材料力学课件第十三章弯曲的几个补充问题.ppt

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Additionalremarksforbending,第十二章弯曲的几个补充问题,121非对称弯曲（Unsymmetricalbending）122开口薄壁杆件的切应力弯曲中心（Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter）,第十二章弯曲的几个补充问题（Additionalremarksforbending）,12-1非对称弯曲（Unsymmetricalbending）,一、非对称弯曲（Unsymmetricalbending）,横向力虽然通过截面的弯曲中心，但与形心主惯性平面存在一定夹角。

在这种情况下，梁弯曲后的轴线不在力的作用平面内，这种弯曲变形称为斜弯曲.,二、斜弯曲的分析方法（Analysismethodforunsymmetricalbending）,2.叠加（Superposition）对两个平面弯曲进行研究，然后将计算结果叠加起来,Fz,Fy,y,z,F,j,B,A,1.分解（Resolution）将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲,梁在垂直纵向对称面xy面内发生平面弯曲。

z轴为中性轴,梁的轴线,梁的轴线,水平纵向对称面,梁在水平纵向对称面xz平面内弯曲，y轴为中性轴。

三、梁内任意横截面上的内力分析（Analysisofinternalforceonanycrosssection）,B,A,x,My=Fzx=Fxsin（使梁在xz平面内弯曲，y为中性轴）,Mz=Fyx=Fxcos（使梁在xy平面内弯曲，z为中性轴）,m,m,四、横截面上的应力分析（Stressanalysisofcrosssections）,1.与My相应的正应力为（ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy）,2.与Mz相应的正应力为（ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz）,C点处的正应力（ThenormalstressatpointC）,五、横截面上中性轴的位置（Locationofneutralaxisoncrosssection）,中性轴上的正应力为零,假设点e（z0,y0）为中性轴上任意一点,Mz,O,e（z0,y0）,中性轴方程为,中性轴是一条通过横截面形心的直线（theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea）,My,中性轴的位置由它与y轴的夹角确定,公式中角度是横截面上合成弯矩M的矢量与y轴的夹角。

横截面上合成弯矩M为,y0,y,z,O,公式中角度y是横截面上合成弯矩M的矢量与y轴的夹角.,中性轴,Mz,My,讨论：

（1）一般情况下，截面的IzIy,故中性轴与合成弯矩M所在平面不垂直，此为斜弯曲的受力特征。

所以挠曲线与外力（合成弯矩）所在面不共面,此为斜弯曲的变形特征。

（2）对于圆形、正方形等Iy=Iz的截面，有=y，梁发生平面弯曲（planebending），正应力可用合成弯矩M按正应力计算公式计算。

梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线，故梁的挠曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。

六、最大正应力分析（Analysisofmaximumnormalstress）,作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于D1、D2两点，D1和D2两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。

O,D1,D2,对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面，梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。

可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉、压应力点的位置，无需定出中性轴。

D2,D1,O,七、强度条件（Strengthcondition）,斜弯曲的危险点处于单向应力状态，所以强度条件为,八、斜弯曲的挠度（Deflectionofunsymmetricalbending）,分别求出Fy引起的挠度wy和Fz引起的挠度wz,方法：

叠加原理,总挠度为w,总挠度与轴的夹角为y,x,ABC,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m0.5m,40,80,z,y,O,ad,bc,例题1矩形截面的悬臂梁承受荷载如图所示.试确定危险截面上危险点所在的位置，计算梁内最大正应力的值.,解:

（1）外力分析,梁在F2的作用下将在xOz平面内发生平面弯曲（y为中性轴）,故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合-斜弯曲,梁在F1的作用下将在xOy平面内发生平面弯曲（z为中性轴）,x,ABC,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m0.5m,

（2）绘制弯矩图,绘出Mz（x）图,绘出My（x）图,A截面为梁的危险截面,Mz=1kNm,My=1kNm,x,ABC,z,y,F2=2kN,F1=1kN,0.5m0.5m,Mz使A截面上部受拉，下部受压,My使A截面前部受拉，后部受压,（3）应力分析,D1是最大拉应力点,D2是最大压应力点,两点正应力的绝对值相等,拉,压,拉,压,拉,压,拉,压,（4）中性轴的位置,（5）绘制总应力分布图,+,-,D1=7.02,D2=-7.02,拉,压,例题220a号工字形悬臂梁受集度为q的均布荷载和集中力F=qa/2作用,力F作用在yOz平面内.已知钢的许用应力=160MPa，a=1m。

试求此梁的许可荷载集度q.,解：

将力F向y轴和z轴分解,Fy与均布荷载q使梁在xy平面内产生弯曲（z为中性轴）,Fz使梁在xz平面内产生弯曲（y为中性轴）,z,xz面,xy面,D,D,0.617a,b,c,d,a,0.456qa2,0.266qa2,0.383qa2,Mz图,

（1）画弯矩图,A、D两截面可能是危险截面,MzA=0.266qa2,MzD=0.456qa2,MyA=0.642qa2,MyD=0.444qa2,A截面,D截面,

（2）计算应力,查工字钢表20a号,A截面,D截面,梁的危险点在A截面棱角处,122开口薄壁杆件的切应力弯曲中心（Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter）,一、非对称截面梁平面弯曲的条件（Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams）,前面讨论的平面弯曲,仅限于梁至少有一个纵向对称面,外力均作用在该对称面内且垂直于轴线.对于非对称截面梁.横截面上有一对形心主惯性轴y,z,形心主惯性轴y,z与轴线x组成两个形心主惯性平面xOy,xOz,1.实体梁（Bodybeams）,当横向外力作用在形心主惯性平面的平面内,梁发生平面弯曲.否则将会伴随着扭转变形.但由于实体构件抗扭刚度很大.扭转变形很小,其带来的影响可以忽略不计.,2.开口薄壁截面梁（Openthin-wallsections）,对于开口薄壁截面梁,即使横向力作用于形心主惯性平面内（非对称平面）,则梁除发生弯曲变形外,还将发生扭转变形.只有当横向力的作用线平行于形心主惯性平面并通过某个特定点时,梁才只发生平面弯曲,而无扭转变形.这个特定点称为横截面的弯曲中心（Shearcenterorflexuralcenter）,用A表示.,3.弯曲中心的确定（Determinationoftheshearcenter）,

（1）弯曲中心（Shearcenterorflexuralcenter）,切应力合力的作用点就是截面弯曲中心（使杆不发生扭转的横向力作用点）.,

（2）弯曲中心的位置（Locationoftheshearcenter）,（b）具有一个对称轴的截面,其弯曲中心一定在这个对称轴上.,（c）若截面的中线是由若干相交于一点的直线段所组成，则此交点就是截面的弯曲中心.,（a）具有两个对称轴或反对称轴的截面,其弯曲中心与形心重合.,例3试画出下列各薄壁截面弯曲中心的大致位置;若剪力FS的方向垂直向下,试画出切应力流的方向.,例题4一槽钢制成的梁受方向平行于其腹板的横向荷载作用.钢槽截面简化后的尺寸见图.,

（2）确定横截面上剪力作用线的位置,

（1）分析横截面上腹板,翼缘两部分切应力t和t1的变化规律,腹板上切应力沿高度按二次抛物线规律变化.,

（2）横截面翼缘上的切应力,沿翼缘厚度用纵向截面AC截出一体积元素C-m,在C-m的两个截面D-m,C-n上分别有由法向内力元素,在C-m的两个截面D-m,C-n上分别有由法向内力元素组成的拉力FN1*,FN2*.,由于翼缘很薄,故可认为1,11,沿翼缘厚度保持不变,且其值与翼缘中线上的正应力相同.,所以在AC截面上一定存在着切向内力元素dFS，因为翼缘横截面也是狭长矩形,故可采用切应力沿壁厚不变及其方向平行于翼缘长度的假设.,由于,根据剪应力互等定理,横截面上的切应力和AC上的切应力如图所示.,平衡方程Fx=0,经过整理,即得,由切应力互等定理可知,得横截面上的切应力,式中,FS为横截面上的剪力,Iz为整个横截面对其中性轴的惯性矩,h为截面两翼缘中线间的距离,为从翼缘外端到要求切应力点之间的长度,1沿翼缘长度按线性规律变化.,翼缘上的最大剪应力发生在横截面上翼缘与腹板的中线相接处.,切应力的指向如图所示,（3）确定横截面上剪力作用线的位置,腹板上切向内力元素dA的合力FR,式中,A*为横截面腹板部分的面积,FR为腹板上的切向内力元素组成的合力,dA=ddy为横截面腹板部分的面积元素,横截面翼缘部分切向内力元素1dA所组成的合力FH,m,上式的积分运算结果与式中的Iz的算式接近,由力系合成原理可知,上述合力的大小和方向均与FR相同,但作用线应与FR相隔一个距离az.,m,m,横截面上的剪力为一个FR和两个FH.它们的合力的作用线位置,就是梁横截面上剪力的作用线位置.,A点称为剪切中心或弯曲中心,第十二章结束,