小学数学竞赛等积变换.docx
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小学数学竞赛等积变换
第十三讲三角形的等积变形
我们已经掌握了三角形面积的计算公式:
三角形面积=底><高+2
这个公式告诉我们:
三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小).同样若三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小).这说明;当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来
的3倍,底变为原来的则三角形面积与原来的一样.这就是说:
一个三
角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:
一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状.本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.
为便于实际问题的研究,我们还会常常用到以下结论:
①等底等高的两个三角形面积相等.
②底在同一条直线上并且相等,该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上,这两个三角形面积相等.
③若两个三角形的高(或底)相等,其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.
例如在右图中,若AABD与△AEC的底边相等(BD=DE=EC=iBC)
它们所对的顶点同为A点,(也就是它们的高相等)那么这两个三角形的面积相等.
D
同时也可以知道^ABC的面积是4ABD或4人£施积的3倍.
例如在右图中,△ABCf△DBC勺底相同(它们的底都是B。
它所对的两个顶点AD在与底BC平行的直线上,(也就是它们的高相等),那么这两个三角形的面积相等.
E匚
例如右图中,△ABCf△DBC勺底相同(它们的底都是BC,AABC的高是△DBCS的2倍(D是AB中点,AB=2BD有AH=2DE,则△ABC的面积是^DBCH积的2倍.
上述结论,是我们研究三角形等积变形的重要依据.
例1用四种不同的方法,把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.
方法1;如右图,将BC边四等分(BD=DE=EF=FC=;BC),连结AD.AE.AK则AABD.AABE.△AEF、△AFCW积.
EBEFc
方法2:
如右图,先将BC二等分,分点D连结AD得到两个等积三角形,即^ABDf△ADC^积.然后取AGAB中点E、F,并连结DEDF.以而得到四个等积三角形,即^ADFz\BDFADCEAAD堂积.
方法九如右图,先将EC四等分,即ED=;BC,连结AL,再将AP三等分,即AE=EF=FD=gAD,连结CE,CF,从而得到四个等积的三角形,即△ABD.ACDF.△CER等积,
例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形,使它们的
面积比为及1:
3:
4.
方法1:
如下左图,将BC边八等分,取1:
3:
4的分点DE,连结
AD.AE从而彳4到4ABDAADEE△AEC勺面积比为1:
3:
4.
方法2:
如上右图,先取BC中点D,再取AB的"分点E,连结AD、
DE,从而得到三个三角形:
△ADEABDtEz\ACD其面积比为1:
3:
4.
方法买如右图,先取AB中点D,连结CD,再取CD上1分点E,连结4
AE,从而得到三个三角形।△ACE,△ABE.△BCD,其面积比为1:
3:
4.
当然本题还有许多种其他分法,同学们可以自己寻找解决.
例3如右图,在梯形ABC的,AC与BD是对角线,其交点O,求证:
△
AOBf△CODS积相等.
证明:
.•.△ABCt△DBC?
底等高,
・.$△ABC=S\DBC
又;SAAOB=SABC-$△BOC
S△DOC=SDBC-SABOC
.•.SAAOB=SCOD
例4如右图,把四边形ABC酸成一个等积的三角形.
分析本题有两点要求,一是把四边形改成一个三角形,二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法,如右图,
把顶点A移到CB的延长线上的A处,NABD与△ABD0积相等,从而AA'DC面积与原四边形ABCtH积也相等.这样就把四边形ABCD?
积地改成了三角形△ADC问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则.过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.
解:
①连结BD
②过A作BD的平行线,与CB的延长线交于A;
③连结A'D,则CM四边形ABCD?
积.
例5如右图,已知在△ABC^,BE=3AECD=2AD若△ADE的面积为1平方厘米.求三角形ABC的面积.
解法1:
连结BD在△ABDt
vBE=3AE
「•SAABD=4S\ADE=4(平方厘米).
在△ABC^,vCD=2AD
「•SAABC=3S\ABD=3<4=12(平方厘米)
解法2:
连结CE如右图所示,在^ACE^,
BC
CD=2AQ
Sz\ACE=3S\ADE=3(平方厘米).
在△ABC^,vBE=3AE
「•SAABC=4S\ACE
=4X3=12(平方厘米).
例6如下页图,在^ABC中,BD=2AQAG=2Cp
求阴影部分面积占三角形ABC面积的几分之几?
BE=EF=FC^
解:
连结BG在△ABGt,1BD=2AD,在ZXABC中,
2
AG=2CG,f…/屈,,
122
Q_—x—弋=—V
_33o&ABC-gO&ABC.
_21
同I理S&BDE—;*ACFG—地C*
・••SAADG+aBDE+S\CFG
=I=5
阴影部分面积=(1-g)=5”项仃
例7如右图,ABC时平行四边形,EF平行AC如果4ADE的面积为4平方厘米.求三角形CDF的面积.
解:
连结AF、CEaSAADE=&ACESACDF=S\ACF又「AC与EF平行,SAACE=S\ACF
・••SAADE=S\CDF=4(平方厘米).
例8如右图,四边形ABCDS积为1,且AB=AEBC=BFDC=CGAD=DH求四边形EFGH勺面积.
解:
连结BD,将四边形ABC盼成两个部分S1与S2.连结FD,有S
△FBD=SDBC=S1所以SACGF=SDFC=2S1
同理SAAEH=2S2
因止匕SAAEH+S\CGF=2S1+2S2=2S1+S2=2X1=2.
同理,连结AC之后,可求出SAHGD+SEBF=29f以四边形EFGH勺面积为2+2+1=5(平方单位).
例9如右图,在平行四边形ABCDK直线CF交AB于E,交DA延长线于
F,若$△ADE=1求4BEF的面积.
解:
连结AC,「AB〃CD,.・$△ADE=SACE
又:
AD//BC,「.$△ACF=8ABF
而SAACF=S^ACE+密AEF:
$△ABF=S\BEF+SXAEF
「•SAACE=S\BEFaSABEF=S\ADE=1
习题十三
一、选择题(有且只有一个正确答案):
1.如下左图,在△ABC中,D是BC中点,E是AD中点,连结BE、CE那么与△AB*积的三角形一共有个.
(A)0个(B)1个
(C)2个(D)3个
2.如上右图,在平行四边形ABCDfr,EF平行AC,连结BEAE、CRBF那么与△BEC^积的三角形一共有个.
(A)0个(B)1个
(C)2个(D)3个
3.如下左图,在梯形ABCDfr,共有八个三角形,其中面积相等的三
角形共有
对.
(A)0对(B)1对
(C)2对(D)3对
4.如上右图,是一个长方形花坛,阴影部分是草地,空地是四块同样的菱形,那么草地与空地面积之比是.
(A)1:
1(B)1:
1.1
(C)1:
1.2(D)1:
1.4
5.如右图,长方形AEGK3周上共有12个点,相邻两点的距离都是
1厘米,以这些点为顶点构成的三角形面积是3平方厘米的共有个.
LF
K1工HG
(A)24个(B)25个
(C)26个(D)27个
二、填空题:
1.如下左图,A、B两点是长方形长和宽的中点,那么阴影部分面积占长方形面积的.
2.如右图,E是长方形ABCD的BC上一点,使如后二?
5挽解妞cd,BC二9厘米,求BE是多少厘米.
3.如上右图,平行四边形ABCD勺面积是40平方厘米,图中阴影部分的面积是.
4.如下左图,正方形ABCD勺面积为1平方厘米,$△BEG:
$△CEG=2
1,$△CFG:
$△DFG=1:
1,那么这四个小三角形面积之和.
4.如上右图,在△AB外,EF平行BCAB=3AE那么三角形甲、乙、内面积的连比是.
三、解答题:
1.如下左图,DE、F分别是BCAD.BE的三等分点,已知S;AABC=27平方厘米,求SADEF
3.如下左图,在平行四边形
ABCDfr,E、F分另1J是ACBC的三等分
点,且SABCD=5必方厘米,求SABEF
4.如上页右图,将四边形ABC陷边都延长一倍至A'、B'、C'、D'.连接这些点得到一个新的四边形A'B'C'D'.如果四边形ABCD勺面积是1,求四边形A'B'C'D'的面积.
5.如右图,在四边形ABC时,对角线ACBD交于E,且AF=CEBG=DE如果四边形ABCD勺面积是1,求4EFG的面积?
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