高等数学教学教案-极限存在准则--两个重要极限.doc
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§1.6极限存在准则两个重要极限
授课次序06
教学基本指标
教学课题
§1.6极限存在准则两个重要极限
教学方法
当堂讲授,辅以多媒体教学
教学重点
两个准则,两个重要极限
教学难点
四个定理的证明
参考教材
同济大学编《高等数学(第6版)》
自编教材《高等数学习题课教程》
作业布置
《高等数学》标准化作业
双语教学
函数:
function;极限:
limit;极限值:
limitvalue;
课堂教学目标
1.了解两个极限存在的准则
2.掌握两个重要极限,明确其成立的条件,并掌握其基本应用
教学过程
1.夹逼准则(20min),着重介绍两个准则的推导及其联系;
2.应用夹逼准则证明极限(25min)采用多媒体教学的方式
3.重要极限的应用(10min)
4.单调有界准则(10min)
5.应用单调有界准则证明极限并掌握其简单应用(25min)
本节教学设计
极限的存在准则
1.背景知识与引入方法
(1)我们已经学习了数列极限和函数极限的定义及其基本性质。
但是,极限定义是验证性的,并没有给我们提供求出极限的方法。
也就是说,要使用极限定义进行证明,首先要知道数列的极限值,然后才能进行验证。
所以,如果不能设法观察出数列的极限值,我们就将无能为力。
极限的四则运算法则提供了计算极限的有理运算方法,使我们能够计算一些简单极限,但事先必须能判断出极限是否存在,否则运算法则无法使用。
因此,我们迫切希望知道一些能够判断极限是否存在的高效简便的方法。
为此,本节介绍极限存在的三个准则。
(2)通过三个准则,我们会获得较为丰富的“副产品”,这就是两个重要极限。
极限运算的实践告诉我们,仅仅依靠四则运算法则,只能解决有理运算问题,我们会感到束手束脚,对复杂一些的题目无从下手。
因此需要寻找到更有效的方法去计算其它类型的极限,比如建立起幂函数与三角函数、反三角函数、指数、对数之间的极限关系,以及五种初等函数相互之间的极限关系。
两个重要极限是导出这些重要基本关系的出发点,因此我们才说它们“重要”。
(3)极限存在准则是一个比较深入的问题。
这个问题的核心是“实数连续性、实数完备性”,但这已经超出了本课程的范围。
因此,本节所涉及到的定理并没有给出严格的数学证明。
本节讲解方法应该从实际出发,利用生活常识、几何直观等对定理的引出背景及结论进行解释。
2.讲解方法
一、单调有界定理
对于数列,如果数列的项越来越大,我们说数列是单调增加的,如果数列的项越来越小,我们说数列是单调减少的。
比如我们看到的世界跳高纪录,由于人们总是追求更高更快,世界纪录会不断被打破,所以,世界记录总是逐渐增高的,它是一个单调上升的数列。
同时我们也看到另一个事实:
虽然纪录不断增高,但是常识告诉我们,它不能超过100米,甚至可以断言它不会超过10米、5米、3米。
这个单调增加的数列是有上界的。
这样的数列还有很多,请注意观察下面的数列:
数列单调减少且有下界,零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗?
有!
数列单调增加且有上界,1或大于1的任何常数都是其上界.上界里有个最小的吗?
也有!
现在请用一下你的想象力:
对于单调增加有上界的数列,它的图像是数轴上的一个点列,点列中的点在数轴上会不停的向前走,但是不可能越过它的最小上界a.由于数列有无穷多项,从某一项之后的所有无穷多项都会密集在a点附近。
所以,数列以a为极限.对单调减少且有下界的数列可作类比思考。
由此得到一个事实:
定理1(单调有界准则) 单调有界的数列必有极限.
说得更明确一点,单调增加有上界的数列必有极限;单调减少有下界的数列必有极限。
由于实数理论知识的欠缺,不对本定理进行证明(将其证明置于扩展知识部分,请参考)。
定理1’(单调有界准则的函数版)
若为定义在上的单调有界函数,则右极限存在.
若为定义在上的单调有界函数,则左极限存在.
二、夹逼准则
定理2(夹逼准则)设数列,,是三个数列,且
若 则
从几何直观考虑定理的证明。
由于数列,都收敛于a,因此除了有限项以外,两个数列的其它各项都会进入到a点的邻域之中.又在、两个数列的夹持下数列的相应项也就无可选择地进入到a点的邻域之中,所以数列以a为极限。
将这种想法翻译成语言,就完成了本定理的证明。
在应用这个定理进行极限计算时,要注意通过适当放大缩小不等式,寻找合适的、便于计算的控制数列,.
3.难点及解决方法
在应用夹逼定理作极限计算时,难点在于构造夹逼数列。
应该引导学生认识到:
(1)夹逼法是处理极限难题的有效方法,当计算出现障碍时,要能够想得起这件工具;
(2)构造夹逼数列的思路是进行适当放大缩小;(3)夹逼数列首先应该满足上控数列与下控数列的极限相同,(4)夹逼数列要便于计算。
例2和例3从不同角度提供了构造夹逼数列的思路和技巧。
求递推式的极限是另一个难点。
由于这类题目的特色十分明显,解题思路并不难,例1提供了一种典型的套路:
即
(1)分析单调性;
(2)分析有界性;(3)根据单调有界准则确认极限存在,设为A;(4)对递推式两端取极限,化作方程解出极限A。
另外,由于可以事先“猜”出极限,运用极限定义证明也是一条常用的思路。
4.与其他知识点的关联
(1)根据单调有界准则,可以得到重要极限
根据夹逼准则,可以得到重要极限,.
(2)柯西收敛准则可以推广到其它场合。
如:
平面点列收敛的Cauchy准则,n维欧式空间中的Cauchy准则,级数收敛的Cauchy准则。
(3)柯西收敛准则的实质是抽象空间中的“完备性”概念。
5.扩展知识
1)单调有界准则的证明:
证明:
教学基本内容
§1.6极限存在准则两个重要极限
准则I
如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件:
(1)yn£xn£zn(n=1,2,3,×××),
(2),,
那么数列{xn}的极限存在,且.
证明:
因为,,根据数列极限的定义,"e>0,$N1>0,当n>N1时,有|yn-a| 又因yn£xn£zn,所以当n>N时,有a-e 这就证明了. 简要证明: 由条件 (2),"e>0,$N>0,当n>N时,有|yn-a| 即有a-e (1),有a-e 即|xn-a| 准则I¢如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件: (1)g(x)£f(x)£h(x); (2)limg(x)=A,limh(x)=A; 那么limf(x)存在,且limf(x)=A. 注如果上述极限过程是x®x0,要求函数在x0的某一去心邻域内有定义,上述极限过程是x®¥,要求函数当|x|>M时有定义, 准则I及准则I¢称为夹逼准则. 下面根据准则I¢证明第一个重要极限: . 证明首先注意到,函数对于一切x¹0都有定义.参看附图: 图中的圆为单位圆, 因为SDAOB 不等号各边都除以sinx,就有,或. 注意此不等式当- 简要证明: 参看附图,设圆心角ÐAOB=x().显然BC 因为,根据准则I¢,. 应注意的问题: 在极限中,只要a(x)是无穷小,就有. 这是因为,令u=a(x),则u®0,于是. (a(x)®0). 例1.求. 解: . 例2.求. 解: =. 准则II单调有界数列必有极限. 如果数列{xn}满足条件x1£x2£x3£×××£xn£xn+1£×××,就称数列{xn}是单调增加的;如果数列{xn}满足条件x1³x2³x3³××׳xn³xn+1³×××,就称数列{xn}是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列. 如果数列{xn}满足条件xn£xn+1,nÎN+, 在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界.但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛.现在准则II表明: 如果数列不仅有界,并且是单调的,那么这数列的极限必定存在,也就是这数列一定收敛. 准则II的几何解释: 单调增加数列的点只可能向右一个方向移动,或者无限向右移动,或者无限趋近于某一定点A,而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II,可以证明极限存在. 设,现证明数列{xn}是单调有界的.按牛顿二项公式,有 . 比较xn,xn+1的展开式,可以看出除前两项外,xn的每项都小于xn+1的对应项,并且xn+1还多了最后一项,其值大于0,因此xn 这个数列同时还是有界的.因为xn的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替,得. 根据准则II,数列{xn}必有极限.这个极限我们用e来表示.即. 我们还可以证明.e是个无理数,它的值是e=2.718281828459045×××. 指数函数y=ex以及对数函数y=lnx中的底e就是这个常数. 在极限中,只要a(x)是无穷小,就有. 这是因为,令,则u®¥,于是. (a(x)®0). 例3.求. 解: 令t=-x,则x®¥时,t®¥.于是. 或. 备注栏 教 学 后 记
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