统计量及其抽样分布概论.pptx
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第6章统计量及其抽样分布,6.1统计量6.2关于分布的几个概念6.3由正态分布导出的几个重要分布6.4样本均值的分布与中心极限定理6.5样本比例的抽样分布6.6两个样本平均值之差的分布6.7关于样本方差的分布,第6章统计量及其抽样分布,6.1统计量,6.1.1统计量的概念6.1.2常用统计量6.1.3次序统计量6.1.4充分统计量,6.1.1统计量的概念,在实际应用中,当我们从总体中抽取一个样本,后,并不能直接应用它去对,总体的有关性质和特征进行推断,这是因为样本虽然是从总体中获取的代表,含有总体性质的信息,但仍较分散。
为了使统计推断成为可能,需要把分散的信息集中起来,针对不同的研究目的,构造不同的样本函数,这种函数在统计学中称为统计量。
1.构造统计量的原因:
6.1.1统计量的概念,容量为n的一个样本,如果由此样本构造一个,2.统计量的定义:
统计量(或样本统计量)。
代入T计算的数值称为一个具体的统计量值。
统计量概念的例题,【例6.1】设,解:
一个样本,判断下列各量是否为统计量。
是从某总体X中抽取的,
(1)
(2)是统计量,(3)(4)不是统计量,,因为(3)(4)依赖总体分布的未知参数。
6.1.2常用统计量,
(1)由于数学期望和方差等概念用“矩”来描述,1.常用统计量的构造:
(2)当n充分大时,经验分布函数靠近总体分布函数。
2.常用的统计量:
是样本的均值,反映总体期望的信息,是样本方差,反映总体方差,的信息。
样本标准差S也是常用的统计量。
6.1.2常用统计量,是样本变异系数,反映总体变异系数C,它反映了随机变量在以它的均值为单位时,取值的离散程度。
此统计量取消了均值不同对不同总体的离散程度的影响,常用来刻画均值不同时,不同总体的离散程度。
在投资项目的风.险分析中、不同群体或行业的收入差距描述中有广泛的应用。
的信息。
其中总体变异系数定义为,6.1.2常用统计量,称为样本阶矩,反映总体,阶矩的信息。
,称为样本阶中心矩。
反映出总体阶中心矩的信息。
6.1.2常用统计量,,称为样本偏度。
反映出总体偏度的信息。
偏度反映了随机变量密度函数曲线在众数(密度函数在这一点达到最大值)两边的对称偏斜性。
6.1.2常用统计量,,称为样本峰度。
它反映出总体峰度的信息。
峰度反映随机变量密度函数曲线在众数附近的“峰”的尖峭程度。
6.1.3次序统计量,分别为最小和最大次序统计量。
称为样本极差。
6.1.4充分统计量,充分统计量是指统计量的加工过程中一点信息都不损失的统计量。
【例6.2】某电子元件厂欲了解其产品的不合格率p,质检员抽检了100个电子元件,检查结果是,除前3个是不合格品(记为)外,其他都是合格品(记为)。
当企业领导问及抽检结果时,质检员给出如下两种回答:
(1)抽检的100个元件中有3个不合格,
(2)抽检的100个元件中前3个不合格,解:
T1为充分统计量。
6.1.4充分统计量,的一个样本时,,6.2关于分布的几个概念,6.2.1抽样分布6.2.2渐近分布6.2.3随机模拟获得的近似分布,6.2.1抽样分布,1.英国统计学家费希尔曾把抽样分布、参数估计和假设检验看做统计推断的三个中心内容。
2.研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性,完全取决于其抽样分布的性质。
3.在总体X的分布类型已知时,若对任一自然数n,都能导出统计量的分布的数学表达式,这种分布称为精确的抽样分布。
它对样本容量较小时的统计推断十分有用.,4.正态条件下,主要有分布、t分布、F分布。
6.2.2渐近分布,1.抽样分布理论中,至今已求出的精确抽样分布并不多。
2.通常,抽样分布很难求得,有时尽管求出了精确抽样分布,但因为过于复杂而难以使用。
3.实用中,当n无限增大时,常用统计量的极限分布作为抽样分布的一种近似,这种极限分布常称为渐近分布。
6.2.3随机模拟获得的近似分布,因为在实际应用中,有许多问题要寻求它的精确分布和渐近分布都是非常困难的,而在计算机飞速发展的今天,利用计算机进行随机模拟来获得某种统计量的近似分布已十分容易。
因此,随机模拟方法寻求统计量的分布已被普遍使用。
通常,抽样分布很难求得,有时尽管求出了精确抽样分布,但因为过于复杂而难以使用。
6.2.3随机模拟获得的近似分布,基本思想:
每次试验都是从总体中随机抽取容量为n的样本,然后,计算其统计量的值。
当这种试验进行了N次时,就得到,这种寻求统计量的方法就是反复地从总体中抽样,这种,抽样完全可由计算机来实现。
由此得到的统计量分布。
就是随机模拟法所获得的近似分布。
6.3由正态分布导出的几个重要分布,6.3.1分布6.3.2t分布6.3.3F分布,6.3.1分布,海尔墨特(Hermert)和卡皮尔逊(K.Pearson)分别,于1875年和1900年推导出来的。
为独立变量的个数,还可以解释为二次型的秩。
6.3.1分布,n=1,图6-1分布的概率密度函数曲线,n=4,n=10,n=20,6.3.1分布,
(1)分布的变量值始终为正的;,
(2)分布的形状取决于自由度n的大小,通常为,不对称分布,但随着自由度的增大逐渐趋于对称,,(3)数学期望和方差分别为,则,6.3.1分布,7.,临界值表。
Excel操作,6.3.1分布,实际上,当n45时,,由于,标准化后,查标准正态分布p分位数表,则,6.3.2t分布,记为t(n),其中n为自由度。
提出的。
1908年在一篇以“Student”为笔名的论文中首次,6.3.2t分布,图6-2t分布的概率密度函数曲线,N(0,1),t(13),0,t(4),6.3.2t分布,N(0,1),t(13),0,利用Excel提供的统计函数TINV可构建t分布的,临界值表。
Excel操作,6.3.2t分布,
(1)t分布的密度函数与标准正态分布N(0,1)的,
(2)t(n)的密度函数的两侧都按t-(n+1)的速度趋向,密度函数非常近似,都是单峰偶函数;,于零,这比负指数函数趋向于零的速度要慢,一些,故t(n)的密度函数在两侧尾部都要比,N(0,1)的两侧尾部粗一些;,(3)t分布的数学期望为:
方差为:
,显然比N(0,1)大;,6.3.2t分布,(4)自由度为1的分布称为柯西分布,随着自由度,增大,t分布的密度函数愈来愈接近正态分布的,密度函数。
标准正态分布就非常接近;,(6)t分布一般用于小样本问题。
6.3.2t分布,6.与t分布有关的两个抽样分布:
的一个样本,,称为服从自由度为n-1的t分布。
则,6.3.2t分布,记:
是来自X的一个,则,6.3.2t分布,则,注:
由于,故,6.3.3F分布,则称X服从第一自由度为m,第二自由度为n的,有如下表达式:
显著性检验中都有着重要的地位。
有着广泛的应用,如在方差分析、回归方程的,F分布,记为F(m,n),简记为,6.3.3F分布,图6-3F分布的概率密度函数曲线,F(1,10),F(5,10),F(10,10),6.3.3F分布,利用Excel提供的统计函数FINV可构建F分布的,临界值表。
Excel操作,6.3.3F分布,方差:
(1)设随机变量X服从,则数学期望:
且,(3)F分布与t分布的关系,密度函数,t(n)分布的概率密度函数,F(n1,n2)分布的概率密度函数,积分,正态分布密度函数,6.4样本均值的分布与中心极限定理,6.4.1样本均值的分布6.4.2中心极限定理,6.4.1样本均值的分布,的随机变量。
由于正态分布是最常见的分布之一,所以主要介绍即,的分布。
的抽样分布仍为正态分布,即,6.4.1样本均值的分布,4.实际应用中,总体的分布并不总是正态分布或近似,但由中心极限定理知道,不管总体的分布是什么,,6.4.1样本均值的分布,6.由图形来观察:
总体分布,抽样分布,当样本容量足够大时(n30),样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布,一个任意分布的总体,6.4.2中心极限定理,6.4.2中心极限定理抽样分布趋于正态分布的过程,6.4.2中心极限定理,2.实际应用中,由于总体的分布未知,我们常要求n30。
注:
1.中心极限定理要求n充分大,那么多大叫充分大呢?
这与总体的分布形状有关。
总体偏离正态越远,则要求n越大。
3.大样本与小样本问题。
在样本量固定的条件下进行的统计推断、问题分析,都称为小样本问题;而在样本量n的条件下进行的统计推断、问题分析则称为大样本问题。
一般统计学中的n30为大样本,n30为小样本只是一种经验说法。
例题讲解,【例6.4】,解:
解:
例题讲解,解:
例题讲解,【例6.5】,解:
例题讲解,解:
抽样分布与总体分布的关系,总体分布,抽样分布,大样本,小样本,任何样本,正态分布,非正态分布,正态分布,非正态分布,6.5样本比例的抽样分布,1.总体(或样本)中具有某种特征的个体个数与全部个数之比,称为比例。
例如:
不同性别的人与全部人数之比。
3.由二项分布的原理和渐近分布的理论可知,,所以样本比例的分布:
6.5样本比例的抽样分布,期望与方差的线性运算与性质:
样本比例的例题,【例6.6】,解:
样本比例的例题,【例6.7】,解:
6.6.1两个样本平均值之差的分布,1.,两个样本均值之差的例题,【例6.8】,解:
6.6.2两个样本比例之差的分布,两个样本比例之差的例题,【例6.9】,解:
6.7.1样本方差的分布,6.7.2两个样本方差比的分布,【习题1】,解:
【习题2】,解:
【习题3】,解:
【习题4】,解:
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- 统计 及其 抽样 分布 概论