2023考研数学二真题试卷+答案(超清版)..pdf
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2023年全国硕士研究生入学统一考试数学
(二)试题及答案考试时间:
180分钟,满分:
150分一、选择题:
110小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
(1)曲线y=xln(e+一)的斜渐近线方程维()x-111(A)y=x+e(B)y=x+(C)y=x(D)y=xee【答案】BI,x0
(2)设,()=/Jl+f的一个原函数为()(x+l)cosx,X0(A)b(x)=ln(Jl+x2-x),x-(B)77(%)=hn(Vl+2-X)+1,xWO(x+l)cosx-sinx,x0(x+l)cosx-sinx,x0ln(Jl+%2+%)+1,%0【答案】D已知%,尤满足玉=y=;,z+=sinx“,/+=、;(=1,2,),则当一g时()(A)X”是匕的高阶无穷小(B)V”是尤的高阶无穷小(C)当与匕是等价无穷小(D)%与匕是同阶但不等价的无穷小【答案】B(4)若微分方程+即+勿=0的解在(-8,+8)上有界,贝IJ()(A)a0(B)aO,bQ(C)a=0,b0(D)a=0,b0【答案】cx=21+W(5)设函数歹=/(工)由.确定,则()=|f|sinf”尸/、ln(Vl+2+x),x0.、(C)F(x)=(D)F(x)=01/5(A)/(x)连续,/彳0)不存在(O/()连续,/(o)不存在【答案】C(B)/(O)存在,/(x)在x=0处不连续(D)/”(0)存在,/(x)在x=0处不连续若函数/r+斗o司1而7dx在a=%处取得最小值,则/_)(A)-!
(B)-ln(ln2)(O工ln(ln2)In2(D)In2【答案】A(7)设函数/(x)=(x2+a)eX,若八x)没有极值点,但曲线y=/(x)有拐点,则a的取值范围是()(A)0,1)(B)l,+o)(C)1,2)(D)2,+8)【答案】c(A(8)设4,8为阶可逆矩阵,*为矩阵的伴随矩阵,则、。
B)=()(A)1。
-87*、配*/(B)BA*_/*、。
此(C)配1-Bl*、耶*;(D)14忸*-A*B、0四*/【答案】B(9)二次型/(X15X2,X3)=(X+x2)2+(X+x3)2-4(x2一13)2的规范形为()(A)M2+%2(B)凹2一%(C)%2+%24为2(D)必2+%2_必2【答案】B(io)已知向量a=0、2/%=,2、14=52门、0若y既可由,为线性表示,也93可由片,夕2线性表示,则/=()2/5,3、(A)k3,kwR4(C)k1,kwRJ,【答案】D3、(B)k5,k&RJO,川(D)k5,k&R二、填空题:
1116小题,每小题5分,共30分,请将答案写在答题纸指定位置上.(11)当X0时,函数/3=内+笈2+111(1+)与80)=1-858是等价无穷小,则ab=_【答案】2(12)曲线夕=厂了力的弧长为________JV3【答案】&t兀3(13)设函数z=z(x,y)由e:
+xz=2xy确定,则【答案】一士32(14)曲线3x3=艮+2/在x=1对应点处的法线斜率为【答案】-弓(213(15)设连续函数/(x)满足:
“X+2)-f(x)=x,f(x)dx=0,则f(x)dx=【答案】-2axx+x3=1苞+华+右=oa01(16)已知线性方程组-八有解,其中。
口为常数,若1a1=4,%+2X2+ax3=012aax+bx2=21a1贝|J12a=ab0【答案】83/5三、解答题:
1722小题,共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线L:
y=y(x)(xe)经过点(e?
。
),L上任一点P(x,y)到歹轴的距离等于该点处的切线在)轴上的截距
(1)求一(X);
(2)在L上求一点,使得该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小。
并求此最小面积211【答案】
(1)Mx)=x(2-lnx)
(2)(e2,je2),最小面积是e?
(18)(本题满分12分)X2求函数/(xJ)=xeC03y+的极值【答案】极小值为/(一6版)=;e2(其中人为偶数)(19)(本题满分12分)已知平面区域。
=(羽y)0WJ=,xxVl+x2
(1)求。
的面积
(2)求。
绕x轴旋转所成旋转体的体积【答案】
(1)S=ln(l+V2)
(2)V=7U-4(20)(本题满分12分)设平面有界区域。
位于第一象限,由曲线/+_/_孙=,2+卜2一个=2与直线y=Jix,y=0围成,计叫高尸山4/5zrln2储案】病(21)(本题满分12分)设函数/(x)在-4,0上具有2阶连续导数,证明:
(1)若/(0)=0,则存在上(QM),使得/!
+八0a
(2)若/(X)在(一。
编内取得极值,则存在(-4,4),使得|广()性白一一叫【答案】
(1)利用泰勒公式在x=0处展开,再利用介值性定理;
(2)利用泰勒公式在极值点处展开,再利用基本不等式进行放缩;(22)(本题满分12分)5、设矩阵A满足对任意玉,乙,&均有4%2kX3%1+X2+X32xj-x2+x3IX2X3)
(1)求力
(2)求可逆矩阵。
与对角矩阵A,使得尸7/P=A【答案】
(1)A=1201-111-1、74
(2)P=3,10-11-102、2XP-AP=A=-2T,5/5
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