（2）分析要证（）（）1ee1lne02xxfxxx+-+，只需证（）11eln02xxx-+，令（）1（）1eln2xgxxx=-+，利用导数求得min（）0gx即可.【详解】

（1）（）1elnxfxx-=-Q，（）11exfxx-=-，设（）（）11211e,e0,xxxxxxmm-=-+=（）xm在（）0,+上为单调递增函数，答案第171页，共22页（）（）10,10fm=，当（）0,1x时，（）0fx，（）fx在（0,1）上单调递减；在（1,）+上单调递增，则（）min（）11fxf=；

（2）证明：

（）（）1ee1lne02xxfxxx+-+，只需证（）（）11eelne1lne02xxxxxx-+-+，即（）11eln02xxx-+，令（）（）11eln2xgxxx=-+，则（）1e（0）xgxxxx=-，当0x时，令（）（）1exhxgxxx=-，则（）（）（）211e0,xhxxhxx=+在（）0,+上单调递增，即（）1exgxxx=-在（）0,+上为增函数，又因为222333223227ee0,

（1）e1033238gg=-=-，所以存在02,13x，使得（）00gx=，由（）00200000e11e0xxxgxxxx-=-=，得020e1xx=，即0201xex=，即002lnxx-=，答案第181页，共22页所以当（）00,xx时，（）（）1e0,xgxxgxx=-单调递增，所以（）（）03200000min000220012211（）1eln2222xxxxxxgxgxxxxx-+-=-+=+=，令（）3222213xxxxxj=+-，所以（）xj在2,13上单调递增，所以（）0220327xjj=，所以（）（）（）002002xgxgxxj=，所以（）11eln02xxx-+，即（）（）1ee1lne02xxfxxx+-+答案第191页，共22页