多元统计分析毕业论文.docx

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多元统计分析毕业论文

摘要

保险公司为了应对保险监管，更好的规避风险，追求更大利润，不仅会对自身承办的业务进行再保险安排，还会将盈余进行投资，以期获得更多收益。

现实中，保险公司的损失主要来自承保赔付和投资亏损两个方面，比如地震、航空事故带来的巨额赔付，金融危机带来的投资损失等。

在这种情况下，分析再保险及投资的最优策略，对于保险业来说具有十分重要的意义。

论文针对保险公司的最优再保险策略及投资策略的选择问题进行研究。

重点研究了变换损失再保险及CEV模型下的最优再保险和投资，研究使得调节系数最大准则下最优变换损失再保险，以及在对应不同的效用准则时的最优比例再保险和投资策略，并利用数值计算的方法分析了多种参数对最优策略的影响。

矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。

关键词变换损失再保险；随机控制；效用函数；最优投资

Abstract

Inordertoobtainmorebenefitsandinresponsetoinsuraneesupervision,betterrisk-averse,thepursuitofgreaterprofits,insuraneeeompaniesnotonlyonitsreinsuraneearrangementthehostingbusiness,therewillbesurplustoinvest,.Inreality,insurers'lossesfromunderwritingeompensationandinvestmentaspects,suehasearthquakes,airaeeidentseausedbyhugepayments,investmentlossesfromthefinaneialerisis.Inthisease,theanalysisofoptimalreinsuraneeandinvestmentstrategy,hasveryimportantsignificaneefortheinsurane聞.創沟燴鐺險爱氇谴净。

Aeeordingtotheinsuraneeeompany'sproblemofseleetingtheoptimalproportionalreinsuraneepolieyandinvestmentpolieyarestudied.Theartielefoeusesontransformation-lossreinsuraneeandoptimalinvestmentandreinsuranee.AndunderCEVmodel,theartielestudiedundertheeriterionofmaximumadjustmentfaetorsforoptimaltransformlossreinsuranee,andtheeffeetivenessofdifferenteriteriafortheoptimalproportionalreinsuraneeandinvestmentstrategy,andusingnumericalmethodstoanalyzetheinflueneeofvariousparametersontheoptimumstrategy楼諍锩瀨濟溆塹籟。

KeywordsTransformlossreinsuranee;Stochasticeontrol;Utilityfunetions,optimalinvestment酽锕极額閉镇桧猪訣锥。

摘要摄尔霁毙攬砖卤庑。

Abstract謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。

第1章绪论厦礴恳蹒骈時盡继價骚。

1.1课题背景1桢广鳓鯡选块网羈泪。

1.2国内外研究现状鹅娅尽損鹤惨歷茏鴛賴。

1.3论文主要内容籟丛妈羥为贍债蛏练淨。

第2章基础知识預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。

2.1一般风险模型渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。

2.1.1经典风险模型拔誅卧泻噦圣骋贶頂廡。

2.1.2扩散风险模型8擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。

2.2再保险及投资贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。

2.2.1常用再保险方式9坛搏乡囂忏蒌鍥铃氈淚。

2.2.2投资资产蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。

2.3基本理论1買鯛鴯譖昙膚遙闫撷凄。

2.3.1最优准贝U1綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴。

2.3.2最优随机控制理论13區踬髏彦浃绥譎饴憂锦。

2.4本章小结1猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。

第3章最优变换损失再保险17锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。

3.1模型介绍1構氽頑黉碩饨荠龈话骛。

3.2数值计算2輒峄陽檉簖疖網儂號泶。

3.3本章小结2尧侧閏繭絳闕绚勵蜆贅。

第4章CEV模型实例分析2羽饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。

4.1模型及方程2凍鈹鋨劳臘错痫婦胫籴。

4.1.1CEV模型2恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。

4.1.2HJB方程2鯊腎鑰诎漣鉀沩懼統庫。

4.2指数效用函数对应的最优策略25页癘鄴顽诌攆檸攜驤蔹。

4.2.1最优策略及其值函数25«擻轅嬪諫迁择植秘騖。

422数值计算及其经济分析

27氬嚕躑竄贸恳彈濾颔澩。

4.3幂效用函数对应的取优策略

30±鹆資贏車贖孙滅獅赘。

4.3.1最优策略及其值函数.•…

3怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。

4.3.2数值计算及其经济分析.

3@辞調担鈧谄动禪泻類。

4.4对数效用函数对应的最优策略

37嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。

4.4.1最优策略及其值函数..…

37熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。

4.4.2数值计算及其经济分析.

39鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。

4.5本章小结

.4纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。

结论

..42刍莖峽饽亿顿裊赔泷。

参考文献

J.I濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。

致谢

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未定义书签。

銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。

附录1开题报告

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未定义书签。

挤貼綬电麥结鈺贖哓类。

附录2文献综述

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赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。

附录3中文译文

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未定义书签。

塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。

附录4外文原文

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未定义书签。

裊樣祕廬廂颤谚鍘芈蔺。

第1章绪论

1.1课题背景

对于保险公司来说，风险是一把双刃剑，处理得当就意味着滚滚利润；一旦失手，公司将陷入破产深渊。

为了能够持续盈利，更为了永久生存，保险公司一方面会逐步完善风险管理的技能，以避免灾难性的损失，同时也要

不断拓展业务，进而承担了更多的风险。

再保险实务中，由于保险行业竞争日趋激烈，保险公司不仅会采取再保险的方式规避风险，还会对盈余进行投资，从投资中获得大量的收益来提高自己的偿付能力。

仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驚。

再保险实务中，保险业遭受的损失主要来自于投资和承保两个方面。

在

投资方面，2008年美国次贷危机以及其后引发的金融危机中，全球最大的保险公司美国国际集团（AIG）由于采取了激进的投资策略，在次贷支持类债券、信用违约互换和其它衍生品方面进行了大量投资，蒙受了巨额亏损，陷

入了破产的边缘，不得不向美联储求救；在承保方面，次贷危机使得董事高管责任和错误遗漏保险、住房按揭保险、债券保险等业务的赔款支出显著增加，许多公司陷入困境。

另外像2010年的玉树地震及今年的马航事件等不确定的巨额赔付也给保险公司带来不小的挑战。

保险公司在强化自身的风险管理能力同时，还必须平衡承保活动和投资活动之间的关系。

因此，怎样进

行再保险和投资，使得自身的破产概率最小或者期望财富效用最大已经成为每个保险公司都必须面对的问题，也成为风险理论的一个新的研究热点。

绽

萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧。

保险公司的最优再保险和投资策略是当今金融数学研究的热点问题之

一,它的理论不仅丰富和发展了现代金融理论，而且也沟通了各个数学分支与金融保险学之间的联系，对数学的发展起了不小的推动作用。

论文就有关保险公司的再保险策略及最优投资策略的研究现状和研究方法进行综述。

骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙。

1.2国内外研究现状

再保险数学，也称精算数学的范畴内，破产论是风险论的核心内容。

现

已公认，破产论的研究起源于瑞典精算师Lundberg在1903年发表的博士论文，至今已有近百年的历史。

Stockholm学派的领导人物Cramer在完善Lundberg的数学工作中发挥了重要的作用，同时也从这一研究出发，对概率论和数理统计的发展做出了重要贡献。

之后Feller（1971）推广了Cramer（1955）的结果，给出了更新论证。

Gerber（1969,1970）也推广了Cramer的结果，给出了用鞅方法研究破产问题。

继Cramer后，Gerber成为当代研

究破产论的领先学者。

他不仅将鞅方法引入到破产论的研究中，而且深化了

经典破产论的研究内容。

虽然经典Cramer-Lundberg模型近似于保险公司的现实状况，但在经典Cramer-Lundberg模型中，很多问题无法得到确切的显式解，因此近年来，很多文献将其近似为扩散模型，且当保险公司盈余过程相对于单个理赔来说较大时，扩散风险模型也确实能很好的模拟保险公司的动态盈余过程。

Brown（1995）研究了扩散风险模型的最优投资问题，他在股票价格服从几何布朗运动且与保险公司的扩散风险模型中的布朗运动不独立时，得到了在破产概率最小限制下的最优投资策略是常数，并利用光滑粘贴条件详细计算了最小破产概率⑴°Schmidli（2001）研究了扩散风险模型中的最优比例再保险策略，他得到了此时的最优策略是一个常数，并给出了此常数值以及破产概率的具体形式。

Taksar和Markussen（2003假定公司现金流过程为扩散过程，公司盈余全部投资于股票市场（股票价格服从几何布朗运动）时，在破产概率最小限制下保险公司所采取的最优比例再保险策略。

Hojgaard和Taksar（1997考虑了扩散模型中，在预期折现红利收益最大限制下的最优比例再保险策略。

瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉。

对于再保险问题的研究工作，一般主要集中在比例再保险和超额损失再保险的研究上。

Schimidli（2001）分别研究了此模型下的最优比例再保险策略和超额损失再保险下的最小破产概率的Cramer-Lundberg近似。

Hipp和

Vogt（2003）研究了最优超额损失再保险⑵，且证明了相应的HJB方程存在光滑解，并给出了HJB方程的检验定理，对指数理赔分布Pareto分布给出了

数值解。

鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類。

近年来，效用函数的研究成保险数学的研究热点之一。

Yang和Zhang（2005考虑了跳-扩散风险模型的最优投资问题⑻。

他们考虑的是指数

效用函数，获得了最优的期望折现指数效用，和最优的投资策略。

他们的唯一不足是没有考虑再保险。

当然保险公司可以在采取再保险策略的同时采取投资策略。

Liang（2008）研究了最优再保险和投资问题，在指数效用下，他得出了投资总比不投资好的结论。

并给出了一些参数对最优策略和值函数的影响。

Guo和Bai（2008）研究了多个风险资产的最优再保险和投资问题。

在指数效用函数下，获得了最优再保险和投资策略以及值函数⑷。

Irgens和

Panlsen（2004把风险资产推广到服从跳-扩散过程，在指数、对数、幕数对应效用函数下给出了最优的再保险和投资策略以及值函数。

栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬。

描述投资的风险资产价格的模型越来越复杂，也越来越贴近市场现实状况。

Browne（1995）使用的是几何布朗运动（GBM）模型；Cox和Ross（1976则首次提出了常数弹性变差（CEV）模型，Cox（1996），Detemple和Tian（2002），Jones（2003，Gao（2009）都是使用CEV模型来描述风险资产的价格；而Cox-Ingersoll-Ross（1985）提出了CIR模型；Liu（2001）则使用了Heston模型；Li和Wu（2009）则考虑了既有随机利率又有随机变差的模型等等[5]。

其中

CEV模型可以看作GBM模型的一个推广，相对而言它具有较强能力去捕捉到隐含波动性的倾斜度，且分析更易处理。

辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应。

肖艳颖（2002）在《用组合投资理论确定最优比例再保险的一个方法》

中，运用组合投资理论的均值方差原则，分析了保险公司规避风险的问题⑹。

针对比例再保险的不同险种，建立了多目标规划模型并求解，确定了最优自留比例，并将实行再保险后的期望收益和方差与实行前进行了比较，认为结

论适合于风险厌恶型的决策者，并对风险分散在证券市场与保险市场的差别进行了比较分析。

峴扬爛滾澗辐滠兴渙藺。

程兰芳（2003）运用证券组合投资的基本原理和概率论知识，对保险公司承保的不同险种选取最优的自留比例再保险决策问题建立了两类数学模型，特别是构建了确定等价收益和单位风险下的超额收益最大化模型，并通过实

例说明对风险规避型的决策者采用比例再保险是有利的[7]。

詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜。

沈亚男（2012）在《赔付率超额再保险风险模型中的鞅方》中，基于研究

已有的再保险风险模型，建立一类带有干扰项的赔付率超额再保险Poisson

风险模型，利用鞅分析的方法证明其破产概率仍满足Lundberg不等式和一般公式，对再保险风险模型进行讨论并对其完善⑹。

则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷。

田伟（2005）在《溢额再保险定价模型》中，以随机过程为基础，与传统的以概率统计为基础的再保险定价方法有明显的不同，不考虑死亡率，损失

的概率分布等因素，针对溢额再保险，建立了其定价的随机微分方程，给出了具体的定价方式。

溢额再保险是分出公司将与自身财力相适应的保险责任按照保险金额的一定金额作为自留额。

以自留额的一定倍数作为分出额，并分别按照自留额和分出额对保额的比例来分配保费和分摊赔款的一种再保险方式［9］。

胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻。

罗琰（2009）在《保险公司最优投资及再保险策略》中，研究保险公司的最优投资以及成比例再保险问题，即运用随机控制理论，分别在最大化生存概率准则及最大化终止时刻期望效用准则下，得到保险公司最优投资及再保险策略。

特别通过选择适当的外生参数（投资者绝对风险厌恶Arow-Pratt系数），以证明这两类准则下的最优投资及再保险策略是一致的［10］。

鳃躋峽祷紉诵

帮废掃減。

刘琳（2011）在《停止损失再保险最优自留额的确定及存在性讨论》中，利用效用理论讨论了确定停止损失再保险中的最优自留额的数学模型及由模型所确定的最优自留额的存在性问题，给出了最优自留额存在且唯一的充要条件［11］。

稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜。

该领域需要进一步研究的问题还很多，不同的理赔分布会对应不同的破产概率和不同确定时刻的预期累计收益，故可从理赔分布方面来研究；不同的效用函数会对应不同的确定时刻的预期累计收益，也可从效用函数方面来

研究；还有不同的风险资产模型也会对破产概率和确定时刻的预期累计收益产生影响，从而形成了许多不同的研究方向。

市场中常见的股票价格模型有很多，如：

多维扩散模型，跳扩散模型，随机波动率模型等，故还可从不同的股票价格模型来进行研究。

总之，最优再保险及投资问题仍然是一个亟待解决的问题，论文将在这方面的一些分析研究。

陽簍埡鮭罷規呜旧岿錟。

1.3论文主要内容

本文主要研究了保险公司最优再保险及其投资策略的选择问题，重点研

究了变换损失再保险和CEV模型对应的最优再保险及投资。

分析了调节系数最大准则下的最优变换损失再保险，以及在不同的效用函数下最优再保险及投资的策略，同时分析了各个相关参数对最优策略的影响。

沩氣嘮戇苌鑿鑿槠

谔應。

论文分为五章，其主要内容如下：

第一章是绪论，主要介绍了再保险研究的背景和现状，以及论文的主要内容。

第二章是基本概念和理论，主要介绍了一般的风险模型，再保险及投资的方式，常见的两种最优准则，以及随机控制理论等相关基础知识。

钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺。

第三章主要研究了采用调节系数准则时的最优变换损失再保险，给出了一种确定分保函数参数的计算方法，并对不同方式的再保险进行了比较，为保险公司选择再保险方案，提供一定的理论依据。

懨俠劑鈍触乐鹇烬觶騮。

第四章主要研究了采用不同的效用准则时，最优再保险和投资策略如何确定。

通过求解对应的HJB方程，给出了最优再保险、投资策略以及最有期望财富效用函数的数学表达式，分析了最优策略与各参数之间的关系。

謾

饱兗争詣繚鮐癞别濾。

第五章是结论，主要总结了论文的主要工作，分析了存在的不足。

第2章基础知识

2.1一般风险模型

假设所有的随机过程和随机变量都定义在概率空间（JF,P）上，且在概率空间（'\F,P）上有一个满足通常条件的匚-代数F:

F=｛Ft,t_0｝是右连续的，且F0包含所有的零测集。

呙铉們欤谦鸪饺竞荡赚。

2.1.1经典风险模型

在经典风险模型中保险公司在时刻t的盈余可由下式给出

N（t）

U（t）=uct-Xk,t_0，

k=1

其中u_0表示保险公司的初始资本；c0是保险公司单位时间的保险费率。

N（t）表示到时刻t为止总的索赔发生次数，｛N（t）,t_0｝是参数为’（■・0）的泊松过程。

｛Xk，k=1,2,-｝是一列独立同分布的正值随机变量，其共同分布为G（x），G（0）=0,期望值为，E（Xk）,Xk表示第k次赔付的大小。

U（t）表示保险公司在时刻t的盈余，由于未来时刻的盈余是未知的，因此｛U（t）,t0｝

是一个连续时间的随机过程。

考虑到实际运作中的安全保险公司还要求莹谐

龌蕲賞组靄绉嚴减。

N（t）

E（ctXk）=（c」亠）t0,t一0，

k=1

设c=（1v）…i，其中二0,称为相对安全负载。

实际操作中费率c的确定有很多准则，主要的准则有：

N（t）

（1）期望准则：

ct=（1j）E（Xk）厂0

k=1

N（t）N（t）

⑵方差准则：

ct=E（7Xk）•N（、Xk）,「0

k=1k=1

用来描述赔付大小Xk的分布主要有下列几种：

（1）指数分布，保险中作为赔付的最基本的分布，分布密度为

f（x）=出半

14

其中参数+既是数学期望又是方差，矩母函数为M（t）（t。

指数

…t

分布的无记忆性是它成为主要赔付类型的重要原因

（2）

：

"2—（X°）

帕累托分布，其分布密度为

f（x）d+x）

其中参数00，可记为Pareto（〉，J。

帕累托分布的数学期望为

E（X）^,：

•1;方差为Var（X）2,

a-1（a—1）（a-2）

（3）

对数正态分布，其分布密度为

f（x）=—e

▽x72兀

对数正态分布的数学期望和方差为E（X）=e

Var（X）二e22（eF一1）。

（4）伽马分布也常用来分析风险的异质性，其分布密度为

f（x）=e"（x>°）

W）

其中参数■・0，八・0，-（〉）=ox^e^dx，记为GammaC；）。

伽马分布

t

的数学期望和方差为E（X）二一，Var（X）二飞，矩母函数为M⑴=（1-丄）三。

/u/u/u

特别的，当:

=1伽马分布就是以•为参数的指数分布

2.1.2扩散风险模型

为了使盈余函数具有连续性，我们可以用标准布朗运动逼近赔付过程

N（t）

Xk，得到扩散风险模型中保险公司在t时刻的盈余麸肃鹏镟轿騍镣缚縟糶。

k二1

U（t）=u+~t+匚W

其中U（t）表示保险公司在时刻t的盈余，u表示保险公司的初始资本，~是保险公司单位时间的保险费率；Wt为一标准布朗运动，二为一常数。

納畴鳗吶鄖禎銣腻鰲锬。

另外需要指出的是，扩散风险模型在大的保单中可以更好的逼近经典风险模型，因为此时单个赔付额相比整个盈余要小的多，而且它们之间有如下关系存在：

風撵鲔貓铁频钙蓟纠庙。

22

c=c-E（X），二=E（X）

2.2再保险及投资

2.2.1常用再保险方式

再保险就是保险公司对投保人的风险向再保险公司进行保险。

保险公司

支付一部分保费给再保险公司，再保险公司分担投保人的索赔要求。

当第k（k=1,2,…）次索赔发生时，我们用Xk表示原保险公司应给投保人的赔付金额；Yk表示原保险公司实际赔付金额；Zk表示再保险公司赔付金额，则有

Yk+Zk=Xk。

灭暧骇諗鋅猎輛觏馊藹。

N（t）

原保险公司支付的累积理赔Y（t）='・Yk，—般称为自留额。

k=1

常用的再保险方式有如下三种：

（1）比例再保险：

原保险公司与再保险公司按一定的比例分担赔付金额。

即若假定原保险公司承担比例为a（0_a_1），则有铹鸝饷飾镡閌赀诨癱骝。

Yk二aX「Zk=（1-a）Xk

（2）超额损失再保险：

每次赔付时，原保险公司在没有超过再保险合同中约

定的自付额时全部赔偿，在超过再保险合同中约定的自付额时，再保险人就超过部分负责赔偿。

即若假定自付额为b,则有攙閿频嵘陣澇諗谴隴泸。

Yk二min（Xk,b）,Zk二max（Xk-b,0）

（3）变换损失再保险：

原保险公司先进行超额损失再保险，再进行比例再保险。

即如果假定超额损失再保险自付额为b,比例再保险原保险公司承担比例为a,贝U有趕輾雏纨颗锊讨跃满賺。

Z（X）二a（x—b）,0：

：

a辽1,b—0

变换损失再保险中0：

：

：

a乞1,b一0中的等号不同时成立。

此外再保险方式还有：

一段确定时间内k个最大理赔的再保险，盈余再保险和联合再保险合约等等［12］。

2.2.2投资资产

保险公司将盈余投入金融市场，在金融数学中最重要最成功的模型就是Black-Scholes模型。

假设金融市场只有两种资产可供交易，无风险资产

（比如债券）和风险资产（比如股票）[13]。

夹覡闾辁駁档驀迁锬減。

无风险资产在时刻t的价格B（t）满足以下常微分方程

dB（t）二rB（t）dt

其中r0是无风险利率。

风险资产（股票）在时刻t的价格为S（t），有各种随机模型可以用来描述S（t）。

我们给出一般形式的微分方程

dS（t）二S（t）[m（t,S（t））dt+n（t,S（t））dW（t）]

其中m（t,S（t））表示风险资产的预期收益率,n（t,S（t））表示风险资产的波动率。

｛W（t）,t_0｝为标准布朗运动。

在论文中，我们对连续时间的金融市场模型作标准性假设，即允许连续交易、在交易中不含交易费用和税收、所有资产都是无穷可分的。

视絀镘鸸鲚

鐘脑钧欖栃。

2.3基本理论

2.3.1最优准则

保险公司在进行再保险及投资过程中，都有自己对收益与风险的偏好程度，即存在各自关于收益与风险的最优准则。

论文主要介绍两类最优准则：

偽澀锟攢鴛擋緬铹鈞錠。

（1）风险最小准则