新教材人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数_知识点易错点解题方法提炼汇总.doc
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第四章指数函数与对数函数
4.1指数 -1-
4.2指数函数 -6-
4.2.1 指数函数的概念 -6-
4.2.2 指数函数的图象和性质 -9-
4.3 对数 -15-
4.3.1 对数的概念 -15-
4.3.2 对数的运算 -19-
4.4 对数函数 -23-
4.4.1 对数函数的概念 -23-
4.4.2 对数函数的图象和性质 -28-
4.4.3 不同函数增长的差异 -36-
4.5 函数的应用
(二) -40-
4.5.1 函数的零点与方程的解 -40-
4.5.2 用二分法求方程的近似解 -45-
4.5.3 函数模型的应用及数学建模 -50-
4.1指数
知识点一 n次方根及根式
如果x2=4,x3=8中的x可以是多少?
知识梳理
(1)n次方根
定义
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,且n∈N+.
个
数
n是奇数
a>0
x>0
x仅有一个值,记为
a<0
x<0
n是偶数
a>0
x有两个值,且互为相反数,记为±
a<0
x不存在
(2)根式
①定义:
式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.
②性质:
(n>1,且n∈N+)
(ⅰ)()n=a.
(ⅱ)=
知识点二 指数幂及运算
知识梳理
(1)分数指数幂的意义
①规定正数的正分数指数幂的意义是:
a=(a>0,m,n∈N+,且n>1).
②规定正数的负分数指数幂的意义是:
a-==(a>0,m,n∈N+,且n>1).
③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质
①aras=ar+s;
②(ar)s=ars;
③(ab)r=arbr.
(3)无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数,有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.
解题方法探究
探究一 利用根式的性质化简求值
[例1]
(1)化简a+的结果是( )
A.1 B.2a-1
C.1或2a-1 D.0
(2)当a、b∈R时,下列各式总能成立的是( )
A.(-)6=a-bB.=a2+b2
C.-=a-bD.=a+b
(3)设-3<x<3,求-的值.
[解析]
(1)a+=a+|1-a|=1或2a-1,故选C.
(2)取a=0,b=1,A不成立.
取a=0,b=-1,C、D不成立.
∵a2+b2≥0,∴B正确,故选B.
(3)原式=-
=|x-1|-|x+3|.
∵-3<x<3,
∴当-3<x<1时,
原式=-(x-1)-(x+3)=-2x-2;
当1≤x<3时,
原式=(x-1)-(x+3)=-4,
∴原式=
[答案]
(1)C
(2)B (3)见解析
(1)开偶次方根时,往往涉及绝对值问题.
(2)在含有多个绝对值的式子中,常利用零点分段法,结合数轴完成,去绝对值,如图所示:
从而把数轴分成(-∞,-3),[-3,1),[1,+∞)三段来研究.由于-3<x<3,因此只研究(-3,1)及[1,3)两个区间便可.
探究二 根式与分数幂的转化
[例2] 用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0):
(1)a2·;
(2)a3·;(3);(4).
[解析]
(1)a2·=a2·a=a2+=a.
(2)a3·=a3·a=a3+=a.
(3)=(a·a)=(a)=a.
(4)=====y=y.
(1)当所求根式含有多重根号时,要按照由里向外用分数指数幂写出,然后借助运算性质化简.
(2)化简过程中,要明确字母的范围,以防错解.
探究三 指数幂的运算
[例3] 计算:
(1)[125+-+343];
(2)-.
[解析]
(1)原式=[(53)+(2-4)-+(73)]=(52+22+7)=36=6.
(2)原式=-=
-=
-=-=
-=-=2×=
-1=.
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时,一般化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数,同时兼顾运算的顺序.
(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时,若能明确被开方数的符号,则可以对根式进行化简运算.
(3)对于含有字母的化简求值的结果,一般用分数指数幂的形式表示.
易错点归纳
一、条件求值的整体代换策略
(教材探究:
教材P110第8题拓展探究)
1.求解此类问题应注意分析已知条件,通过将已知条件中的式子变形(如平方、因式分解等),寻找已知式和待求式的关系,可考虑使用整体代换法.
2.在进行整体代换时常用的一些公式:
(1)完全平方公式:
(a-b)2=a2-2ab+b2,
(a+b)2=a2+2ab+b2.
(2)平方差公式:
a2-b2=(a+b)(a-b).
(3)立方和公式:
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2).
(4)立方差公式:
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).
(5)完全立方公式:
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3.
[典例] 1.已知a+a-=3,求a3+a-3的值.
[解析] ∵a3+a-3=(a+a-1)(a2+a-2-1),
由a+a-=3得a+a-1=2-2=7,
a2+a-2=(a+a-1)2-2=72-2=47,
∴a3+a-3=7×(47-1)=322.
2.如果a+a-1=3,求a+a-的值.
[解析] ∵(a+a-)2=a+a-1+2=5,
且a+a->0,
∴a+a-=.
二、逆用指数幂运算性质巧变换——指数幂等式证明问题
常用指数幂的变换技巧
已知幂
目标指数
变换技巧
ak
差:
k-1
除:
=ak-1
ak
和:
k+2
乘:
ak·a2=ak+2
ak
倒数:
换元、乘方:
令ak=t,
则
ak
积:
3k
乘方:
(ak)3=a3k
[典例] 设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,求证:
=+.
[证明] 令3a=4b=6c=t,则.
因为3×2=6,所以,即+=,
所以=+.
4.2指数函数
4.2.1 指数函数的概念
知识点 指数函数的概念
函数y=x2与y=2x在解析式上,有什么不同?
知识梳理
(1)函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R.
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征
①底数:
大于0且不等于1的常数.
②指数:
自变量x.
③系数:
ax前的系数必须是1.
解题方法探究
探究一 指数函数的概念
[例1] 下列函数中,哪些是指数函数?
(1)y=10x;
(2)y=10x+1;(3)y=-4x;(4)y=xx;(5)y=xα(α是常数).
[解析]
(1)y=10x符合定义,是指数函数.
(2)y=10x+1中指数是x+1而非x,不是指数函数.
(3)y=-4x中系数为-1而非1,不是指数函数.
(4)y=xx中底数和指数均是自变量x,不符合指数函数定义,不是指数函数.
(5)y=xα中底数是自变量,不是指数函数.
判断一个函数是否是指数函数,关键是看解析式是否符合ax(a>0,a≠1)这一结构形式.指数函数具有以下特征:
(1)底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;
(2)指数位置是自变量x,且x的系数是1;
(3)ax的系数是1.
探究二 指数函数的定义域及值域
[例2] 求下列函数的定义域和值域:
(1)y=2;
(2)y=-|x|.
[解析]
(1)令t=,∵x∈R且x≠4.∴t≠0.
∴y=2t∈(0,1)∪(1,+∞),
故原函数的定义域为(-∞,4)∪(4,+∞),
值域为(0,1)∪(1,+∞).
(2)令t=-|x|,可知x∈R,∴|x|≥0,t≤0.
∴y=t∈[1,+∞),
故原函数的定义域为R,值域为[1,+∞).
函数y=af(x)的定义域、值域的求法
(1)函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.
(2)函数y=af(x)的值域的求法如下:
①换元,令t=f(x);
②求t=f(x)的定义域x∈D;
③求t=f(x)的值域t∈M.
易错点归纳
一、底数a必须大于0且不等于1的理由
1.若a=0,则
2.若a<0,则对于一些函数,比如y=(-4)x,当x=±,±,…时,在实数范围内函数值不存在.
3.若a=1,则y=1x=1是常量,没有研究的必要.为了避免以上情况,所以规定a>0且a≠1.
[典例] 下列各函数中,是指数函数的是( )
A.y=x3 B.y=(-4)x
C.y=5x+1 D.y=52x
[解析] A中虽然是一个幂,但自变量出现在底数上,故不是指数函数;B中虽然是一个幂,且自变量出现在指数上,但-4<0,不满足“大于0且不等于1”这个条件,故不是指数函数;C中虽然是一个幂,x也出现在指数上,但指数并不是自变量x,故不是指数函数;D中52x=25x恰好符合指数函数的三个特点,故是指数函数.
[答案] D
二、忽视指数函数的值域致错
[典例] 求函数y=x+x+1的值域.
[解析] 令t=x,t∈(0,+∞),则原函数可化为y=t2+t+1=2+.
因为函数y=2+在(0,+∞)上是增函数,
所以y>2+=1,
即原函数的值域是(1,+∞).
纠错心得 此题换元后,误认为t∈R.忽视x的值域.
求与指数函数有关的函数的值域时,一方面要考虑函数的定义域和单调性,另一方面要注意指数函数的值域是(0,+∞).一般地,对于y=af(x)型函数,先求出f(x)的值域A,再画
y=ax(x∈A)的草图或利用函数的单调性,就能很容易求出原函数的值域.
4.2.2 指数函数的图象和性质
知识点 指数函数的图象和性质
y=2x与y=()x的单调性有什么不同?
知识梳理
0<a<1
a>1
图象
定义域
R
值域
(0,+∞)
性
质
过定点(0,1),即x=0时,y=1
减函数
增函数
无奇偶性
解题方法探究
探究一 利用指数函数单调性比较大小
[例1] 比较下列各组数的大小:
(1)1.52.5和1.53.2;
(2)0.6-1.2和0.6-1.5;
(3)1.50.3和0.81.2.
[解析]
(1)函数y=1.5x在R上是增函数,
∵2.5<3.2,∴1.52.5<1.53.2.
(2)函数y=0.6x在R上是减函数,
∵-1.2>-1.5,∴0.6-1.2<0.6-1.5.
(3)由指数函数的性质知
1.50.3>1.50=1,
而0.81.2<0.80=1,
∴1.50.3>0.81.2.
三类指数式的大小比较问题
(1)底数相同、指数不同:
利用指数函数的单调性解决.
(2)底数不同、指数相同:
利用指数函数的图象解决.在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象,依据底数a对指数函数图象的影响,按照逆时针方向观察,底数在逐渐增大,然后观察指数所取值对应的函数值即可.
(3)底数不同、指数也不同:
采用介值法(中间量法).取中间量1,其中一个大于1,另一个小于1;或者以其中一个指数式的底数为底数,以另一个指数式的指数为指数.比如,要比较ac与bd的大小,可取ad为中间量,ac与ad利用指数函数的单调性比较大小,bd与ad利用函数的图象比较大小.
探究二 利用指数函数的单调性解不等式
[例2] [教材P12010题拓展探究]
(1)如果a-5x>ax+7(a>0,a≠1),求x的取值范围.
[解析] ①当0<a<1时,y=ax为减函数,则-5x<x+7,解得x>-.
②当a>1时,y=ax为增函数,
则-5x>x+7,
∴x<-,
综上,当0<a<1时,x∈(-,+∞),
当a>1时,x∈(-∞,-).
(2)设f(x)=ax,g(x)=()x(a>0,a≠1),如果对于∀x∈(0,+∞)都有f(x)>g(x),求a的取值范围.
[解析] 由f(x)>g(x)得ax>
∴a2x>1,∀x∈(0,+∞)都成立.
∴a>1.
(3)设f(x)=3x,g(x)=10-,如果f(x)<g(x),那么x的取值范围是多少?
[解析] 由f(x)<g(x)得3x<10-,
即(3x)2-10×3x+9<0.
设t=3x>0,故有t2-10t+9<0,
1<t<9,
即1<3x<9,
∴0<x<2.
解含指数式的不等式的策略
(1)指数型不等式af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1)的解法:
当a>1时,f(x)>g(x);
当0<a<1时,f(x)<g(x).
(2)如果不等式的形式不是同底指数式的形式,要首先进行变形将不等式两边的底数进行统一,此时常用到以下结论:
1=a0(a>0,且a≠1),a-x=x(a>0,且a≠1)等.
探究三 指数函数性质的综合应用
[例3] 已知f(x)=x(+).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;
(3)求证:
f(x)>0.
[解析]
(1)由2x-1≠0得2x≠20,故x≠0,
∴函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}.
(2)函数f(x)是偶函数.
理由如下:
由
(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称,
∵f(x)=x(+)=·,
∴f(-x)=-·
=-·
=-·
=·=f(x),
∴f(x)为偶函数.
(3)证明:
由
(2)知f(x)=·.
对于任意x∈R,都有2x+1>0
若x>0,则2x>20,所以2x-1>0,
于是·>0,即f(x)>0,
若x<0,则2x<20,所以2x-1<0,
于是·>0,即f(x)>0,
综上知:
f(x)>0.
解决指数函数性质的综合问题的注意点
(1)注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.
(2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行.
(3)由于指数函数单调性与底数有关,因此要注意是否需要讨论.
(4)形如y=af(x)的函数的单调性,若a>1,y=af(x)的单调性与u=f(x)的单调性相同,若0<a<1,y=af(x)的单调性与u=f(x)的单调性相反.
易错点归纳
一、“同为幂值,差别这么大”——指数函数与幂函数的区别
指数函数y=ax与幂函数y=xα,其函数值都是幂的形式.但是自变量的位置发生了变化,其图象性质也会有变化.
[典例] 一个函数y=f(x)是幂函数或指数函数,过点(-2,),研究这个函数的定义域、值域、单调性,如果该函数具有奇偶性,能确定f(x)是什么函数吗?
[解析] 若y=f(x)为指数函数,设为y=ax(a>0,a≠1).
∵函数过点(-2,),
∴=a-2,
∴a=2.
f(x)=2x,定义域为R.
值域为(0,+∞).
单调增函数,是非奇非偶函数.
若y=f(x)为幂函数,设为y=xα,
过点(-2,),
∴=(-2)α,
∴α=-2.
∴f(x)=x-2,即f(x)=.
定义域为{x|x≠0},值域为(0,+∞).
在(0,+∞)上为减函数,在(-∞,0)上为增函数.
此时f(x)是偶函数,具有奇偶性.故可确定f(x)=x-2.
二、忽视对底数的讨论致错
[典例] 函数f(x)=ax(a>0且a≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的差为,则a=________.
[解析]
(1)当a>1时,函数f(x)=ax在[0,1]上是增函数.
所以当x=1时,函数f(x)取最大值;
当x=0时,函数f(x)取最小值.
由题意得f
(1)-f(0)=,即a-a0=,
解得a=.
(2)当0<a<1时,函数f(x)=ax在[0,1]上是减函数.
所以当x=1时,函数f(x)取最小值;
当x=0时,函数f(x)取最大值.
由题意得f(0)-f
(1)=,即a0-a=,解得a=.
综上知a=或.
[答案] 或
纠错心得 既要考虑当a>1时,函数f(x)在[0,1]上是增函数的情况,也不能忽视当0<a<1时,函数f(x)在[0,1]上是减函数的情况.
4.3 对数
4.3.1 对数的概念
知识点一 对数的概念
如果2=1.11x,如何求x?
知识梳理
(1)如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
(2)常用对数:
通常我们将以10为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为lg_N.
(3)自然对数:
在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记作ln_N.
(4)对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时,ax=N⇔x=logaN.
知识点二 对数的基本性质
由a0=1,a1=a,可想到怎样的对数关系?
知识梳理
性质1
负数和0没有对数
性质2
1的对数是0,即loga1=0(a>0且a≠1)
性质3
底数的对数是1,即logaa=1(a>0且a≠1)
解题方法探究
探究一 指数式与对数式的互化
[例1]
(1)将下列指数式化成对数式:
①3=;②3-2=;③43=64;④x=3.
(2)将下列对数式写成指数式:
①log28=3;②log=2;③logaa2=2(a>0,且a≠1);④log3=-3.
[解析]
(1)①3=log;②-2=log3;③3=log464;④x=log3.
(2)①23=8;②2=;③a2=a2(a>0,
且a≠1);④3-3=.
(1)logaN=b与ab=N(a>0且a≠1,N>0)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.可以利用其中两个量表示第三个量.
(2)对数式与指数式的关系如图:
探究二 利用指数与对数的互化求变量的值
[例2] [教材P123例2拓展探究]
(1)若logx27=,则x=________.
(2)log2x=-,则x=________.
(3)若-lne3=x,则x=________.
(4)若xlog34=1,则4x+4-x=________.
(5)若f(x)=3x,则f(log32)=________.
[解析]
(1)由logx27=,可得=27,
∴.
(2)由log2x=-,可得.
∴x===.
(3)由-lne3=x,则lne3=-x.
∴e-x=e3,∴x=-3.
(4)由xlog34=1,
∴log34=,∴3=4,
4x=3,∴4-x=,
4x+4-x=3+=.
(5)设t=log32,则3t=2,
∴f(log32)=f(t)=3t=2.
[答案]
(1)9
(2) (3)-3 (4) (5)2
指数与对数互化的本质
指数式ab=N(a>0,且a≠1)与对数式b=logaN(a>0,a≠1,N>0)之间是一种等价关系.已知对数式可以转化成指数式,指数式同样可以转化成对数式.
探究三 对数的性质及应用
[例3] 求下列各式中x的值:
(1)log2(log4x)=0;
(2)log3(lgx)=1;
(3)ln[log2(lgx)]=0.
[解析]
(1)∵log2(log4x)=0,
∴log4x=20=1,
∴x=41=4.
(2)∵log3(lgx)=1,
∴lgx=31=3,
∴x=103=1000.
(3)∵log2(lgx)=1,
∴lgx=21=2,
∴x=102=100.
(1)对数的性质:
①在指数式中N>0,故零和负数没有对数.
②设a>0,a≠1,则有a0=1.∴loga1=0.即1的对数等于0.
③设a>0,a≠1,则有a1=a,所以logaa=1,即底数的对数为1.
(2)涉及两个以上对数,方法由外向里,逐层解决,其中将1或0化成同底对数,有利于去掉log,从而最终解出x.
易错点归纳
一、“完璧归赵”——指数式与对数式的换算
由ax=N得x=logaN,再代回到ax=N中,
可得出alogaN=N(a>0,a≠1)
[典例] 计算
[解析]
(2)原式=
(3)原式=.
二、忽视对数式的存在条件致错
[典例] 若log(x-2)(x2-7x+13)=0,求x的值.
[解析] 由题意得,
由①得x2-7x+12=0.
∴x=3或x=4.
又由②③得x>2且x≠3.
∴x=4.
纠错心得 在对数的定义中:
ab=N⇔b=logaN要注意条件:
a>0且a≠1,N>0,b∈R.对数本身的限定条件为底数大于0且不等于1,做题时常因忽略此条件而出错,要特别注意底数含有字母的情况.
4.3.2 对数的运算
知识点一 对数的运算性质
lg2+lg5如何计算?
lg能直接计算吗?
知识梳理 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:
(1)loga(M·N)=logaM+logaN.
(2)loga=logaM-logaN.
(3)logaMn=nlogaM(n∈R).
知识点二 对数换底公式
lgN与lnN之间有联系吗?
知识梳理 logab=(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).
特别地:
logab·logba=1(a>0,且a≠1,b>0,且b≠1).即logab=.
解题方法探究
探究一 对数运算性质的应用
[例1] 求下列各式的值:
(1)lg52+lg2×lg50+(lg2)2;
(2)log2+log212-log242;
(3);
(4)lg(+).
[解析]
(1)原式=2lg5+lg2×lg(5×10)+(lg2)2=2lg5+lg2×lg5+lg2+(lg2)2=2lg5+lg2×(lg5+lg2)+lg2=2lg5+lg2+lg2=2(lg5+lg2)=2.
(2)原式=log2=-.
(3)分子=lg5(3+3lg2)+3(lg2)2=3lg5+3lg2(lg5+lg2)=3lg5+3lg2=3(lg5+lg2)=3;
分母=(lg6+2)-lg=lg6+2-lg=4.
∴原式=.
(4)原式=lg(+)2=lg(3++3-+2)=lg10=.
1.对于有关对数式的化简问题,解题时常用的方法是:
(1)“拆”:
将积(商)的对数拆成两对数之和(差);
(2)“并”:
将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数.
2.注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的,它们都是为求值而进行的.
3.对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg5+lg2=1”解题.
探究二 用换底公式求对数值
[例2] [教材P126练习3变式探究]
(1)计算(log43+log83)(log32+log92)-log.
[解析] (log43+log83)(log32+log92)-log
=-=(log23+log23)+log232=log23×log32+=××log23×log32+=+=.
(2)计算(log43-log83)(log32-log92).
[解析] 原式=(-)(-)
=(-)(-)
=×=.
(3)
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