新人教版八年级上册数学全册课件.ppt
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11.1与三角形有关的线段,第1课时三角形的边,第十一章三角形,下面请同学们仔细观察一组图片,找出你熟悉的几何图形.,你能画出一个三角形吗?
知1导,1,知识点,三角形及有关概念,下面哪个是三角形?
什么是三角形?
结合你画的三角形,说明三角形是由什么组成的.,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.,注意:
1.不在同一条直线上.2.三条线段.3.首尾顺次相接.,1.三角形的定义:
知1讲,注意:
表示三角形时,字母没有先后顺序.即:
可以记作ABC,也可记作ACB.,2.三角形的表示:
三角形用符号“”表示,如下图的三角形,记作“ABC”,读作“三角形ABC”.,知1讲,如图,ABC的三个顶点分别是:
A,B,C.,3.三角形的顶点,如图,ABC的三条边分别是:
AB,BC,CA.它的三个内角(简称三角形的角)分别是:
A,B,C.,A,B,C,4.三角形的边、内角,知1讲,注意:
1.三角形的三边用字母表示时,字母没有顺序限制.2.三角形的三边,有时也用一个小写字母来表示.如:
ABC的三边中,顶点A所对的边BC也可表示为a,顶点B所对的边AC也可表示为b,顶点C所对的边AB也可表示为c.3.一般情况下,我们把边BC叫做A的对边,AC,AB叫A的邻边;边AC叫B的对边,AB,BC叫B的邻边;你能说出C的对边及邻边吗?
a,b,c,对边是AB,邻边是BC,AC.,知1讲,一位同学用三根木棒拼成的图形如下,则其中符合三角形定义的是(),知1练,1,D,如图:
(1)ADC的三个顶点分别是_,三个内角分别是_
(2)在ABC中,C的对边是_;在AEC中,C的对边是_,2,知1练,A、D、C,C,DAC,ADC,AB,AE,知1练,图中有几个三角形?
用符号表示这些三角形.,3,解:
图中有5个三角形,分别是ABE,ABC,BEC,BCD,CDE.,知2导,2,知识点,三角形的分类,我们知道,按照三个内角的大小,可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.如何按照边的关系对三角形进行分类呢?
说说你的想法,并与同学交流.,我们知道:
三边都相等的三角形叫做等边三角形(图
(1);有两条边相等的三角形叫做等腰三角形(图
(2).,图(3)中的三角形是三边都不相等的三角形.,知2讲,我们还知道:
在等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角.,知2讲,顶角,底角,底角,腰,腰,底边,等边三角形是特殊的等腰三角形,即底边和腰相等的等腰三角形.,知2讲,以“是否有边相等”,可以将三角形分为两类:
三边都不相等的三角形和等腰三角形.,按角分,锐角三角形,直角三角形,钝角三角形,按边分,三边都不相等的三角形,三角形的分类,等腰三角形,底边和腰不相等的等腰三角形,等边三角形,三边都不相等的三角形,等边三角形,知2讲,知2练,下列说法:
等边三角形是等腰三角形;等腰三角形也可能是直角三角形;三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和三边都不相等的三角形;三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形其中正确的有()A1个B2个C3个D4个,1,C,知2练,已知一个三角形是等腰三角形,则这个三角形()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形,2,D,知3导,3,知识点,三角形的三边关系,任意画一个ABC,从点B出发,沿三角形的边到点C,有几条线路可以选择?
各条线路的长有什么关系?
能证明你的结论吗?
如图三角形中,假设有一只小虫要从点B出发沿着三角形的边爬到点C,它有几条路线可以选择?
各条路线的长一样吗?
知3导,对于任意一个ABC,如果把其中任意两个顶点(例如B,C)看成定点,由“两点之间,线段最短”可得AB+ACBC.同理有AC+BCAB,AB+BCAC.一般地,我们有三角形两边的和大于第三边.由不等式移项可得BCABAC,BCACAB.这就是说,三角形两边的差小于第三边.,知3讲,用一条长为18cm的细绳围成一个等腰三角形.如果腰长是底边长的2倍,那么各边的长是多少?
能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗?
为什么?
(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm.x+2x+2x=18.解得x=3.6.所以,三边长分别为3.6cm,7.2cm,7.2cm.
(2)因为长为4cm的边可能是腰,也可能是底边,所以需要分情况讨论.,例1,
(1),
(2),解:
知3导,如果4cm长的边为底边,设腰长为xcm,则4+2x=18.解得x=7.如果4cm长的边为腰,设底边长为xcm,则24+x=18.解得x=10.因为4+410,不符合三角形两边的和大于第三边,所以不能围成腰长是4cm的等腰三角形.由以上讨论可知,可以围成底边长是4cm的等腰三角形.,知3导,注意:
1.一个三角形的三边关系可以归纳成如下一句话:
三角形的任何两边之和大于第三边,任何两边之差小于第三边.2.在做题时,不仅要考虑到两边之和大于第三边,还必须考虑到两边之差小于第三边.,知3导,(口答)下列长度的三条线段能否组成三角形?
为什么?
(1)3,4,8;
(2)5,6,11;(3)5,6,10.,1,知3练,
(1)不能组成三角形因为348,不满足三角形的三边关系
(2)不能组成三角形因为5611,不满足三角形的三边关系(3)能组成三角形因为5610,满足三角形的三边关系,知3练,解:
(青海)已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是()A5B6C12D16(南通)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A5,6,10B5,6,11C3,4,8D4a,4a,8a(a0),2,3,知3练,C,A,11.1与三角形有关的线段,第2课时三角形的高、中线与角平分线,第十一章三角形,回顾旧知,垂线的定义:
线段中点的定义:
当两条直线相交所成的四个角巾,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中一条直线叫做另一条直线的垂线.,把一条线段分成两条相等的线段的点.,角平分线的定义:
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线.,知1导,1,知识点,三角形的高,你能过三角形的一个顶点,你能画出它的对边的垂线吗?
你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高,简称三角形的高.如图所示.,A,B,C,知1导,如图,线段AD是BC边上的高.,注意:
标明垂直的记号和垂足的字母.,知1讲,锐角三角形的三条高,每人画一个锐角三角形.
(1)你能画出这个三角形的三条高吗?
(2)这三条高之间有怎样的位置关系?
将你的结果与同伴进行交流.,锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
A,B,C,D,E,F,锐角三角形的三条高交于同一点.,锐角三角形的三条高都在三角形的内部.,知1讲,知1讲,直角三角形的三条高,在纸上画出一个直角三角形.,将你的结果与同伴进行交流.,A,B,C,
(1)画出直角三角形的三条高.,直角边BC边上的高是_;,AB,直角边AB边上的高是_;,CB,
(2)它们有怎样的位置关系?
D,斜边AC边上的高是_.,BD,直角三角形的三条高交于直角顶点.,A,B,C,D,E,F,钝角三角形的三条高,
(1)钝角三角形的三条高交于一点吗?
(2)它们所在的直线交于一点吗?
将你的结果与同伴进行交流.,O,钝角三角形的三条高不相交于一点.,钝角三角形的三条高所在直线交于一点.,知1讲,叫做三角形这边上的高.,从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,,顶点和垂足之间的线段,知1讲,三角形的三条高的特性:
高所在的直线是否相交,高之间是否相交,高在三角形内部的数量,钝角三角形,直角三角形,锐角三角形,3,1,1,相交,相交,不相交,相交,相交,相交,三条高所在直线的交点的位置,三角形内部,直角顶点,三角形外部,知1讲,如图,
(1)
(2)和(3)中的三个B有什么不同?
这三条ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置?
你能说出其中的规律吗?
知1练,1,
(1)中的B是锐角,高AD在ABC内部
(2)中的B是直角,高AD与边AB重合(3)中的B是钝角,高AD的垂足在CB的延长线上,即高AD在ABC的外部当C是锐角时,如果B是锐角,高AD在ABC的内部;如果B是直角,高AD与边AB重合;如果B是钝角,高AD的垂足在CB的延长线上,即高AD在ABC的外部,解:
知1练,规律:
知1练,在直角三角形中,有两条高是它的_,另一条高在这个三角形的_锐角三角形的三条高的交点在_,直角三角形的三条高的交点在_,钝角三角形的三条高所在直线的交点在_,2,直角边,内部,三角形的内部,三角形的外部,两直角边的交点处,知2导,2,知识点,三角形的中线,如图
(1),连接ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做ABC的边BC上的中线.,用同样方法,你能画出ABC的另两条边上的中线吗?
知2导,在三角形中,连接一个顶点与它对边中点的线段,叫做这个三角形这边上的中线.,如图
(2),三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.,取一块质地均匀的三角形木板,顶住三条中线的交点,木板会保持平衡,这个平衡点就是这块三角形木板的重心.,知2讲,在ABC中,ABAC,AC边上的中线BD把ABC的周长分为12cm和15cm两部分,求ABC的各边长,知2讲,例1,因为中线BD将ABC的周长分成两部分:
(BCCD)和(ADAB),无法确定谁为12cm,谁为15cm,故应分类讨论;另外题中涉及线段较多,因此可建立方程的模型,利用设未知数来求解,导引:
设ABxcm,则ADCDxcm.
(1)如图,若ABAD12cm,则xx12.解得x8,即ABAC8cm,则CD4cm.故BC15411(cm)此时ABACBC,三角形存在,所以三边长分别为8cm,8cm,11cm.
(2)如图,若ABAD15cm,则xx15.解得x10,即ABAC10cm,则CD5cm.故BC1257(cm)显然此时三角形存在,所以三边长分别为10cm,10cm,7cm.综上所述,ABC的三边长分别为8cm,8cm,11cm或10cm,10cm,7cm.,解:
知2讲,知2练,填空:
如图
(1),AD,BE,CF是ABC的三条中线,则AB=2_,BD=_,AE=_.,1,AD或BF,CD,AC,知2练,三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个()A形状相同的三角形B面积相等的三角形C直角三角形D周长相等的三角形,2,B,知2练,如图,已知BD是ABC的中线,AB5,BC3,ABD和BCD的周长的差是()A2B3C6D不能确定,3,A,知3导,3,知识点,三角形的角平分线,如果现在你手上有一张画着一个三角形的薄纸,你能想几种办法画出它的一个内角的平分线?
叫做三角形的角平分线.,A,B,C,D,因为AD是ABC的角平分线,,任意画一个三角形,然后利用量角器画出这个三角形三个角的角平分线,你发现了什么?
在三角形中,,一个内角的角平分线与它的对边相交,,这个角的顶点与交点之间的线段,三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部.,知3讲,知3讲,A,C,B,F,E,D,O,因为BE是ABC的角平分线,,所以_=_=_.,所以ACB=2_=2_.,ABE,CBE,ABC,ACF,因为CF是ABC的角平分线,,BCF,知3讲,1.三角形的角平分线与角的平分线的区别是:
三角形的角平分线是线段,而角的平分线是一条射线;它们的联系是都是平分角。
2.三角形的角平分线判别的“两种方法”
(1)看该线段是否分三角形的内角为相等的两部分.
(2)看线段的两个端点,其中一个端点是三角形的顶点,另一个端点要落在对边上.,如下页图
(2),AD,BE,CF是ABC的三条角平分线,则1=_,3=_,ACB=2_.,1,知3练,2,ABC,4,今天我们学了什么呢?
1.三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法.2.三角形的高、中线、角平分线几何表达及简单应用.,11.1与三角形有关的线段,第3课时三角形的稳定性,第十一章三角形,工程建筑中经常采用三角形的结构,如屋顶钢架(图
(1),其中的道理是什么?
盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条(图
(2).为什么要这样做呢?
知1讲,1,知识点,三角形的稳定性,问题盖房子时,在窗框安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条,为什么要这样做呢?
我们来探究下面的问题.
(1)如图,将三根木条用钉子钉成一个三角形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
知1讲,
(2)如图,将四根木条用钉子钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗?
知1讲,(3)如图,在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对不相邻的顶点连接起来,然后再扭动它,这时木架的形状还会改变吗?
知1导,可以发现,三角形木架的形状不会改变,而四边形木架的形状会改变.这就是说,三角形是具有稳定性的图形,而四边形没有稳定性.,知1讲,探究题要使四边形木架(用四根木条钉成)不变形,至少要再钉上几根木条?
五边形木架呢?
六边形呢?
n边形呢?
若要多边形稳定,需将它变换成若干个三角形先画出图形,结合图形分割三角形得出:
四边形:
1根,五边形:
2根,六边形:
3根,由类比推理可知,n边形:
(n3)根,如图所示,四边形木架至少要再钉上1根,五边形木架:
2根,六边形木架:
3根,n边形木架:
(n3)根,例1,导引:
解:
多边形增强稳定性的方法画辅助线法:
将多边形通过添加辅助线划分为若干个三角形.,下列图形中哪些具有稳定性?
知1练,1,解:
图形
(1)(4)(6)具有稳定性,知1练,下列图形中具有稳定性的是()ABCD,2,B,知2导,2,知识点,三角形稳定性的实际应用,三角形的稳定性有广泛的应用,如图表示其中一些例子.你能再举一些例子吗?
除了教材中给的例子,我们再来看几个应用三角形稳定性的例子.,知2导,知2导,四边形的不稳定性也有广泛的应用,如图表示其中一些例子.,知2讲,人站在晃动的公共汽车上,若你分开两腿站立,还需伸出一只手抓住栏杆才能站稳,这是利用了_,知2讲,例2,两腿分开站立,再伸出一只手抓住栏杆,这时,两脚以及抓住栏杆的手可看作三个点,这三个点的连线恰好组成一个三角形,而三角形具有稳定性,这样人就能站稳了.,导引:
三角形的稳定性,知2练,如图所示,建高楼常需要用塔吊来吊建筑材料,而塔吊的上部是三角形结构,这是应用了三角形的哪个性质?
答:
_(填“稳定性”或“不稳定性”),1,稳定性,如图,工人师傅砌门时,常用木条EF固定长方形门框ABCD,使其不变形,这种做法的根据是()A两点之间,线段最短B长方形的对称性C长方形的四个角都是直角D三角形的稳定性,知2练,2,D,知2练,下列设备,没有利用三角形的稳定性的是()A.活动的四边形衣架B.起重机C.屋顶三角形钢架D.索道支架,3,A,1.通过对本节课的学习,你有什么收获?
还有什么困惑吗?
2.你对自己本节课的表现满意吗?
为什么?
3.钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性,活动挂架则是利用四边形的不稳定性.你还能举出一些例子吗?
11.2与三角形有关的角,第1课时三角形的内角三角形的内角和,第十一章三角形,知1导,1,知识点,三角形内角和定理,问题1在小学我们已经知道任意一个三角形三个内角的和等于180,你还记得是怎么发现这个结论的吗?
请大家利用手中的三角形纸片进行探究,方法:
度量、剪拼图、折叠,在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,就得到一个平角.从这个操作过程中,你能发现证明的思路吗?
知1导,探究,追问1在下图中,B和C分别拼在A的左右,三个角合起来形成一个平角,出现了一条过点A的直线l,直线l与边BC有什么位置关系?
直线l与边BC平行,知1讲,追问2在操作过程中,我们发现了与边BC平行的直线l,由此,你又能受到什么启发?
你能发现证明“三角形内角和等于180”的思路吗?
通过添加与边BC平行的辅助线l,利用平行线的性质和平角的定义即可证明结论,追问3结合下图,你能写出已知、求证和证明吗?
已知:
ABC.求证:
A+B+C=180.,知1讲,如图,过点A作直线l,使l/BC.l/BC,2=4(两直线平行,内错角相等).同理3=5.1,4,5组成平角,1+4+5=180(平角定义).1+2+3=180(等量代换).以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180,得到如下定理:
三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180.,证明:
知1讲,在这里,为了证明的需要,在原来的图形上添加的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.,为了证明三个角的和为180,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法.,知1讲,知1练,1,如图,一种滑翔伞的形状是左右对称的四边形ABCD,其中A=150,B=D=40.求C的度数.,解:
C1802(4040150)130.,在ABC中,B40,C80,则A的度数为()A30B40C50D60,2,知1练,D,知1练,在ABC中,已知B是A的2倍,C比A大20,则A等于()A40B60C80D90,3,A,三角形内角和定理的“三个应用”1.已知两个角的度数求第三个角的度数.2.已知一个角的度数求另外两个角度数的和.3.已知三个角的度数关系,求这三个角的度数.,知2讲,2,知识点,三角形内角和的应用,如图,在ABC中,BAC=40,B=75,AD是ABC的角平分线.求ADB的度数.由BAC=40,AD是ABC的角平分线,得BAD=BAC=20.在ABD中,ADB=180BBAD=1807520=85.,例1,解:
知2讲,三角形的三内角和是180,所以三内角可能出现的情况:
一个钝角两个锐角,钝角三角形,锐角三角形,一个直角两个锐角,直角三角形,三个都为锐角,知2讲,知2讲,图是A,B,C三岛的平面图,C岛在A岛的北偏东50方向,B岛在A岛的北偏东80方向,C岛在B岛的北偏西40方向.从B岛看A,C两岛的视角ABC是多少度?
从C岛看A,B两岛的视角ACB呢?
例2,知2讲,A,B,C三岛的连线构成ABC,所求的ACB是ABC的一个内角.如果能求出CAB,ABC,就能求出ACB.,分析:
解:
CAB=BADCAD=8050=30.由AD/BE,得BADABE=180.,方法一:
所以ABE=180BAD=18080=100,ABC=ABEEBC=10040=60.在ABC中,ACB=180ABCCAB=1806030=90.从B岛看A,C两岛的视角ABC是60,从C岛看A,B两岛的视角ACB是90.,答:
知2讲,你还能想到其他解法吗?
B,你能想出一个更简捷的方法来求C的度数吗?
1,2,50,40,过点C画CFAD1DAC50,F,CFAD,又ADBE,,CFBE,,2CBE40,ACB12504090,知2讲,解:
北,方法二:
知2练,如图,从A处观测C处的仰角CAD=30,从B处观测C处的仰角CBD=45.从C处观测A,B两处的视角ACB是多少度?
1,知2练,在ACD中,因为CAD30,D90,所以ACD180903060.在BCD中,因为CBD45,D90,所以BCD180904545.所以ACBACDBCD604515.,解:
答:
从C处观测A,B两处的视角ACB是15.,(中考邵阳)如图,在ABC中,B46,C54,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,交AC于点E,则ADE的大小是()A45B54C40D50,知2练,2,C,知2练,(中考威海)直线l1l2,一块含45角的直角三角尺如图放置,185,则2_,3,40,知2练,4,如图,一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60的方向,另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40的方向,那么在灯塔A处观看B和C处时的视角BAC是多少度?
知2练,因为在B处测得灯塔A在北偏东60的方向,所以ABD60.又因为DBE90,所以ABE90ABD906030.因为在C处测得灯塔A在北偏东40的方向,所以ACE904050.所以BACACEABE503020.即在灯塔A处观看B和C处时的视角BAC是20.,解:
通过本课时的学习,需要我们掌握:
求角度,证法,应用,转化为一个平角或同旁内角互补,辅助线,三角形的内角和等于180,作平行线转化思想,11.2与三角形有关的角,第2课时三角形的内角直角三角形两锐角互余,第十一章三角形,在ABC中,A=60,B=30,C等于多少度?
你用了什么知识解决的?
回顾旧知,知1导,1,知识点,直角三角形两锐角的关系,观察这两个直角三角形,它们两锐角之和分别为多少?
那对于任意直角三角形,这一结论是否还成立呢?
如图,在直角三角形ABC中,C=90,由三角形内角和定理,得A+B+C=180,即A+B+90=180,所以A+B=90,知1讲,也就是说,直角三角形的两个锐角互余.直角三角形可以用符号“Rt”表示,直角三角形ABC可以写成RtABC.,知1讲,如图,C=D=90,AD,BC相交于点E.CAE与DBE有什么关系?
为什么?
在RtACE中,CAE=90AEC,在RtBDE中,DBE=90BED.AEC=BED,CAE=DBE.,例1,解:
知1讲,知1讲,直角三角形是特殊的三角形,直角三角形的两锐角互余的本质是三角形内角和定理,是三角形内角和定理的一种简化应用,利用这一性质,在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角,知1练,1,如图,ACB=90,CD丄AB,垂足为D.ACD与B有什么关系?
为什么?
解:
ACDB.理由如下:
因为ACB90,所以ACDBCD90.因为CDAB,所以BCDB90.所以ACDB.,(中考海南)在一个直角三角形中,有一个锐角等于60,则另一个锐角的度数是()A120B90C60D30,2,知1练,D,知1练,(中考鄂州)如图,ABCD,EF与AB,CD分别相交于点E,F,EPEF,与EFD的平分线FP相交于点P,且BEP50,则EPF()度A70B65C60D55,3,A,知1练,如图,在ABC中,已知ACB67,BE是AC上的高,CD是AB上的高,F是BE和CD的交点,DCB45.求ABE的度数,4,知1练,解:
CD是AB上的高,DBC90DCB904545.BE是AC上的高,EBC90ECB906723.ABEABCEBC452322.,知2导,2,知识点,直角三角形的判定,我们知道,如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形有两个角互余反过来,你能得出什么结论?
这个结论成立吗?
如何验证你的想法?
知2讲,假设在ABC中,AB=90,由三角形内角和定理,我们可以得到C=180(AB)=90,即C是直角,那么ABC是直角三角形.,知2讲,由三角形内角和定理可得:
有两个角互余的三角形是直角三角形.,判断EFP为直角三角形有两种方法:
有一角是直角或两锐角互余,即要说明EPF90或EFPFEP90.,如图,ABCD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,BEF的平分线与DFE的平分线相交于点P.试说明EFP为直角三角形,知2讲,例2,导引:
ABCD,BEFDFE180.EP为BEF的平分线,FP为EFD的平分线,PEFBEF,PFEDFE.PEFPFE(BEFDFE)18090.EPF180(PEFPFE)90.EFP为直角三角形,解:
知2讲,知2讲,“有一个角是直角的三角形是直角三角形”是直角三角形的定义,据此可判定直角三角形;“有两个角互余的三角形是直角三角形”是直角三角形的判定,由三角形内角和定理可知第三个角是直角,因此它的
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