课堂实录(师生互动版):必修5第二章2.2等差数列(第一课时)程琬婷.doc
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《等差数列》(第一课时)课堂实录(师生互动版)
广西百色西林县西林民族高级中学程琬婷
师:
同学们好!
生:
老师好!
师:
请坐!
这节课我们一起来学习《等差数列》》.
学生活动1:
①预习教材P36~P39,至少找出三个问题或困惑;②填写情境中的数列,并观察、分析情境中的两个数列的特征.
情境1:
小时候捉迷藏,为了更快数数,我们从2开始,每隔2数一次,可以得到数列:
2,4,6,8,___,___,___,___,…
情境2:
小明目前会100个单词,但他打算从今天起不再背单词了,结果不知不觉地每天
忘掉1个单词,试写出在今后的5天内小明的单词量:
100,___,___,___,___,…
师:
你能用通俗易懂的语言描述情境中的两个数列①2,4,6,8,…;
②100,99,98,97,96,…的共同特征吗?
生1:
后一项与它的前一项的差等于常数。
师:
反例:
2,5,9,10,12,这样的数列特征和上述数列一样吗?
生:
不一样,要加上同一常数。
生2:
每一项与前一项的差等于同一常数。
师:
反例:
2,5,7,9,11,这样的数列特征和上述数列一样吗?
生:
不一样,必须从第2项起。
生3:
从第2项起,每一项与前一项的差等于同一常数。
(教师板书等差数列的定义,通过上述反例的说明,让学生深刻理解这两组数列的共同特征:
(1)从第2项起;
(2)同一常数。
)
师:
定义中最吸引你眼球的关健词是哪些?
(再次强调等差数列的特征)
生:
从第2项起;同一常数.
师:
很好,谢谢!
这位同学的回答揭示了等差数列的基本特征!
同学们都认同吗?
生:
认同!
师:
好,那么,你们当中谁能说说你们这样认为的理由呢?
生4:
首先从第2项起,包括了数列中任意相邻两项,而无遗漏;其次“差是常数”和“差是同一个常数”的意义不一样,如数列1,5,3,7中,是常数;,是常数;,是常数;差都是常数,但是很明显该数列不是等差数列,所以强调“差是同一个常数”是等差数列定义的核心.
师:
嗯,令人赞赏的回答,值得大家学习。
保持这样的敏锐思维,我们继续前进,你们能用数学符号语言表示等差数列的定义吗?
学生活动2:
学生合作、讨论、交流、抽象、概括.
数学语言:
师:
你能举例日常生活中等差数列的例子吗?
生:
举例:
22,22.5,23,23.5,24,24.5,25 ,…… d=0.5;
10,9,8,7,6,5,……d=-1;
1,1,1,1,1,1 ,……d=0.
师:
很好!
刚才同学们举例的第三个例子是一个常数列,常数列也是等差数列,公差是0.
师:
回到情境中的两个数列,你能快速的说出情境中两个数列的公差?
生:
师:
很好!
接下来,请同学们仔细观察,在如下的两个数之间,插入一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列?
①-10,(),0;②1,(),1.比一比,看谁填写最快!
学生活动2:
学生自主观察、思考,得出答案.
师:
想一想,一个等差数列最少有几项?
它们之间有什么关系?
生:
至少三项
(老师引导学生概括等差中项的概念:
若三个数组成等差数列,那么A叫做与的等差中项,即或.)
师:
若数列100,95,90,85,80…是一个无穷数列,你能写出第20项
=,和第100项=吗?
师:
要是有通项公式,那该多好啊!
你能推导出等差数列的通项公式吗?
(老师启发学生归纳、猜想,可用首项与公差表示数列中任意一项.)
生5:
即:
即:
即:
……
由此可得:
(n≥2)
师:
嗯,很好,请问你是从第几项开始归纳的呢?
生5:
第2项,所以n≥2.
师:
那么当n=1时呢?
生5:
当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式是:
()
师:
很好!
这位同学的推理能力很强,除此之外,你们还能想出其他不同的方法来推导等差数列的通项公式吗?
生6:
还可用下面的方法归纳:
当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式为:
()
师:
嗯,很好!
这位同学的思维很开阔!
我们把这种方法称为迭代法。
那么,还有其他的推导方法吗?
(学生面露难色)
老师启发:
看方法一的第一个式子
有何规律?
生7:
可以用累加的方法,左边累加后得,右边累加的d+d+d+…+d共n-1个d,即当n=1时,等式也是成立,因而等差数列的通项公式:
()
师:
这位同学的头脑真灵活!
对于等差数列通项公式的推导,大部分同学用不完全归纳法,通过个别同学补充迭代法与累加法,从而得到等差数列的通项公式为:
(),其中是这个数列的首项,d是公差.
师:
从以上推导过程中,你能得出哪些感悟,可以分享一下吗?
生:
已知一数列为等差数列,则只要知其首项和公差d,便可求得其通项.
师:
你的观察很仔细,很好!
下面我们通过例题,强化对等差数列通项公式的理解及应用.
例1
(1)求等差数列8,5,2…的第20项;
(2)-401是不是等差数列-5,-9,-13…的项?
如果是,是第几项?
师:
(1)中求第20项,需要知道什么呢?
生8:
首项和公差.
师:
嗯,很好!
那么
(2)中怎样判断-401是不是数列中的项呢?
生8:
先求通项公式,再判断是否存在正整数n,使得-401=成立.
师:
很好,请坐!
(鼓励尝试解答后,师生共同板书解题过程.教师强调解题过程要规范、严谨.)
解:
(1)由=8,d=5-8=-3,n=20,得
(2)由=-5,d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为:
由题意知,本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立.
解这个关于n的方程,得n=100,即-401是这个数列的第100项.
师:
请同学们想一想,做了这道例题,你能总结出一些什么规律或者做题技巧吗?
再请回想一下在刚才的解题过程中哪个部分遇到了困难?
又是用什么方法解决的?
延伸来看,哪一类题目可以用这种方法来解决?
生9:
从该例题中可以看出,等差数列的通项公式其实就是一个关于、、d、n(独立的量有3个)的方程.
生10:
要懂得利用通项公式来判断所给的数是不是数列中的项,当判断是第几项的项数时还应看求出的项数是否为正整数,如果不是正整数,那么它就不是数列中的项.
师:
很好,这两位同学的反思很透彻,谢谢!
下面我们来看变式训练一,同桌合作探究,然后请两位同学代表上台演练,分享解题过程.
解:
(1)由题意得:
a1=3,d=7-3=4,n=10
∴这个数列的通项公式是:
an=a1+(n-1)d=4n-11
∴a10=4×10-11=29说明理由.
(2)由题意得:
a1=2,d=9-2=7
∴这个数列的通项公式是:
an=2+(n-1)×7=7n-5
令100=7n-5,得n=15
∴100是这个数列的第15项.
师:
谢谢这两位同学的分享!
看来我们这变式训练并没有难倒大家,那么接下来我们要进行当堂检测了,请同学们先自主思考1分钟,然后再和小组成员一起合作探究解题思路,最后各小组在派一位代表给出本组最终确定的答案.
v当堂检测(时量:
5分钟满分:
10分)计分:
1.等差数列1,-1,-3,…,-89的项数是().
A.92B.47C.46D.45
2.数列的通项公式,则此数列是().
A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列
C.首项为2的等差数列D.公差为n的等差数列
3.等差数列的第1项是7,第7项是1,则它的第5项是().
A.2B.3C.4D.6
4.在△ABC中,三个内角A,B,C成等差数列,则∠B=.
5.一个等差数列的前4项是,则等于.
(教师出示答案,学生订正.)
师:
感谢各小组代表的完美解答!
看来,我们今天通过这节课的学习,学会了利用等差数列通项公式求出数列里的任意项。
下面,我们来梳理一下今天的收获,同学们可以大胆地和大家分享一下你的收获是什么?
生11:
我知道了等差数列及等差中项的概念.
生12:
我体验到了大家相互交流所带来的解题乐趣.
生13:
我学会了三种推导等差数列通项公式的方法.
生14:
我学会了已知等差数列的任意两项,可以求等差数列中的任意一项.
师:
看来同学们这节课都收获满满的,最后,为了巩固提升,请同学们完成如下作业:
1.基础巩固:
课本39页,练习1、2
2.能力提高:
(1)如果一个数列是等差数列,那么该数列的通项公式能否写成(其中为常数)的形式?
(2)如果一个数列的通项公式能写成(其中为常数),那么这个数列一定是等差数列吗?
师:
大家的积极探究和思考让我们的课堂精彩纷呈,更多有趣的探究将在我们的下节课展开,这节课到此结束,感谢大家的参与!
下课,同学们再见!
生:
老师再见!
4
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