直线与方程专题复习上课讲义.docx
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直线与方程专题复习上课讲义
直线与方程专题复习
专题复习直线与方程
【基础知识回忆】
1.直线的倾斜角与斜率
(1)直线的倾斜角
1关于倾斜角的概念要抓住三点:
i•与x轴相交;ii.x轴正向;iii.直线向上方向•
2直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为
3倾斜角的范围.
(2)直线的斜率
1直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量,它们的关系是
2经过两点Pl(X!
,y!
),P2(X2,y2)(X!
X2)两点的斜率公式为:
k
3每条直线都有倾斜角,但并不是每条直线都有斜率。
倾斜角为_的直线斜率不存
在。
2.两直线垂直与平行的判定
(1)对于不重合的两条直线Ii,l2,其斜率分别为k「k2,,则有:
ll〃l2;Ill2
(2)当不重合的两条直线的斜率都不存在时,这两条直线;当一条直线斜率为
0,另一条直线斜率不存在时,两条直线.
3.直线方程的几种形式
名称
方程形式
适用条件
点斜式
不表示的直线
斜截式
不表示的直线
两点式
不表示的直线
截距式
不表示和的直线
一般式
AxByc0
(A2B20)
注意:
求直线方程时,要灵活选用多种形式•
4.三个距离公式
(1)两点只(人,浙),卩2匕2°2)之间的距离公式是:
|PlP2|•
(2)点P(x0,y0)到直线l:
AxByc0的距离公式是:
d.
(3)两条平行线l:
AxBy&0,1:
AxByc?
0间的距离公式是:
d.【典型例题】
题型一:
直线的倾斜角与斜率问题
例1、已知坐标平面内三点A(1,1),B(1,1),C(2,..31).
(1)求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角.
(2)
D.k1 若D为ABC的边AB上一动点,求直线CD斜率k的变化范围. 例2、图中的直线11、12、|3的斜率分别为k1、k2、k3,贝U: A.k1 例3、利用斜率证明三点共线的方法: 若A(—2,3),E(3,—2),C(0,m)三点共线,则m的值 为. 总结: 已知A(x,yJ,B(X2,y2),C(X3,y3),若花x? X3或kABkac,则有A、B、C三点共线。 例4、直线I方程为(a1)xy2a0,直线I不过第二象限,求a的取值范围。 变式: 若AC0,且BC0,则直线AxByC0一定不经过() A•第一象限B.第二象限C•第三象限D•第四象限 题型二: 直线的平行与垂直问题 例1、已知直线I的方程为3x4y120,求下列直线I的方程,I满足 (1)过点(1,3),且与I平行; (2)过(1,3),且与I垂直. 本题小结: 平行直线系: 与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxByG0 垂直直线系: 与直线AxByC0垂直的直线方程可设为BxAyC20 变式: (1)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0平行的直线方程 (2)过点(1,0)且与直线x-2y-2=0垂直的直线方程 例2、h: mxy(m1)0,J: xmy2m0,①若h//J,求m的值;②若I」J, 求m的值。 变式: (1)已知过点A(2,m)和B(m,4)的直线与直线2xy10平行,则m的值为 () A.0B.8C.2D.10 (2)如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行,则系数a=( A.-3B.-6C.? D•彳 23 (3)若直线li: mxy10与l2: x2y50垂直,则m的值是. 题型三: 直线方程的求法 例1、求过点P(2,-1),在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。 例2、已知ABC三个顶点是A(1,4),B(2,1),C(2,3). (1)求BC边中线AD所在直线方程; (2)求AC边上的垂直平分线的直线方程 (3)求点A到EC边的距离. 变式: 1.倾斜角为45,在y轴上的截距为1的直线方程是() A.yx1B.yX1C.yx1D.yx1 2.求经过A(2,1),B(0,2)的直线方程 3.直线方程为(a1)xy2a0,直线I在两轴上的截距相等,求a的方程; 4、过P(1,2)的直线I在两轴上的截距的绝对值相等,求直线I的方程 5、已知直线I经过点P(5,4),且I与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线I的方程. 题型四: 直线的交点、距离问题 例1: 点P(-1,2)到直线8x-6y+15=0的距离为() A.2B.丄C.1D.7 22 例2: 已知点P(2,-1)。 (1)求过P点且与原点距离为2的直线I的方程; (2)求过P点且与原点距离最大的直线I的方程,最大距离是多少? (3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线? 若存在,求出方程;若不存在,请说明理由。 例3: 已知直线h: ax2y60和直线l2: x(a1)ya210, (1)试判断h与I2是否平行,如果平行就求出它们间的距离; (2)L,丄J时,求a的 值。 变式: 求两直线: 3x-4y+仁0与6x-8y-5=0间的距离。 题型五: 直线方程的应用 例1、已知直线丨: 5ax5ya30. (1)求证: 不论a为何值,直线I总经过第一象限; (2)为使直线不经过第二象限, 求a的取值范围. 例2、直线mx-y+2m+1=(经过一定点,则该点的坐标是() A•(-2,1)B.(2,1)C.(1,-2)D.(1,2) 圆与方程 222 1.圆的标准方程: 以点C(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程是(Xa)(yb)r 222特例: 圆心在坐标原点,半径为r的圆的方程是: xyr. 2. 点与圆的位置关系: (3)涉及最值: (4) 思考: 过此A点作最短的弦? (此弦垂直AC) 22 3.圆的一般方程: xyDxEyF°. C2IrJdE24F (1)当DE4F°时,方程表示一个圆,其中圆心22,半径2 DE (2)当DE4F°时,方程表示一个点22. 22 (3)当DE4F°时,方程不表示任何图形. 22 注: 方程AxBxyCyDxEyF°表示圆的充要条件是: B°且AC°且 D2E24AF° 4.直线与圆的位置关系: 222 直线AxByC°与圆(xa)(yb)r 3)dr直线与圆相交 有两个交点;弦长|AB|=2汀2d2 还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组 AxByC° X? /DxEyF°求解,通过解的个 数来判断: (1)当°时,直线与圆有2个交点,,直线与圆相交; (2)当°时,直线与圆只有1个交点,直线与圆相切; (3)当°时,直线与圆没有交点,直线与圆相离; 5.两圆的位置关系 (1)设两圆C1: (Xai)(ybi)ri与圆C2: (xa2)(yb2)r2 圆心距dGa2)2(b1b2)2 ① d 「1O 外离 4条公切线. ② d 外切 3条公切线. ③ r1 rdd □「2 相交2条公切线 ④ d r1r2 内切 1条公切线. 7 (2)两圆公共弦所在直线方程 圆 C1: 2X 2 y D1xE1y F1 ° 圆 C2: 2X 2 y D2xE2y F2 ° 则 D1 D2 X E1E2y F1 F2°为两相交圆公共弦方程 补充说明: 1若C1与C2相切,则表示其中一条公切线方程; 2若C1与C2相离,则表示连心线的中垂线方程 (3) 圆系冋题 ! 2 y D1xE1yF1 x2y2D2xE2yF2 01 (1) 补充 : ① 上述圆系不包括 C2; ② 2)当1时, 表示过两圆交点的直线方程 (公共弦) ③ 过直线AxBy 22 C0与圆XyDxEy F0交点的圆系方程为 2y DxEyF AxByC0 x2 2 为X 6.过一点作圆的切线的方程: (1)过圆外一点的切线: ①k不存在,验证是否成立 ②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,即 求解k,得到切线方程【一定两解】 例1.经过点P(1,—2)点作圆(x+1)2+(y—2)2=4的切线,则切线方程 为。 (2)过圆上一点的切线方程: 圆(X——a)2+(y——b)2=r2,圆上一点为(xo,yo), 则过此点的切线方程为(xo—a)(x—a)+(yo—b)(y—b)=r2 2222 特别地,过圆Xyr上一点P(Xo,yo)的切线方程为XoXyoyr. 例2.经过点P(—4,—8)点作圆(x+7)2+(y+8)2=9的切线,则切线方程 为。 7•切点弦 (1)过OC: (Xa)? (yb)2『外一点p(X0,y0)作。 。 的两条切线,切点分别为 2 A、B,则切点弦AB所在直线方程为: (X0a)(xa)(y0b)(yb)r 8.切线长: 若圆的方程为(xa)2(yb)2=r2,则过圆外一点P(xo,yo)的切线长为 d=..(xoa)2+(yob)2r2 9.圆心的三个重要几何性质: 1圆心在过切点且与切线垂直的直线上; 2圆心在某一条弦的中垂线上; 3两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线。 10.两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法 例.已知圆Ci: X2+y2—2x=0和圆C2: x2+y2+4y=0,试判断圆和位置关系, 若相交,则设其交点为AB,试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。 【检测反馈】 (A)300(B)450(C)600(D)90° kk 2.过点E(1,1)和F(1,0)的直线与过点M(k,0)和点N(0,k)直线的位置关系是() 24 (A)平行(B)重合(C)平行或重合(D)相交或重合 3.过点(1,3)且垂直于直线x2y30的直线方程为()• (A)2xy10(B)2xy50(C)x2y50(D)x2y70 4. 已知点A(1,2),B(3,1),则到A,B两点距离相等的点的坐标满足的条件是(). 致是(). 的方程为 8.过点A(1,4),且纵、横截距的绝对值相等的直线共有( (A)1条(B)2条(C)3条(D)4条 9.已知直线l过点P(1,1),且被平行直线3x4y130与3x4y70截得的线段长为 42,求直线I的方程. 笫四草恻才方程 选择题 1-嵐Ci: F+F+2J+卽一8=0与圆G: -牧+4$-2=0的位置关系是(). A+相交B.外切C.内切D*相离 2.两圆x+j? 4x^2j+1=0与十]'十斗工一4》「】=0的公共切线有('. A.1条B.2条C.3条D.4条 3.若圆C与圆匕+2): *()-1卩=1关于原点对称,则圆C的方程是()■ A-G—2);+©+1卩=1乩仗一2卩+©—1卩=1 C+tc-1)1+O+2)2=lD.(x+lF+0—2卩=1 4.与宜戏/」=2x-3干彳亍,且与因*十卩一力一号‘十4=0相切世直线方程是()・ A.工*土詬=0B.2x~y+^=0 C+2x~y~Js=0D.2x-y±Js=0 5.直线x-y14—0被园"1,I4i・4jH百・D截得的弦«等于{)・ A.72B.2C,2^2D.4^2 亿一圆过圆? -b/-2x=0与直线i+2j-3=O的交点,且圆心在丁轴上,则这个圆的方程是()• A・+y2++y_6—0B・x2*#+4工一6=0 C.j? +y-2y=OD.x2十y-h4j十石=0 7,@F+y2-4r-4>-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与H小距离的差呈(八 A・30B・IEC,D.sTz Sh两圆仗一口)'+(y—0)'=,和(x—b)l+(y—。 )亠=丿相切,见I(), A.(a~b)l=rB.(a-b)1=lr1 U(卫十D.(a+i>)3=2r? P-若直线业v+—6向右平移1个单位长度再向下平務1个亘位.平^君写圖,十才=10相切,则E的值为()• A-14或-石B-12或-8C-3或一12D*◎或一[4 10.设A(3^九「・0.气).r(n.1.ok则励笊中点M到点「的葫离rv=()■ A.至R.53U返D一西 4222 二、填空題 1: .若直綾玄-知+12=0与两坐标轴的交点为厶2,则: 丿怨段佃为直径的凰的一毅方勧■ 12.已知直线工=住与圆tr-l]2+y=lW切「则金的值是. B.直线工=0被园疋十亍一应一即一山=0所截得的弓玄长为. 14.若吕(4,-7,1),B(6,2,g),|価|=11,则云=. 15.已知尸是fi^3i+4v+8=0上的动点,PA,材呆圆(r-l)? -(y-l)2=l 切线,A,E是切点,C是园心,则四边形刊切面积的最小值为. 三、解答题 16.求下列各圜的标准方程: (1)圆心在直线y=Q上・且园过两点A(b4)-£(3・2): : (2)园心在直统氏十丿=0上! 且風勻亘线;c十厂1=0切于点M〔2,-1) 1八棱长为1的正方依A3CD~Ai3\C]D[中,£是”如的中点*尸是万丑: 的中点,G是刘1的中点.试建立适当fit坐标系,并确定&F-G三点的坐标. 1B.园心在直线5x—列一$=0上的鳳与两坐标轴相切,求此园的方程. 19.己知圆匸: 仗―1尸十®—2卩=2・点尸坐标为条-I).过点尸咋圆匚的切哉・+*点为儿刃・ J)求直线恥PJ的方程* 位)求过P点的隔的切线怅; 辽)求宜线一仏的方程. 加・求与下轴相切,谢心C在宜绻抵一尸=0上,且截x~y=Q得的弦长为2V? 的回的方程. 参考答案 -X选择題 1・A 解祈: G的标准方程为&+1尸+W+4尸=贰半径打=5: 6的标准方程为注-2尸十(y+7)2=CjlO]2*半径乜=顶”圆心距d=彳241尸+(2—4卩=用* 因为G的圜心在C]内邹.且&=5<厲十£所以两圈相交. 2.C 解析乂因为两HI的标准方程分别Gt-2): +(y+l2=4t^.x+2)=+(y_2): =9t 所以两圆的圆心距d=J(2+2F十(一1—2尸-5・ 因为~2*ri=3f 所以川=『1+尸: =乩即两m外切*故公切线有{条” 3・A 解析: 已知圖的圆心是(-N1).半甩是1,戌求圆的方程是(1-2)? ±(j+l)--l. 和D 4,D 解析: 设所求直线方程为R|J2r-y4-&=0.Ifll分+旷一耳一4y+4=0的标准方程为Cr-1)3+(y-2)2=l.由I22401=】解漣*土运 V2: +l2 故所求直线的方程为2x-v±爲=0. 5.C {第«题 解析: 因为圆的标准方程为。 一2)「+0—2)「」2,显然直践戈-y十4-0经过圆心所以截得的弦长等于圆的直径故・即弦长等T迟 6.A 解析乂如医,设直线与己知园交丁厶B两点,所朮圆的圆心为C. 依条井可知过已社同的區]心与点C■的貢线与己知直线垂直.園为已知员I的标准方粽対山一1): 十尸=1,闵心为(1・。 )・所臥过点⑴0)巨与己知直线工十即-*0垂直的直线方程 为y=2x~2-令工=0,得G0.-2)- 联立方程r+j^-2r=0与工七y—*0可求岀交点川1・小故所京园的半径产=AC 所以所求圆的方程为X2十(>+2)1=10»即x2+v^2+4y-6=0. 7・C 解析: 因为圆的标准方程为&-2尸+少-2)2=6迈所以圆心为H=3返设圆心到直线的距离为出d=ll>r, 所以最大距离与最小距离的差等于旧+厂}-0-科= 8・B 解析: 由于两圆半径均为r,故两圆的位置关系只能是外切,于是有 (b~af2+(a-b)2=(2r)2” 化简即(曰—沪=2/\ 9.A 解析: 直线y=3x+c向右平移1个单位长度再向下平移1个单位. 平移后的直线方程为(x_1)+c_L即3兀-$+匚-4=0. 由直线平移后与圆^+/=10相切,得丨0-0+匚_4|=皿即k_4=10, J护+F tiJ厂=1a战一尺 10.C 解析: 因为C(o.1,0),容易求出血的中点牛3、 所以|CM|=』2—0尸+(孑一1]+(3-0)2=—■ Y2丿2 二、填空题 11..f+b+4上一#=0- 解析: 令尸山鲁尤=-4,所以直线与莖轴的交点且(-4,0). 令尤=0,得y=3,所以直线与y轴的交点厅(63). 所叹加的中点,即圆心为一2,-. <乙 因为|4别=J"+乎=驚所以所求圆的方程为(X十2尸+($-: )=y■ 即+4x-3p=0- 12.0或2. 解析’画图可知,当垂直于工轴的直线"口经过点(0,0)和(乙0)时勻圆相切, 所以口的值是0或2・ 13.8- 解祈=令园方程中x=0,所叹尸一罗一1X0.解得y=5,或y=-3,所以圆与直线工=0的交点为(S了)或(0,-釘・ 所以直线兀=0報园jr+.y2-Sx—2jJ—15=0所截得的弦长等于5-(-3>=8. 14.? 或-5・ 解析’由J(6-4)2+(2+7)2+(z-1? =11»(z-D: =36.所以2二人或「5. 15. 僚巧题1 2运・ 解析;如图’SffiSJEWC3=於AMC=丄-|Cii|-2 2 =|创.又回|=』PC卩一1・故求|甸最”催・只羈求 PC最小值,另\PC最小值即C到直线敦十4y十6=0的距离,为芒皀! 于是S最小值为府一1=2^2・ 16.解=⑴由已知设所求圆的方程为(x-=d于是依题意,得 (1—fl)2-F16=r2j[a=—1, J解得’. G-肿十4=/.厂,=2CL LL 故所求圆的方程为Cr+l)2+/=20. (2)因为圆与直线r+y-l=0切十点M2-1), 所以圆心必在过点M(2,-1)且垂直于x+y-1-O的直线f上. 则J的方程为y+l=x-2.即y=x-3. y~x—3,fx—L 由2解得| 2x+y=0.[y=一2. 即圆心为11t-2)>半径F=J(2-+(-1+2),=yfi• 故所求圆的方程为(X-1)2+fy+2)2=2. 17.解;以。 为坐标原点,分别以射线DC.D5的方向为正方向,以线段 UDG的长为单位长,建立空间言角坐标系Dxyz,E点在平面边y中,且血=;・ n\r口(山-j» 又巧和昂点的坐标分别为(bb0),(1,1,1), 所以点F的坐标为hJ同理可得G点的坐标为1,丄.-■ I2丿I22) 1S.解’设所求园的方程为仗一攻): +©—扮2二几 因为圆与两坐标轴相切, 所以圆心满足a=b・即d-b=0,或a^b=0. 又圆心在直线Sx-3v-8=0上’ (5(3—3^—8=0)f5a—3d—8=0j 所以5口一3力一8=0・由方程组峙或斗 a~b=^肚_力=0・ 解得『7或! 日「1'所以圆心坐标为(4,4),(1,-1). »=4,少=_1” 故所求圆的方程为(x-4)3+(>-4)2=16,或(x-l)2+0'+D2=l- 19.解;⑴设过F点圆的切线方程为j+l=fc(x-2)(即be-y—2fc-l=0. 因为圆心〔.1,2J到直线的距罔为^2*1■'=7》,解得卫=7,或k=~1. 戻-1 轴弟求的4;T1绪右揺%7v—t—1弋=门at? v-J-U—1 故所求的切线方程为7x—y—15=0,或r+y-1=0. ⑵在RtAPCd中,因为PQ=J(2-l)2+(-1-2)2=如,CA\=Ji, 所以PA—PC\2-\CA\2=^.所以M点卩的圆的切线长为2^7. 4)容易束出kP(: =-3,所以也=]• 如團,由ca2=cd-PC,可求岀仞=££=,_ PCV10设直线拙的方程为y—.即x~= 由2=|1~6+3£>|解得hi或X? (舍). 页Vl+3f3 所以直线z£5的方程为x_3y+3=0. ⑶也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解. I ZO・解’因为圆心C在直线3x-y=O±,设圆心坐标为(口,3a)t 圍心匕3型到直线x-y=0的距离为 又圆与兀轴相切+所以半径r=Z,谡圖的方程为0-占)'+©-3a): =9Tv谊弦曲的中点为M,则Mm=v-7•在RtAj-1/C中,由勾股定理,得 解得a=±1,^=9. 故所求的园的方程是U—1F+®—2尸=9"或(工+1尸+^+3): =9.
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