华中科技大学研究生矩阵论考试试卷..pdf
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华中科技大学研究生矩阵论考试试卷..pdf
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1华中科技大学研究生课程考试试卷课程名称:
课程名称:
课程类别课程类别考核形式考核形式学号学号_姓名姓名_院系院系_考试日期考试日期一、一、判断题判断题:
(26=12分)
(1)线性空间R3中的正交投影是正交变换。
(2)如果g()=(-2)(-5)2是矩阵A的化零多项式,即g(A)=0,则2和5是矩阵A的特征值.(3)设A为n阶方阵,矩阵函数f(A)有意义,如果A相似于对角矩阵,则f(A)也相似于对角矩阵.(4)如果矩阵运算A,则矩阵A=0或者B=0(5)如果矩阵A既有左逆又有右逆,则矩阵A一定是方阵,且为可逆矩阵。
(6)对于矩阵A和矩阵A+的秩,有rank(A)=rank(A+)二二、填空题:
、填空题:
(每个空3分,共27分)(答案请填在每题横线标定的位置上)
(1)设矩阵i32212i323i211A,其中1i,则A.
(2)线性空间AARAWT44的维数,dimW=(3)设2-031A,矩阵B的特征值为2,3,4,则矩阵AB的特征值为.(4)设线性空间R3中的线性变换T被定义为绕向量e2=010T,逆时针旋转一个角的旋转变换,则变换T的一个二维不变子空间是.(5)设矩阵A的UV分解为2005207211-46033005A,则矩阵A的LDV分解为.(6)设函数矩阵tt01tA3)(,则dt(t)d(A1=三、(12分)设P为R3中的正交投影,P将空间R3中的向量投影到平面上,0z-yxzyxT,求P在线性空间R3的自然基e1,e2,e3下的变换矩阵A.四、(15分)公共课公共课专业课专业课开卷开卷闭卷闭卷矩阵论矩阵论2设矩阵0121-211-13A,
(1)求可逆矩阵P和矩阵A的Jordan矩阵JA,使得P1AP=JA,
(2)设参数t0,求矩阵函数eAt和矩阵eAt的Jordan矩阵AteJ.五、(15分)设矩阵1-11111B,
(1)求矩阵A的奇异值分解
(2)求A+六、(15分)设矩阵t021-A,01-2-1B,3-231D,矩阵方程为AX+XB=D,
(1)讨论t为何值,矩阵方程有唯一解.
(2)在矩阵方程有唯一解时,求解其中的未知矩阵X.七、证明题(6分+7分=13分)
(1)假设nnCA并且A2=A,证明N(A)R(A)Cn,其中R(A)和N(A)分别是矩阵A的列空间和零空间(6分)
(2)如果矩阵A是正规矩阵,且矩阵函数f(A)有意义,证明f(A)也是正规矩阵.(6分)(3)(4)(7分)假设nnCA是可逆的,证明:
其中,分别为的最大和最小的奇异值.34三、(15分)设矩阵3100110000530031A,求矩阵A的Jordan标准型JA和可逆矩阵P,使得P1AP=JA.5四、(15分)设线性方程组AX=b表示如下:
312312111xxxxxx
(1)求A的满秩分解;
(2)计算A+(3)求该方程组的最佳最小二乘解。
6五、(15分)设非零列向量,Rn,n2,A=TRnn,tr(A)表示矩阵A的迹
(1)求矩阵A的特征值.
(2)证明A的最小多项式是m()=2tr(A)(3)写出矩阵A的Jordan标准型.7六、证明题:
(共13分:
第1题5分,第2题8分)
(1)设A是n阶方阵,(A)是矩阵A的谱半径,证明:
如果1)(A,则0limkkA.
(2)设A为mn阶矩阵,B为nk阶矩阵,R(A)和R(AB)分别表示矩阵A和矩阵AB的列空间,证明R(A)=R(AB)的充分必要条件是存在kn阶矩阵C,使得ABC=A。
8华中科技大学研究生课程考试草稿纸课程名称:
课程名称:
课程类别课程类别考核形式考核形式学生类别学生类别考试日期考试日期2014.12.18学生所在院系学生所在院系_学号学号_姓名姓名_公共课公共课专业课专业课开卷开卷闭卷闭卷矩阵论矩阵论9华中科技大学研究生课程考试答题纸课程名称:
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矩阵论矩阵论课程类别课程类别考核形式考核形式学生类别学生类别硕士考试日期考试日期2014.12.18学生所在院系学生所在院系_学号学号_姓名姓名_题号题号一一二二三三四四五五六六总分总分得分得分题号题号答答题题部部分分得分得分华中科技大学研究生课程考试答题纸公共课公共课专业课专业课开卷开卷闭卷闭卷10题号题号答答题题部部分分得分得分华中科技大学研究生课程考试答题纸题号题号答答题题部部分分得得分分11华中科技大学研究生课程考试答题纸题号题号答答题题部部分分得分得分12华中科技大学研究生课程考试答题纸题号题号答答题题部部分分得分得分13华中科技大学研究生课程考试答题纸题号题号答答题题部部分分得分得分14华中科技大学研究生课程考试草稿纸
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