第34届中国数学奥林匹克试题及解析.docx
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第34届中国数学奥林匹克试题及解析
1.ƒ௦ਁᆠa,b,c,d,e≥−1a+b+c+d+e=5的ë数.ௐ
S=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)
ᆫ½ᄔ½ᆫ½ᄔ.
解法一ຕௐᆫ½ᄔf١ë)
(10−a−b)4
f1)యa+b,b+c,c+d,d+e,e+aᄯ一¾数,Ϣ־a+b<0,႕a+b≥−2,
‰ၐ≥−162.
(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)≤
4≤81
f2)యa+b,b+c,c+d,d+e,e+aᄯ3¾数,႕3¾数࢈≥−2,খƒ2¾ë数Së≤16,ڃ2¾ë数Sݲ≤64,‰ၐ≥−512.
Kມ௶a+b,b+c,c+d,d+e,e+aϢટ௦,ڃၐ≥−512,a=b=c=d=−1,e=9ನŠԉ.
ၼௐᆫ½ᄔ
f1)యa+b,b+c,c+d,d+e,e+a࢈น,႕ၐ≤
(2a+2b+2c+2d+2e)5
5
=32.
f2)యa+b,b+c,c+d,d+e,e+aᄯ3¾数,ߜa+b,b+c,c+d,d+e,e+a૦ю一¾ၕë,႕ပ2¾数Ϣອ3.
Ϣ־a+b,c+d>0,႕a+b+c+d=5−e≤6,‰(a+b)(c+d)≤9.
Kມ௶a+b,b+c,c+d,d+e,e+a∈[−2,8],ڃၐ≤(−2)2×9×8=288.
f3)యa+b,b+c,c+d,d+e,e+aᄯ一¾,Ϣ־a+b>0,ဎ(b+c)+(d+e)≤0ᄉa≥5,ဎe≥−1,ᄉe+a≥4,ջ.
ᆘ½,ၐ≤288,a=b=c=−1,d=e=4ನŠԉ.
解法二
fë)
a1=a+b,a2=c+d,a3=e+a,a4=b+c,a5=d+e
5
ai
i=1
=2(a+b+c+d+e)=10,ë‰a=5−a4
−a5,फഛƒζë数b,c,d,e.
࿙น
∑∏
ë‰ูඕƒëܤน:
a,b,c,d,e≥−1⇔ai+ai+1≤6(a6=a1)
€ᄉai=10,ai+ai+1≤6(a6=a1),ௐai的ᆫ½ᄔ½ᆫ½ᄔ.
ƒ{ai}ᄯઇ些น,ઇ些น的ெࣣƒ,ঢ়ܰƒы的ெࣣƒ一ᄵ;
ߜaiׂၽ5ΨëԤ½,ƒfiëƒ的ெࣣ,ë
γน܃>
γนँ,యပ5Ψ的一¾ֱ౽έܰT,ëԄëပaifiaT(i)ཞౄອල,႕Š3ᄔನai=aT(i),უಾ࿙น,ߜέ२aifiaT(i)՛ܰюອ的଼࢈܊,ѐݲࢇƒᄔέ½,ୣëë3ߑఏ௶ਁᆠ,უ¾ƒ‰ܤ߅ƒڶё.
f1)௦܃,ѐݲน
f2)一ँങ܃
−x+2y+2z=10
∏ai≤25=32
()4
()4
−x+y≤6
y+z≤6
⇒xyz≤x
y+z
2
6
≤2·2
=162
∏
ë‰ai≥−162,{a,b,c,d,e}={−1,−1,4,−1,4}ನŠë.f3)二ँu܃fi)
ဎ଼࢈Ϣԉ
y+z≤6
2y+z=10+2x≤12−z
⇒2x+z≤2
x2y2z≤
f4)二ँu܃fii)
(2)3
·
y≤
(2)3
·
6<32
z≤3
y+2z=10+2x
x≤2
z≤3
႕ပx2z2y≤4·9·8=288,{a,b,c,d,e}={−1,−1,−1,4,4}ನӒë.f5)uँ二܃fi)
x≤3
≤
22
f6)uँ二܃fii)
y2
z≤2
⇒xyz≤8·9=72
y,z≤2
x≤8
⇒xyz≤2=512,{a,b,c,d,e}={−1,−1,−1,−1,9}ನӒë.
f7)ങँ一܃
ဎx≤6+y≤8
y,z≤2
Ԅxy2z2≤8·24<288
ᆫ½ᄔน288,a,b,c,d,eྦྷน−1,−1,−1,4,4ನӒë;ᆫ½ᄔน−512,a,b,c,d,eྦྷน−1,−1,−1,−1,9ನӒë.
2.యჼ数a,b,cಾ一¾ᄐ߸u߸的uΨЩ,႕ыu၍ۦނ{a,b,c}น٭ëu၍ë.ௐᄃ:
ƒ࿉٭ëu၍ëP,Q,Ӊၽჼ数m≥2٭ëu၍ëP1,P2,···,PmëԄP=P1,Q=Pm∀1≤i≤m−1,P1∩Pi+1̸=∅.证明ƒfi०¾ჼ数a,b,యӉၽ٭ëu၍ë༝ॹP1,P2,···,Pm,ਁᆠPi∩Pi+1̸=∅,a∈P1,b∈
Pm,႕ыa,bԉޮ,ޚนa∼b,ມ௶ပ
1.a∼b⇒ka∼kb,༓ߜ༝ॹᄯ的ᄐ߸u߸ΨЩ՛έюkͿ.2.a∼b,b∼c⇒a∼c,༓ߜ༝ॹॕއࠄƒ.
3.{2k+1,2k(k+1),k2+(k+1)2}น٭ëu၍ë,࿙Ү2k+1∼2k(k+1),Š2k+1นഭ数,႕
2k+1ԉޮfiٗ½ഭ数的
ॆƒ
(1)ƒԄ,ëပ数՛ԉޮfi੶¾2的ੂ.
4.ࢩГ{3,4,5},{5,12,13},{12,16,20},{15,20,25},{7,24,25},{10,24,26},{6,8,10}ᄉ2k∼2k+1,k≥2.
5.ມ௶1,2Ϣͧۃၽ٭ۥëu၍ëᄯ.
6.҂K1,2ۥ०¾数՛ԉޮfi2的੶०¾ੂ2a,2b,a,b≥2,უ०¾ੂٔ(4)ԉޮfi2max(a,b),
࿙Үбڶ2的数՛ԉޮ,ƒ
ۥ०¾٭ëu၍ëP,Q,ၽP,Qᄯדι
Š一¾数ޚนa,b,௶܊ၽP,QᄯЌKëԄa∼bԉޮ的٭ëu၍ë༝ॹ½Ԅëඕྑௐ的༝ॹ.
3.△ABCᄯ,AB PQfi△ABCƒࠄၕອ. 证法一fŠᨫ) O2น⊙(AKD)ƒ,FนADfi⊙O߬Ԥ,႕ອԉޮfi∠PQA+∠ABQ=180◦. ᅟ࿉ë∠PQA+∠AKP=180◦,뉊ඕԉޮfi∠AKP=∠ABQ. ॕࠄOO2,OE,O2E. ᅟ࿉ëOF⊥BC,ë‰ပOF∥ED,ë‰ങΨOFEDน଼ങΨ; ୣပAO=OF=DE,ë‰ပങΨAOEDนԉ྅ඐ. ᅟ࿉ëO2A=O2D,ë‰O2ၽOEᄯҜŠ½,ë‰ပ△O2OEนԉ྅u߸. ᅟ࿉ë∠ABQ=1∠AOQ=∠AOO+∠OAO; 222 KEO2⊥AK,ED⊥KC,ë‰∠AKC=180◦−∠O2ED=180◦−∠O2OA=∠ABQ. 证法二াדë: ຕЧŠᆫᆑ௶的া–່Ԥ֥fŠथ) €ᄉ3ߑပ些؏ၶ,ຕٔඕ࿉ƒѤëᆴᅹ௲的ë,सْࠓ¾Kۥ၍ഭ的ಓюڶё. 1)ຕᆴၕ ŠuԤA>B>CëԄAB ˆ 2)ڶOᆴBCҜŠ߬ϢۃA的BCfiS,႕ASน∠BAC߸଼דŠ, 3)ڶEᆴBCҜŠ߬ASfiD, 4)ၽ౽ŠEB½ŠԤKਁᆠEK=EA, 5)ᆴ△ADKƒࠄၕ߬BCfiԤP,߬ၕOfiԤQ,ॕPQ,ëఢ÷ë ÷ੋဎࠒëK್ ƒટඹڶ່Ԥܤ߅ë. ၀ᄃPQนၕOŠ,އᄃ∠CQP=∠CAQ. ဎA,B,C,Q,A,K,P,Q ၕԄ ∠CQP=∠AQP−∠AQC=(180◦−∠AKP)−(180◦−∠ABP)=∠ABP−∠AKP=∠BAK ‰༓ᄃ∠BAK=∠CAQ,უ່ྂKԤP,უಾ一¾ࠩႺ的γᄝ,া؞ပ3ฌ. ່P,‰Ԅë÷ë: ၀ᄃ∠BAK=∠CAQ,ມ௶∠ABK=∠AQC,‰△ABK∼△AQC,ëᄯມ௶ᆫ܊ಓю的ಾԤ Q,ᆫઔ੍೭,ಾ०ၕ߬Ԥ,ӬಾA,K,D,Qၕ۳ઔƒ,△ABK∼△AQCۚ۳ƒ. ࢩৎëԤQ的ท一냉ࢩৎƒල一֥,އၽၕO½ŠQ′ëԄ∠ABK=∠AQ′C,÷ੋ༓ᄃë A,K,D,Q′ ၕއƒ,ఢ÷ë: ဎ△ABK∼△AQ′CᄉAQ′·AK=AB·AC; ဎ∠ABK=∠AQ′C½ADน∠BAC߸଼דŠᄉ∠DAK=∠DAQ′=θ. ၀ᄃA,K,D,Q′ ၕ,Ӻ߸3ฌੑਈ,ຸëKठੁՇस的Շस–uຟՇस,އ༓ᄃ AK·sinθ+AQ′·sinθ=AD·sin2θ ̼AQ′ӝK,ဎ二Ϳ߸公އ༓ᄃ AK+AB·AC/AK=2AD·cosθ އᄃ AB·AC=2AD·AKcosθ−AK2 უ່ྂ K“ƒཪ"的ԤQ′,Ԅë÷ë: Үನëோ™ߎ,뀊Ϣટࠓܤ,༖ੋƒԤDཙࡎԤD的ëëK. ဎ€ᄉOE∥AD,OS∥DE,႕OSDEน଼ങΨ,‰DE=OS=RนၕOƒŠ,უ¾ëë۳߅Ӧ,Ӭಾ۳ମ४,۳؞ᄷྑ. ÷ੋޟ༣דë γ,އᄃ AB·AC=2AD·AKcosθ−AK2 ܊ੋ的fi۳3ຟՇस,ဎ3ຟՇस,‰ ༓ᄃ 22 AB·AC=DA−DK çਬ3ฌƒë3ߑEK=EA½DE=R,႕ၽ△KDEᄯဎ٭ëՇस,༓ᄃ 222 AB·AC=DA−EK−ED އᄃ 222 AB·AC=DA−EA−ED ܊ੋၽ△ADEᄯ,Kಾ一¾3ຟՇस,‰༓ᄃ AB·AC=2AE·DEsin∠AEB=2R·AEsin∠AEB ࢡëAEsin∠AEB,ᆑ௶的াಾᆴغŠAZ,‰༓ᄃ AB·AC=2R·AZ უ່ྂ KԤD,E, ë的ݮƒë: ½೭ࠒëಾ一¾ëШ߅ӦШߎ的Šëࠒë,ޛƒ‰ॆƒຟՇस,ƒ‰ƒອഛ.ëఢဎ ຟՇस ‰юKᄃë. AB·AC=2RsinB·AB=2R·AZ ÷ੋ̼ືëڶёೠƒఢ÷: 证明ఢë,ၽၕO½ᆴQ′ë∠BAK=∠CAQ′,∠SAK=θ,AD߬ၕOfiS,ᆴAZ⊥BCfiZ. ဎ€ᄉOE∥AD,OS∥DE,႕OSDEน଼ങΨ,‰DE=OS=RนၕOƒŠ,႕ AB·AC=2RsinB·AB=2R·AZ=2AE·DEsin∠AEB=2R·AEsin∠AEB =DA2−EA2−ED2=DA2−EK2−ED2=DA2−DK2 =2AD·AKcosθ−AK2 ဎ△ABK∼△AQ′CᄉAQ′·AK=AB·AC; ဎ∠ABK=∠AQ′C½ADน∠BAC߸଼דŠᄉ∠DAK=∠DAQ′=θ,႕ AK·sinθ+AQ′·sinθ=AD·sin2θ ဎठੁՇस的Շस–uຟՇसᄉA,K,D,Q′ ၕ,ڃQ>Q′ᄷۦ,ڃ ∠CQP=∠AQP−∠AQC=(180◦−∠AKP)−(180◦−∠ABP) =∠ABP−∠AKP=∠BAK=∠CAQ ‰PQนၕO的Š. 注Үඕಾۚ۳的一¾ඕ,ࢡᆂëΑ؏ࠀၶ,ఢë‰ყדë,ຸëKݹᅣՇस的ݮƒëë–3ԤS 的ëë,一Ϥ一Ϥช÷דë,ઔէܮϢಾ۳½的. 第二天 4.ٓՇ一¾ЩᅀfiիᅀϢԉЩ的෧ၕ.f1)ᄃë: ୣੋݲᆫ½的ƒ的ঋಾท一的; f2)ƒƒѤëᆴëᆴუ¾ঋ的ڶё.fྍϐำ) 证明f1) ෧ၕ的ֺёಾax2+cy2=1,უऺc>a>0,ങ¾ëԤྦྷ นA,B,C,D,ങ¾Ԥྦྷ דιนE,F,tt,H,უྂဎfiEFttHಾ଼ങΨ,ë‰E 的Š଼fitt 的Š,०3ŠדιนaxEx+cyEy=1ëaxGx+cyGy=1,უྂxE: yE=xG: yGfŠᆚᆵγලನน0),უྂEttڶၐԤ, އEëtt fiၐԤƒы;ලसFëH fiၐԤƒы; çਬࠓBԤᆵγ: BၽEëF的Š߬Ԥ½,უྂ axExB+cyEyB=1=axFxB+cyFyB ë‰ ලसçਬပ ۦࠒƒыëပ०ອѐ,Ԅ a(xE−xF)xB=−c(yE−yF)yBa(xF−xG)xC=−c(yF−yG)yCa(xF+xE)xC=−c(yF+yE)yC a2(xE−xF)(xF+xE)xBxC=c2(yE−yF)(yF+yE)yCyB ဎfiঋƒ߸ŠܚອҜᄐ,ë‰xBxC=−yByC,ެxBxC=−yByC̸=0,那½ a2(x2−x2)+c2(y2−y2)=0 a(x2−x2)+c(y2−y2)=1−1=0, 2222 EFEF a2c2 ఢëxE−xF̸=0,yE−yF̸=0,०fiྭົອ҂Ԅ =,უྂa=c,෧ၕಾၕ, ջ! ac E F E F ఢëx2−x2=y2−y2=0,უྂ|xE|=|xF|,|yE|=|yF|,უഊëEëFfi੶3ᆵγᅀƒыfဎfi F̸=tt),უྂEëFŠfiᆵγᅀƒы,ë‰Bၽᆵγᅀ½,უëxBxC=−yByC̸=0ջ,ë‰ xBxC=yByC=0,ҮನBëC՛ၽᆵγᅀ½,ලसAëD՛ၽᆵγᅀ½. Ϣ־Aၽxᅀƒᅀ,Bၽyᅀƒᅀ,Үನঋ的ੋݲԉfi2xAyB,ဎfiAëB՛ၽE 的Š½,ë‰axAxE=cyByE=1,ࠓԄ 244 √ 2xAyB=acxy ≥√ac(ax2+cy2)=√ac E ԉ号ю3ߑಾax2 E =cy2,ҮನxA E =2,y B √a EEE =2, √ c އAëBۚน‰ၐԤน3ഛᄯ,2Ϳ3ഛέ܊ܰ的෧ၕëᆵγᅀ的߬Ԥ,ë‰Ӊၽท一,އᄃ. 解f2)ຕഊë: ëƒѤëᆴëಠ√2Ϳ3ഛέܰ的ڶё: ‰3ഛᄯOëγԤAน一Ψᆳֺ OABC,ၽOA½ࠉŠOA′=OB. 1.ᆳ2ë଼ຟP1P2,P3P4ëP5P6,P7P8,ᄯԤדιนM1,M3,M5,M7; 2.ॕࠄM1M3߬M5M7fiO; 3.ڶO ᆴ一ၕ߬෧ၕfiങԤQ1,Q2,Q3,Q4; 4.ڶOԤᆴŠխQ1Q2的଼ŠëҜŠדι߬෧ၕfiA1,C1;B1,D1; 5.‰Oนᄯ,√2น3ഛΑ,ƒA1,C1,B1,D1ಠ3ഛέܰԄëA,C,B,D; ႕ങΨABCDއนëௐ.çਬ÷ੋᄃëუ¾ಾਁᆠ3ߑ的,ມ௶უ¾ങΨಾঋ. ÷ੋᄃëस: 一¾෧ၕ的०3଼ຟP1P2,P3P4,ᄯԤM1M3ॕŠڶ෧ၕၕ. 引理的证明෧ၕ的ֺёนAx2+Cy2=1,ᄐŠ的ֺёಾy=kx+b1,y=kx+b2fໜϢӉၽŠน 0ನ଼fi). Pi(xi,yi),႕Ax2+Cy2=1=Ax2+Cy2,ອ߈ԄA(x1+x2)(x1−x2)=C(y1+y2)(y2−y1). ဎfiy−y=k(x−x)̸=0,ӝKԄA(x +x)+C(y+y)k=0,ࠓԄyM1 A =−. 2112 1212 xM1Ck ලसyM3 xM3 A =−Ck,Šඕއᄃ. ݍëၐඕ,უྂO fi०3ᅀ的ᅀƒыë,߬fiങ¾Ԥ,ë‰ങ¾Ԥ ००fiᆵγᅀƒы,ë‰ອ3的०¾Ԥ଼fi੶3ᆵγᅀ. უྂçਬᆳ 的ACëBDಾᆵγᅀK,ٔ第一 ᆫ½的ঋӉၽท一 ëԤಾၽᆵγᅀ½,शၐԤ√2Ϳ的ƒƒᅀ的Щէ,fiಾŠඕއᄃ. 5.ٓՇ一¾n×n的ֺٌζ,ਤ¾ٌfiᄯඡK一¾ჼ数,ਤЀᆴ༪ë一¾ֺٌ,ߜୣල>ලॹ的2n−1 ¾数՛ަ1.ௐᆫ½的N Šನֺٌζઝ数ඡ的 ЀᆴëԄֺٌζઝᄠyပN(n)¾数.fë) 解nಾ数ನ,N(n)=n2;nಾ数ನ,N(n)=n2−n+1. ຕëႏ一些Ѐᆴëۦ: • ༪Š(i,j)3ᄢ的ֺٌëࠩ的ЀᆴนC(i,j),ୣᄯ1≤i,j≤n. • C(i,j),C(i,j′),C(i′,j),C(i′,j′)ۦԄë؟έങ¾3ᄢ(i,j),(i′,j),(i,j′),(i′,j′)的Ѐᆴ,ޚนD(i,i′,j,j′). •C(i,j),C(i,j′)Ԅë؟έj,j′०ॹ,ӬϢ؟έ(i,j),(i,j′)ë的Ѐᆴ,ޚนE(i,j,j′). • nಾ数ನ,E(i,j,j′)ၽ०ॹ½ْ؟έKn−1f数)¾ٌfi的ë,؏ۦ(n−2)/2¾ D(i′,i′′,j,j′)Ѐᆴ,ƒ‰Ԅë؟έ੶०¾fල)ٌfi(k,j),(k,j′)½ë的Ѐᆴ,ޚนF(k,j,j′). • nಾ数ನ,ලसƒԄë؟έ०¾ලॹٌfië的Ѐᆴޚนtt(k,k′,j). • nಾ数ನ,一¾C(i,j),ଅۦn/2¾FफЀᆴ,½n/2¾ttफЀᆴ,ƒ‰Ԅë؟έ一¾ٌfi ë的Ѐᆴ,࿙ҮუನۥѺŠெࣣƒ‰Ԅë௦ಾ数的ֺٌζ. • nಾ数ನ,ඹڶD(1,i,1,j)फ的Ѐᆴ,ƒëëပ的数3fi第一Š第一ॹ,௶܊༪ëࠩŠŠϢࠩC(1,1)Ѐᆴ,ƒ‰ë数ᆙ数Ϣбڶn−1. nಾ数ನ,ਤ¾C(i,j) ۥ० ނᄯ数 ނᄯ的数¾数ëϢέ;ලस०ॹ ނᄯ数¾数ëϢέ. ŠѺŠᅱൟน: 第一ॹน数,ୣëပ数น数.ѺŠ第一ॹ数¾数fiୣॹϢල,ëပ数¾数ອල.ࠒ೯第一ॹပa¾数; •యaಾ数,႕第2ënॹਤॹပ数¾数,࿙Үᆙ数ᄠyn−1¾数; •యaಾ数,႕第2ënॹਤॹပ数¾数,ëပ数ᆙëน数;࿙นਤ数¾数ëອල,ֺ ٌζᄯ数ᆙ数ëfiਤ数¾数ëອල,࿙Үਤပ数¾数,ᆙ数ᄠyn¾数; ᆘ½ë೭, n=2kಾ数ನ,ƒ‰Ѐᆴëëပ数น数,N(2k)=4k2; n=2k+1ಾ数ನ,ƒ‰Ѐᆴë数¾数Ϣбڶn−1,ӉၽѺŠᅱൟë数¾数Ϣટٗ½,N(2k+1)=4k2+2k+1. 6.ԤP1,P2,···,P2018ׂၽٓՇ๔Ψ的ઝϦŠΨ࠘½.ௐëပ的ׂᄢֺëԄ S= 1≤i |PiPj| Šëᆫ½ᄔ.fë) 引理1x2−5y2=−4的ჼ数ࠓ,՛ဎᤡϏ那୴数ॹF1=F2=1,Fn+1=Fn+Fn−1ᄯ੶ອ3०ົζนx=2Fn+Fn+1,y=Fn+1,ୣᄯnน数. 证明x2−5y2=−4,႕(9x−20y)2−5(9y−4x)2=x2−5y2=−4,ޚx1=9x−20y,y1=9y−4x. •x1>0⇐⇒9x>20y⇐⇒81x2>400y2⇐⇒405y2−324>400y2⇐⇒y>8; • y1>0⇐⇒9y>4x⇐⇒81y2>16x2⇐⇒81y2>80y2−64,ᆙю; • x1<
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