完整版第七讲对角互补模型.docx

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完整版第七讲对角互补模型

第七讲对角互补模型

墓本图竝=

如图1,在四边形FBDEH^EDF-ZEBF=13O\族转^FBE稈到厶3BI,求证】iFBH^AEBI

如图Z,在四边孩FBD応中.ZEDF+ZEBF-1.连接HD+/DBE=/CBFAHCD^1/?

=^脸蘇究.线段DE、DF、BD之闾的数量关系-

规国M在四边形證DE孔三EDF-£EBF=1财，连損Bd^1DBE=上CB巴若BDlDC^DCB^O^探究：

线段□驭口IBD之间旳数量关系j

圈1圉2

常和甬平分线性质一起考，一般凉两种解題方去

（全等型一如叮

（全等型_12厅）（全等型一任意角左）

破解策略

1.全零型之“9TT"

如图.EDCE二曲,CT平分厶椒则

⑴CD=C£i

（2.）①+偌=JlOCi

证明方^―■如團，11点匸分别作匸站丄函，口丄阳，垂足分别为掘工

由角平分线的性假可得口/=口，Zjtv=90a.

川而AJ€^A.\C^（JSJ）,

故S②

品证巴边形一遷吃为正方形”

所氏他H-血=亦即舛_迹-2

At/LL-

切Ct=$正打仲如?

方袪二=如图，过&作m■丄处交防于点F.冨证ZZJCr=ZfiTf=45'・CQ=CF„QXA厶戡F

所以△血也ZSQLJ5J）

所以S広CD~FF,

甬以\uto+比心=片讣=-（）（-.

【拓展】如图，兰乙DCE的一^与舶的延长线交于点Z?

时，则*

（1）CD=CE\

（2）OE-0D=41OC^

如图.证明同上+

方迭二如匡，叹血为一边作ZFCO=^,交空于点穴则为等边三角形.易证△Dig鱼ECF（討胡）.

所以CD=CE・时库二0F=DC、

SLac+Ska:

*=5Lb=——OC*

4

【拓展】如图，当/磁的一边与図的延长线交于点疋时，则;

⑴CD=CE^

（2）QD_址=g（3）5.^-S—OC:

4

如图.证明同上"

全等型之“任意角"

如图，GOB三2住，^DCE^180°-2（y,PC平分乙迦贝山

Cl）CD=CE\（.2）&）+便=20C・心8庄！

（3）S^=OC^sin（7cos

证明：

方法一：

如图，过点「分别作少丄加口丄0吕垂足分别为M.V

易证也］皿鸟疋（4短）

■'■CD=CE,OD^OE=2Qy=2OC-casff

■'-^cr+ic=2Sioc=OC"-sinffcosU

方4J-：

如图，以£0为一边作ZFC0=Y^~2（X,交厨于点F

/?

易证△DCZ'EC心SD

CD=CEt必+0E=0F=20C、za

二氐临+S二k=£血=OC"-sinCtcosa

【拓展】如图，当厦处的一边与於的延长线交于点占时，贝!

：

（1）CD=CE\（戈）0D-QE=20C・cosOr;（3）—=OC'•sin（7cos如图*证明同上

—、等边三角形

L已知’4ABC是奪边三角形，Zl+^2=120°,求证：

Zl=Z2=60°.

2•已知；AABC是等边三角形・4=60S求证*Z2=60°,

3•己知：

Zl=Z2=_BAC=60°P求证；AABC是等边三角形.

4.已知：

Zl=Z2=Z3=60°,求证;：

aABC是等边三角形.

-＞等腰直角三角形（对直角型）

5.已知=AABC是等腰直角三角形，zl1+Z2=90°,求证：

Z1=Z2=45°.

8•已知tZ1=Z2=Z3=45%求证，AABC是等腰直角三角形.

三、等腰直角三角形（对45。

角型）

9已知：

AABC是等腰亶角三企形，厶1十厶2=13旷，求证’厶1=4护.

Q•已知*AABC是等■腰直角三角形，21=45^,求证IZ2=90^

•通型忌结】

对国互补模型经常在哪里题目里岀现，題目中有哪些提不信息？

经鬃和哪种團也同时出理W

【例1】四边形儿必血被对角统用）分为尋腰宜角三鱼形4附）和直角三角琢创,其中

ZA和厶r都是直角.另一杂对闻线八「的长度为「求四边形m的面和.

【例2】已知】点尸是WOV的平分线二的一动点，射线P\交射线OM于点/I,将射线PA绕点P逆时针能转交身擞ON于点B,且使厶PR+纠ON=180=.

（1）刑用图1；求证：

PA=PHi

（2）如圈1,若点厂是初与疔的交点.当UmS时.求阳与尸Q的比

【例3】（初二期末）己知】虹图’在二他中，-W=AC,^SAC=a,且❻c

対AA//C內部一点,且PC二AC._W120°-a.

Cl）用皆《■的代数式表示么兀，得A\PC=5

C2）求证t"AUf

⑶求上咖的慶数.

1已知宜甫梯左ABCDrAD/1BC,厶=9#ZEBF=Zc

⑴当ADzABT:

"时.如圈1所示.求证IDE^DF=BC：

⑵L为Q:

AB=1丄2匸=4空时，如图2斯示，则线段工疽.DFrBC之阖的数星壬至〕

⑶一在⑵的条件如團j折示.若AB=2时，连接At壮旦若AF与BE交于点M当ZAFM=45CHl束线股口射长羽

创2.R^I=AABC中.ZAC0-9O&ZB-301'点P为边_AB丄的-鼠ZEPF-WPF与辺AU交丁点FPE与边BC■交于点.F设APPB=^

⑴如图1,当&=丄时.贝hAF-BE=-!

-AB

32

⑵却图二当A-1（经段Af、BE、AB的数董壬茅酣.

⑶连㈡的条?

T7,如團乩苣丧5EF立干点K.将FP沿着EF对称.时杯匚与CP交于点M连接ME.若AO*当MEDFPEl.敦unWCEM啟值

例圭叩團1,正育册ABQD中，P为边延线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平片线交边DC于hl,SliBC于Q・交边AE的延长銭于N

（1）求证DAMN.

⑺若PC：

咼=3那么线段QF.WQNf的敖至关系为

（3）

如图2,连整B0MP.绕着点P握耨/CPM・角的蘭边分别交ifiAB.AD于点H、K・交边CD二点氐当四边形DBQM的面轴0*MR；RC=1；20t.求.

例2如團1,将一个直诸三角板的宜角顶点戸枚在正方形丄艮加的对旬线劭上精动*笄使其一争直角边始终经过点A,另一圣直角边弓弓厂相交于点F.

⑴求讦；PA=氐

◎如图乙将⑴中的正方形变为矩矽具余不变，且肋=L6ED=&求朋圧的值；

①如图,在②的聚件下，当尸涓动到於的延长线上时，H尸；恋的值是否岌生变牝？

解；⑴如團■!

过点尸分别作功丄撫丹丄比垂足分别为MX

则F]f=P^二1FL9o°’由已知条件可得£APE=^s所以厶机旷乙毋I；所以△.捉回△刖：

故圧

MC国4

⑵如图5，过点尸分别作刊丄期，PXLBU垂足分别为M.V.则fulfilAD,PXllCD.所以△BP.^ABDA,AAV^A^.可得巴=空=空,所以空=也=2.

ADBDCDPNCD4

易证bQSbEF,所以兰=—=1+

PLFN4

4D

SENC

團5

⑶胪厅的值不变.［如图’理由同②］

册備训竦

L.如图.四边刑妙£刀被对角线於分为等膜RtA.4^和肮A⑻，其中Z£49利郡是

直角，另一条对角线北的长度为厶则四边形寸较的面积为*

第1趣图

答薬：

凹边花一站⑦的面和为2.

【提示】易IEJxB.aD四点共圖「则£BC\=/BH4=Z,4SD=/ACD.由“全導型之‘如°"

的结论可得-AC-2.

r

2.在厶AB=ACt3=材,。

杲区边的中点，,毋与莎边相交于点£DF^AC边（或一上边的述快线）相交二点F”

（1）如凰1,疔与“边相交于点”求证；BE+CF--ABi

2

以如图A梅图1口的"蔭热点/?

顺时针腿转一定的甬度，使庐与皿;边的延长线交于点

F、作DX1AC于点応若讯土贰求证.BE+CF=g（宓-仞・

【提示KD过点①作ZV/M交.0于点&证Az®從心肿C从而CF=BE^^=BG=-^B-

得EH=CF-则DH=DF=DE,）k而EE+CF=EE=J5DE=75xV5创-2处;折以歴+CF=J5

（眩W

帚在菱形個刀中，两条对角线」匚劭相交于点a^bcd=ieofl,厶应丫绕点o

旅转.射线环交无于点反射线7V交⑷于点E连結朋

⑴如图丄，当旳，A砂的形状?

ms2,当ZJ^6O°时，请判断"F的形弑，井说明lii;

国如图缶在⑴的条件将厶畑的皿点移咖到加的中克/处，厶直H•绕虑0施转，仿（8足乙wn+z：

现②-垢『,余线a」展直线区于点匚鸵线&$交言线仞于点e当氏=4i月九■'；疵时，求圧的长.

匕泣加zE

薈荡⑴等腰直角三角龄0）△型是等边三角开办G）线段证的长为3苗七或-乳

【揑示】ffli“全竿型之7加・皿的结论可得OE=c^BW种惰兄如图：

课后练习:

如图，£AOB=^*,咖平^£AOBy将直角三角板的皿点尸在射SOM上移动，两盛

箱边分别OA.◎厅相空于点GD,问尸U与私I相等吗？

试说明理由.

2己知平行囚边形盒BCD,ZCYW点F分別为Qr3上两点

⑴.如囹1,当AB=BC时「求证"CT-AE-BCp

（Z）如图匕当AB^-BC时，线段；CF.AE、BC三者之间有何数量关系；

L尊边△ABC申.BH为AC边上的鬲点#対AB边中总^EPJ--90此角的苟边与AC边窘于点匕骂為BH交于点E.

⑴如團I,求证rH-V3b^2ab

（2）^32.则践段E、BE.AB之佃滴足的关察戎为；

卩也團3「在⑵件T连推EF・宜纯EF^BC交T占N「瘠F菁治着FP对枫对称洁与启B交千点MAC=4?

AMBM=1<£1.求BN

AB

作EHflBCX于点H探究囲、DE、肛之间崗毅重矢系为

k己Mb矩形AEB中凹-扎，点fF分别在CD、CB上运敢且?

/£V□（角U为琥角），过E

（1）当K-V3*a-45*D1,

（?

）当^=\3»（1=60011

（；\当±2=xg-（t—3（J011

2.如国：

己刊四过形PEGD中兰二>ZOA3=ZBCD=907■点"卩分别在OhGB上隹动.且？

EIPa

AH

（甬口为禅曲）■过E柞EM0BC交AF于占乩尿究Ef、DE*ME之间的数量关離为.

1.已知13边形ABH中:

，AD”EC,AB41C,心皿二曲：

，点FBCD边—运动（点E口B二阳点不童合）

Cl）若ZM^Od（如團1）,帕=ZAB・Ze?

\F=45\求证；rr+SBE^FG

⑵若三旳司5。

・血图刃、A&^DfZZEAF=3（A!

MdF\BE、旳的数肯关荼为.

（3）在：

口旳来住丁（如區3）rr：

佃电女线前立直线BG于点;H・求剧的艮—

2已知’四逊形一4BCD中，ADi\BC,AfrC[>kAD.ZB®=ZADG点E在CD边上运訪（点E与C>DW点不重音）.将应绕点内顷时针庭转30*后勻BC边交于点叭过点E作則『氏交AF于点汕

：

1）若k=d41匸血依匚圉罕求证:

LG+BF二丄皿

■Ri

•丘

C2）若k-1,细I匸0孩口團力，则第段DE、醸、陋的数量关糸为

2

（3）弁（D的条件下.若CE吨.aEN“，求ME的长.

1一已狐在正冇总ABCD中.P为苴线Q二一点，连按BP,SBP皆底边年等睹直帛三角影山P共E：

连接AE

⑴如图］,当点P在线段AD上时，求证’AB7P=J7a£:

⑵如图丄当点P在議决DA*延桧线上时.紜段AB-AP.AE的数童关系是一

⑶在⑴的秦件下.连点AfkATZlPE.AF交日匚的証丘线于氈此^匚低EDCF的平分粽交X干摄訂.若丸24_四嗔毎PHFA的反材为仁求疑股rH的卡

£已知等边三角形ABC，点D为E匚西口讯^NDM-LJO"两边廿别交直线AGAB分别于点XI、N.（I）如图h求证；MC-1AB-BNi

2

⑵如圈2,MC.AB.EN的嗾童关斋是!

U）宅：

2?

詢条件下，＜ZNDi1的两边DM、DN分别反向延长’交AB・AC■的延长践分剧干点E*t,连提El■若BH=L・LX1=2,求EF的长*

图：

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