测试系统的动态特性课件.pptx
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测试系统的动态特性课件.pptx
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测试系统的动态特性,
(一)线性系统的数学描述;
(二)用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性;(三)测试系统对典型激励的响应函数;(四)测试系统对任意输入的响应;(五)测试系统特性参数的实验测定;,
(一)线性系统的数学描述,动态测量中,测试装置或系统本身应该是一个线性的系统:
我们仅能对线性系统作比较完善的数学处理;在动态测试中作非线性校正还比较困难。
线性系统的输入输出之间的关系:
x(t)为系统输入;y(t)为系统输出;An,a0,bm,b0为系统的系统的物理参数,若均为常数,方程便是常系数微分方程,所描述的系统便是线性定常系统或线性时不变系统。
(2.144),线性时不变系统的基本性质,叠加性如有x1(t)y1(t),x2(t)y2(t);则有x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)。
(2.145)比例性如有x(t)y(t),则对任意常数a,均有ax(t)ay(t)(2.146)微分特性如有x(t)y(t),则有积分特性如有x(t)y(t),则当系统初始状态为零时,有,(2.147),(2.148),频率保持性如有x(t)y(t),若x(t)=x0ejt,则y(t)=y0ej(t+)。
证明:
按比例性有其中,为某一已知频率。
根据微分特性有两式相加有,(2.149),(2.150),(2.151),由于x(t)=x0ejt,则因此式(2.151)左边为零,亦即由此式(2.151)右边亦应为零,即解此方程可得唯一的解为其中为初相角。
(二)用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性,传递函数若y(t)为时间变量t的函数,且当t0时,有y(t)=0,则y(t)的拉普拉斯变换Y(s)定义为式中s为复变量,s=a+jb,a0。
若系统的初始条件为零,对式(2.144)作拉氏变换得,(2.152),将输入和输出两者的拉普拉斯变换之比定义为传递函数H(s),即传递函数特性:
传递函数H(s)不因输入x(t)的改变而改变,它仅表达系统的特性;由传递函数H(s)所描述的一个系统对于任一具体的输入x(t)都明确地给出了相应的输出y(t);等式中的各系数an,an-1,a1,a0和bm,bm-1,b1,b0是一些由测试系统本身结构特性所唯一确定了的常数。
(2.153),频率响应函数对于稳定的线性定常系统,可设s=j,亦即原s=a+jb中的a=0,b=,此时式(2.152)变为上式即为信号章节中叙述过的单边傅立叶变换公式。
我们有H(j)称测试系统的频率响应函数。
频率响应函数是传递函数的特例。
频率响应函数也可对式(2.144)作傅立叶变换来推导得到,请自行推导。
(2.157),(2.158),传递函数和频率响应函数的区别在推导传递函数时,系统的初始条件设为零。
而对于一个从t=0开始所施加的简谐信号激励来说,采用拉普拉斯变换解得的系统输出将由两部分组成:
由激励所引起的、反映系统固有特性的瞬态输出以及该激励所对应的系统的稳态输出。
对频率响应函数H(j),当输入为简谐信号时,在观察的时刻,系统的瞬态响应已趋近于零,频率响应函数表达的仅仅是系统对简谐输入信号的稳态输出。
用频率响应函数不能反映过渡过程,必须用传递函数才能反映全过程。
将频率响应函数H(j)写成幅值与相角表达的指数函数形式,有:
式中A()为复数H(j)的模,称之为系统的幅频特性;()为H(j)的幅角,称之为系统的相频特性。
将H(j)用实部和虚部的组合形式来表达:
P()和Q()均为的实函数,则,(2.159),(2.160),(2.161),(2.162),(2.163),伯德图将自变量用对数坐标表达,幅值A()用分贝(dB)数来表达,所得的对数幅频曲线与对数相频曲线称为伯德(Bode)图。
图2.59一阶系统H(j)=1/(1+j)的伯德图,乃奎斯特图将系统H(j)的实部P()和虚部Q()分别作为坐标系的横坐标和纵坐标,画出它们随变化的曲线,且在曲线上注明相应频率。
图2.60一阶系统H(j)=1/(1+j)的乃奎斯特图,一阶、二阶系统的传递特性描述将式(2.153)中分母分解为s的一次和二次实系数因子式(二次实系数式对应其复数极点),即则任何一个系统均可视为是由多个一阶、二阶系统的并联。
也可将其转换为若干一阶、二阶系统的串联。
(2.164),同样,根据式(2.158),一个n阶系统的频率响应函数H(j)仿照式(2.164)也可视为是多个一阶和二阶环节的并联(或串联):
(2.165),一阶惯性系统若系统满足则称该系统为一阶测试系统或一阶惯性系统。
令K=b0/a0系统静态灵敏度;=a1/a0系统时间常数。
作拉氏变换,有故系统的传递函数为,(2.166),(2.168),(2.169),例:
右图示出一液柱式温度计,则输入与输出间有下述关系R传导介质的热阻;C温度计的热容量。
两边作拉普拉斯变换,并令RC(为温度计时间常数),则有系统的传递函数:
系统的频率响应函数:
(2.170),(2.171),(2.172),图2.61液柱式温度计,液柱式温度计的传递特性是一个一阶惯性系统特性。
系统传递特性的幅频与相频特性分别为:
(2.173),(2.174),图2.62一阶系统的幅频与相频特性图,图2.63示出另外两个一阶系统的例子,由系统的相似性理论可知,它们都具有与图2.61所示液柱式温度计相同的传递特性,请自行加以推导验证。
图2.63一阶系统(a)忽略质量的单自由度振动系统(b)RC低通滤波电路,二阶系统这便是二阶系统的微分方程式。
令:
系统静态灵敏度;:
系统无阻尼固有频率(rad/s);:
系统阻尼比。
并对式(2.159)两边作拉普拉斯变换得,(2.175),(2.176),系统的传递函数:
系统的频率响应函数则为:
(2.177),(2.178),图2.64示出一个测力弹簧秤,它是一个二阶系统。
设系统初始状态为零,亦x0=0,fi=0。
由牛顿第二定律得:
式中,fi施加的力(N);x0指针移动距离(m);B系统阻尼常数(N/m/s);Ks弹簧系数(N/m)。
作拉普拉斯变换有,图2.64测力弹簧秤,(2.179),(2.180),令式(2.180)变为于是弹簧秤系统的传递函数,(2.181),(2.182),系统的幅频特性为:
二阶系统的幅频曲线,(2.183),系统的相频特性为:
(2.184),二阶系统的相频曲线,二阶系统的伯德图和乃奎斯特图,图2.66二阶系统的伯德图,图2.67二阶系统的乃奎斯特图,图2.68示出了其它形式的二阶系统,根据系统相似性原理,它们具有与弹簧秤相同的传递函数和频率响应函数,请自行推导。
图2.68二阶系统例(a)质量弹簧阻尼系统(b)RLC电路,
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