高等流体力学及课后习题解答.pdf
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高高等等流流体体力力学学高高等等流流体体力力学学11教科书教科书高等工程流体力学,张鸣远、景思睿、李国君编著,西安交通大学出版社,2006年7月,西安。
参考书参考书FundamentalMechanicsofFluids,I.G.Curries,3rdEdition,MarcelDekker,Inc.,2003,NewYork流体力学,吴望一编著,北京大学出版社,1995,北京。
流体力学,周光炯等编著,高教出版社,2002,北京课后作业课后作业每章后布置,提供答案考核考核期末考试(考试、考查)答疑时间答疑时间2笛卡尔张量笛卡尔张量3112233xyzaaiajakaeaeae=+=+?
(1)指标表示法和符号约定)指标表示法和符号约定x、y、z分别计作x1、x2、x3,ax、ay、az分别计作a1、a2、a3,分别计作123,eee?
ijk?
指标表示法指标表示法直角坐标的3个方向记做1、2、3,4112233iiababababab=+=?
112233iiaeaeaeaea=+=?
222123iiaaaaaa=+=?
求和约定求和约定在同一项中如有两个指标相同时,就表示对该指标从1到3求和,
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定25例题1.例题1.展开下列求和式,解解:
112233111112211331211222222332311332233333
(1)jkkjkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=+=+
(1)
(2)jkkjiijjaatn=;
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定111112213322112222333311322333
(2)tnnntnnntnnn=+=+=+6在方程同一项中重复出现的指标称为哑指标,哑指标在作求和运算后就消失了,因此改变哑指标的字母不改变表达式的内容。
自由指标和哑指标自由指标和哑指标
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定iijjijikkjijkktnabcde=+在方程同一项中只出现一次的指标称自由指标,在同一方程的所有项中出现的自由指标必须相同。
为避免混淆,同一项中相同指标出现的次数不能多于2。
iijjiikktntn=7=10ijjiji=克罗内克尔(Kronecker)符号克罗内克尔(Kronecker)符号
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定8与相乘,相当于把的下标j置换为i。
ij符号具有以下重要性质:
jiij=ijijaa=12213113,=111112213312233,jjjjjjaaaaaaaaa=+=克罗内克尔(Kronecker)符号克罗内克尔(Kronecker)符号
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定ijjaja39ij符号具有以下重要性质:
3=iiikjkij=3=iiijij1122333ii=+=克罗内克尔(Kronecker)符号克罗内克尔(Kronecker)符号
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定10ijk置换符号置换符号=110ijki、j、k偶排列,123,231,312i、j、k中有两个以上指标相同时i,j,k奇排列,213,321,132
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定11ksjtktjsistijk=ktijtijk2=32ijkijtjjktjtkjktktkt=62=kkijkijk0=ijijk有以下重要性质:
ijkijk置换符号置换符号
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定12jiijee?
=用指标表示法表示矢量运算用指标表示法表示矢量运算kijkjieee?
=12312332132133,eeeeeeee=?
()kjiijkeee?
=1231112313211132()1,()()1eeeeeeeeee=?
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定123413()()()()()()11232313232223131213133312123212112313232231133122112312312iijjijijijkijkkijijkijkjkiabaebeeeababeabeabeeababeababeababeababeababeababeeeaaabb=+=+=?
3b0=aaaakjijk?
()()()iiijjijijijjiibabaeebaebeaba=?
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定两个矢量相乘(点乘或叉乘),它们的下标应取不同的字母(下标相同则就表示求和,与题意不符)。
用指标表示法表示矢量运算用指标表示法表示矢量运算,iiiaaae?
一个矢量可写为也可写作。
14()()()()ijkijkllijkijlklabcabeceabcee=?
321321321cccbbbaaacbacbakjiijkklljiijk=
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定用指标表示法表示矢量运算用指标表示法表示矢量运算15例题2例题2.已知,求:
(1)
(2)(3)vwvwvv?
;12(4)(5)(6),evevrvrxiyjzk=+?
;25,3vijkwijk=+=+?
4151231332211=+=wvwvwvwvwvii?
125(2115)(3511)(1123)3113167ijkvwijkijk=+=?
解解
(1)
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定是位置矢量。
123123123eeeabaaabbb=?
(2)1622211223312530iivvvvvvvvvv=+=+=?
11111=vvevevejjjj?
1)52(1=+=kjiive?
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定()()()()()()1232313232123131213132312123212132332311312213167ijkjkivwvwevwvwevwvwevwvwevwvwivwvwjvwvwkijk=+=+=?
253vijkwijk=+=+?
ijkjkiababe=?
(3)(4)5171111123231323225iiiiijjiyzeveveeevevvevevkvjkj=+=+?
jkkijikjiive?
5252)52(1+=+=(52)(5)
(2)125ijkrvxyzyzizxjxyk=+?
kijkjieee?
=
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定253vijwijk=+=+?
(5)(6)18例题3例题3.证明证明证明:
)()()(vuwwuvwvu?
=()()()()()ijkjkijkjklmlmijklmkjlmiljmimjljlmijjijjuvwuvwuvwuvwuvwvuwwuvvuwwuv=?
ijkjkabab=?
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定19哈密顿算子哈密顿算子zkyjxi+=?
利用张量下标表示法哈密顿算子可写为iixe=?
一个具有微分及矢量双重运算的算子
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定20利用哈密顿算子进行运算时,需分别进行微分和矢量两种运算。
iiiixexe=?
)()()iiijijijjijjiixaxaxaeeeaxea=?
梯度散度梯度散度哈密顿算子哈密顿算子
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定621()jjkijjijijkkijkiiiijaaaaeaeeeeexxxx=?
321321112313222312133312321233112321321123233112123123123aaaaaaeeexxxxxxaaaaaaeeexxxxxxeeexxxaaa=+=+=?
jjkijkkkijkijkiiijaaaeeexxx=?
旋度旋度哈密顿算子哈密顿算子
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定22ijijijijijijiieeeexxxxxxxx=?
拉氏算子拉氏算子哈密顿算子哈密顿算子
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定23例题4例题4.分别写出在直角坐标系中的表达式.aa?
kzjyixxeii?
+=222222iixxxyz=+解解:
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定24123123123xyzyyzxzxeeeijkaxxxxyzaaaaaaaaaaaaijkyzzxxy=+?
zayaxaxaazyxii+=?
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定725例题5例题5.是位置矢量,证明:
rxiyjzk=+?
(1)
(2)3(3)0(4)(),rrrrraraa=?
;是常矢量。
证明证明:
rrrxexreriiii?
=222222,.iixrxrxyzxxxrxyz=+=+即
(2).()3jjiijjijijiiiiiixxxrexeeexxxx=?
3=+=zzyyxxr?
rr=?
(1).
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定iiiixx=26()0jjijjijijkkiiiijkkjiiikkxxrexeeeexxxee=?
()()jijjijiiijijiixareaxeaxxeaaea=?
(4).(3).
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定jjiixx=27例题6例题6.证明()0,0as=?
。
()112313222312332312133312321131221ijkiijkikjjkssesexxxssseexxxxxxsssexxxxxx=+?
1223323113312210sssseexxxxxxxxssexxxx=+=?
证明证明:
kijkijaaex=?
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定梯度场是无旋场梯度场是无旋场28112212313223121323323113331212()mijlmjilmmjlmijmjliljlaaeexxaaxxxxaaaaxxxxxxxxaxx=+?
3321211122233231133312210axxaaaaxxxxxxxxaaxxxx=+=
(1)指标表示法和符号约定
(1)指标表示法和符号约定求导时当作常数对待。
ijlmn涡旋场是无源场涡旋场是无源场829标量标量是一维的量,它只需1个数来表示,如温度、密度等。
矢量矢量则不仅有数量的大小,而且有指定的方向,它必需由沿某一空间坐标系的3个坐标轴方向的3个分量来表示,矢量是三维的量。
三维空间中的二阶张量二阶张量是一个9维的量,必须用9个分量才可完整地表示,如应力,变形速率。
三维空间中的n阶张量阶张量由3n个分量组成。
标量和矢量是低阶张量,标量为零阶张量,而矢量为一阶张量。
笛卡尔张量。
(2)笛卡尔张量)笛卡尔张量标量、矢量和张量标量、矢量和张量30二阶张量二阶张量二阶张量有9个分量,二阶张量也可表示为矩阵形式,111213212223313233ijpppppppppp=P标量、矢量和张量标量、矢量和张量
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量张量可以用黑体大写字母表示,也可用它的一个分量表示。
Pijp31张量相等张量相等两个张量相等则各分量一一对应相等。
设,若则ija=Aijb=ABijijba=二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算若两个张量在某一直角坐标系中相等,则它们在任意一个直角坐标系中也相等。
坐标变换
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量32张量加减张量加减设、,则ija=Aijb=Bijijab=AB二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减,只有同阶的张量才能相加减。
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量933两个矢量的并矢定义为也可写成并矢是一个二阶张量。
坐标单位矢量的两两并矢称为并基并基,三维空间的二阶并基共有9个。
并矢运算不服从交换律,iijjaaebbe=?
=332313322212312111bababababababababababaji?
()jijieebaba?
=jiee?
并矢并矢二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量abba?
34二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算张量乘积张量乘积设、,分量相乘,是4阶张量。
ija=Aklb=Bijklijklcab=ijklc可以证明一个m阶张量和一个n阶张量的乘积是m+n阶张量。
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量35张量数乘张量数乘二阶张量乘以标量,,则张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。
A=BAijijab=二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量36设,定义点积为,点积和双点积点积和双点积ijijaee=A?
ijijbee=B?
()()ijijklklijkljkilijjlilaeebeeabeeabee=AB?
二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运算,得到一个新的二阶张量。
1)张量点积张量点积二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量10372)二阶张量与矢量的点积二阶张量与矢量的点积矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。
()iijkjkijkijkiikkaaebeeabeabe=B?
()()ijijkkijkijkijjiabeeaebaebae=B?
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算点积和双点积点积和双点积38()():
ijijklklaeebee=AB?
ijklikjlijijabab=3)二阶张量的双点积二阶张量的双点积二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。
二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算点积和双点积点积和双点积
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量39二阶张量的代数运算二阶张量的代数运算点积和双点积点积和双点积:
ijjliikijjijijabaababaab=ABBBAB?
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量40设是一个二阶张量,则也为一个二阶张量,称为P的共轭张量。
共轭张量共轭张量ijp=Pcjip=P112131122232132333cjipppppppppp=P共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解111213212223313233ijpppppppppp=P
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量1141若二阶张量分量之间满足则称此张量为对称张量,可表示为,一个对称张量,只有6个独立的分量。
ijsijjiss=111213122223132333ijssssssssss=S对称张量对称张量共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量42若二阶张量分量之间满足则称此张量为反对称张量,可表示为一个二阶反对称张量只有3个独立的分量,对角线各元素均为零。
ijaijjiaa=123112233123000ijaaaaaaa=A反对称张量反对称张量共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量43张量分解定理张量分解定理一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和容易验证上式右边第一项是对称张量,第二项是反对称张量。
()()1122c=+cPPPPP共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量44梯度梯度设矢量,则一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。
一般来讲,一个n阶张量的梯度是阶张量。
iieaa?
=()jiijjjiieexaeaxea?
=1+n张量的微分运算张量的微分运算jiaax=?
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量1245一个二阶张量的散度是一个矢量。
一般来讲,一个阶张量的散度是阶张量,散度散度设二阶张量,ijijpee=P?
()jkjkijkjkijkkiijppepeeeexxx=P?
n1n张量的微分运算张量的微分运算jkjpx=P
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量46张量的微分运算张量的微分运算
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量拉氏算子拉氏算子()jjjjiiiiaaaeexxxx=?
张量的积分运算张量的积分运算ljlljlAApndAdnpdAdx=PP?
高斯公式高斯公式47例题7例题7.设,求.解解:
uuivjwk=+?
uu?
()+jijjijiijjjkkijkikjijiiiuueueeexxuuuuuueeeueuexxxuuuvvviuvwjuvwxyzxyzwwwkuvwxyz=+?
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量48()ijjuuuuuux=?
()()()iijiijiijijjjijijjijiijijiuueeueeuuxxxxuuuuueuexxuuuuex=?
()以上结果与相同。
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量1349()()()()()()()0()ijkjkijjkkjkkiijjkkkjkjjijijuueuueeuueuuexxxuuueueuuuuxxubybxxyuuuvvuuuuueiuvjuvxxyxy=+=+=+=+?
222()()()()bybybxbxibybxjbybxxyxybxibyjbr=+=?
例题8.解:
例题8.解:
)ubyibxjbuu=+?
已知其中为常数,求(。
()()jkjuuuux=?
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量50()()()()()()()()()()()()()jiijiijijyxxxzxxxyyyzyypuuugtxxxuuvuwupugtxyzxxyzuvvvwvpvgtxyzyxyzuwvwwwwtxy+=+=+=+)yzxzzzzpgzzxyz=+例题9例题9.写出下述方程在直角坐标系中的表达式是切应力张量(二阶张量)。
解解:
将上述矢量用张量下标表示法写出,()()uuupgt+=+?
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量51例题10例题10.设是对称张量,证明证明:
证明:
()()uuu=?
:
()()()()()jllijijklijikjlijkkikijjiijjikkkijjijjjijiiijkjkjlllkllkljjjjuuuueeeexxxueueuxxuuuxxxuueeuuuxxx=+=?
:
()():
ijiijjijjjijjijiiiixuuuuuuuxxxx=+=?
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量52各向同性张量各向同性张量在连续介质力学中,通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向无关,即介质是各向同性的连续介质。
表示这类力学性质的张量称为各向同性张量,如流体粘性,电导率等。
若一个张量在正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值,经过任一旋转坐标变换后均保持不变,则称此张量为各向同性张量。
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量1453三阶各向同性张量都可写成的形式,其中为一标量常数。
零阶张量(标量)和任意阶零张量都是各向同性张量。
零张量是指全部分量值均为零的张量。
二阶各向同性张量都可写成的形式,其中为一标量常数。
ijijk一阶张量(矢量)除零矢量外,都是各向异性张量。
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量各向同性张量各向同性张量54四阶各向同性张量都可表示为,其中、都是标量常数。
当对i、j两指标对称时,其中和都是标量常数。
对k和l也是对称的。
jkiljlikklijijklH+=()jkiljlikklijijklH+=ijklH
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量各向同性张量各向同性张量ijklijklikjliljkjikljikljkiljlikijkljiklikjljlikHHHH=+=+=55矢量和张量的两种表示法-实体表示法与分量表示法矢量和张量的两种表示法-实体表示法与分量表示法:
;:
;:
iiikkijkiijkjjijijijaaeaaaaexxee?
(2)笛卡尔张量
(2)笛卡尔张量11第一部分流体力学的控制方程第一章流体力学的基本概念第一部分流体力学的控制方程第一章流体力学的基本概念21.1欧拉和拉格朗日参考系欧拉和拉格朗日参考系连续介质假说连续介质假说流体由无穷多的流体质点连续无间隙地组成。
流体质点流体质点流体质点是在流体力学中研究的最小单元。
当讨论流体速度、密度等变量时,实际上是指流体质点的速度和密度。
由确定流体分子组成的流体团。
流体质点的体积在微观上充分大,在宏观上充分小。
3拉格朗日参考系拉格朗日参考系22()()()()rrtxtiytjztkdrudtdradt=+=?
xyz()rrt=?
理论力学描述质点运动,4流体中有无数多流体质点,需加以区别,以t=t0时刻流体质点空间位置的坐标,作为流体质点的标号,0000(,)rxyz?
0000(,)(,)(,)(,)rrrtxrtiyrtjzrtk=+?
物理量,000(,),(,),(,)TTrtrtpprt=?
改变,t不变,表示同一时刻不同流体质点的空间位置或相关变量;t改变,不变,表示同一流体质点的空间位置或相关变量随时间的变化。
0000(,)rxyz?
0000(,)rxyz?
拉格朗日参考系拉格朗日参考系25()()()()()0000000000000102030(,)(,)(,),iiiijrxrtiyrtjzrtkxxxyztyyxyztzzxyztxxxxxtxxxt=+=?
物理量()()()000,jjjppxtxtTTxt=上式括号内的自变量表示,它的指标j并非自由指标,只表示在其取值范围内逐一取值。
0jx010203,xxx张量下标表示法张量下标表示法拉格朗日参考系拉格朗日参考系6(,)(,),(,),(,)uuxyztTTxyztppxyztxyzt=?
欧拉参考系欧拉参考系改变,t不变,表示同一时刻不同空间点上场变量的变化;t改变,不变,表示同一空间点上的场变量随时间的变化。
当采用欧拉参考系时,就定义了空间的场。
(,),(,),(,),(,)(,),(,),(,),(,)iijjjjuurtTTrtpprtrtuuxtTTxtppxtxt=?
或(,)rxyz?
(,)rxyz?
工程现场或实验室测量速度、温度、压强等;气象站测量空气速度、温度、湿度;此时速度、温度、密度、压强等是空间点和时间的函数。
7在欧拉参考系中x,y,z,t是相互间无函数关系的独立变量。
在拉格朗日参考系中x,y,z不再是独立变量,他们都是时间t和的函数,x-x0=u(t-t0)y-y0=v(t-t0)z-z0=w(t-t0)0000(,)rxyz?
欧拉参考系欧拉参考系8流体微团体积变化和雅克比行列式流体微团体积变化和雅克比行列式000000000123(,)rrxyztrrrrxyzxyzrrr=+=+?
0trr?
在时刻伸长为在上述微分中t可视为常数。
000(,)xyz0000(,)xxyz+0r?
000,(,)()xyzzxyr?
2r?
3r?
1r?
t时刻0t时刻r?
oi1rr+?
0000,),(xxyz+10r?
20r?
30r?
100rrxx=?
39000(,)xyzr?
00rrxx+?
00rxx?
0000(,)xxyz+000000000000000000,ttxyzrrrtxy
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