数值分析简明教程课后习题答案.doc
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数值分析简明教程课后习题答案.doc
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0.1算法
1、(p.11,题1)用二分法求方程在[1,2]内的近似根,要求误差不超过10-3.
【解】 由二分法的误差估计式,得到.两端取自然对数得,因此取,即至少需二分9次.求解过程见下表。
符号
0
1
2
1.5
+
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2、(p.11,题2)证明方程在区间[0,1]内有唯一个实根;使用二分法求这一实根,要求误差不超过。
【解】 由于,则在区间[0,1]上连续,且,,即,由连续函数的介值定理知,在区间[0,1]上至少有一个零点.
又,即在区间[0,1]上是单调的,故在区间[0,1]内有唯一实根.
由二分法的误差估计式,得到.两端取自然对数得,因此取,即至少需二分7次.求解过程见下表。
符号
0
0
1
0.5
1
2
3
4
5
6
7
0.2误差
1.(p.12,题8)已知e=2.71828…,试问其近似值,,x2=2.71,各有几位有效数字?
并给出它们的相对误差限。
【解】有效数字:
因为,所以有两位有效数字;
因为,所以亦有两位有效数字;
因为,所以有四位有效数字;
;
;
。
评
(1)经四舍五入得到的近似数,其所有数字均为有效数字;
(2)近似数的所有数字并非都是有效数字.
2.(p.12,题9)设,,均为经过四舍五入得出的近似值,试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。
【解】 ,;
,;
,;
评 经四舍五入得到的近似数,其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.
3.(p.12,题10)已知,,的绝对误差限均为,问它们各有几位有效数字?
【解】 由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起,故,有三位;有一位;而,也是有一位。
1.1泰勒插值和拉格朗日插值
1、(p.54,习题1)求作在节点的5次泰勒插值多项式,并计算和估计插值误差,最后将有效数值与精确解进行比较。
【解】由,求得;;;;;,所以
插值误差:
,若,则
,而,精度到小数点后5位,
故取,与精确值相比较,在插值误差的精度内完全吻合!
2、(p.55,题12)给定节点,试分别对下列函数导出拉格朗日余项:
(1);
(2)
【解】依题意,,拉格朗日余项公式为
(1)→;
(2)因为,所以
3、(p.55,题13)依据下列数据表,试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差。
0
1
2
0.32
0.34
0.36
0.314567
0.333487
0.352274
【解】依题意,,拉格朗日余项公式为
(1)线性插值
因为在节点和之间,先估计误差
;须保留到小数点后4为,计算过程多余两位。
(2)抛物线插值
插值误差:
抛物线插值公式为:
经四舍五入后得:
,与精确值相比较,在插值误差范围内完全吻合!
1.3分段插值与样条函数
1、(p.56,习题33)设分段多项式
是以0,1,2为节点的三次样条函数,试确定系数b,c的值.
【解】依题意,要求S(x)在x=1节点
函数值连续:
,
即:
一阶导数连续:
,
即:
解方程组
(1)和
(2),得,即
由于,所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。
2、已知函数的一组数据,和,
(1)求其分段线性插值函数;
(2)计算的近似值,并根据余项表达式估计误差。
【解】
(1)依题意,将x分为[0,1]和[1,2]两段,对应的插值函数为,利用拉格朗日线性插值公式,求得
;
(2),而 ,实际误差为:
。
由,可知,则余项表达式
1.4曲线拟合
1、(p.57,习题35)用最小二乘法解下列超定方程组:
【解】 构造残差平方和函数如下:
,
分别就Q对x和y求偏导数,并令其为零:
:
,
:
,
解方程组
(1)和
(2),得
2、(p.57,习题37)用最小二乘法求形如的多项式,使之与下列数据相拟合。
【解】令,则为线性拟合,根据公式(p.39,公式43),取m=2,a1=0,N=5,求得
;
依据上式中的求和项,列出下表
xi
yi
Xi(=xi2)
Xi2(=xi4)
Xiyi(=xi2yi)
19
19
361
130321
6859
25
32.3
625
390625
20187.5
31
49
961
923521
47089
38
73.3
1444
2085136
105845.2
44
97.8
1936
3748096
189340.8
∑
157
271.4
5327
7277699
369321.5
将所求得的系数代入方程组
(1)和
(2),得
;
;
即:
。
2.1机械求积和插值求积
1、(p.94,习题3)确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精度:
;
;
。
【解】
(1)令时等式精确成立,可列出如下方程组:
解得:
,即:
,可以验证,对公式亦成立,而对不成立,故公式
(1)具有3次代数精度。
(2)令时等式精确成立,可列出如下方程组:
解得:
,即:
,可以验证,对公式亦成立,而对不成立,故公式
(2)具有3次代数精度。
(3)令时等式精确成立,可解得:
即:
,可以验证,对公式亦成立,而对不成立,故公式(3)具有2次代数精度。
2、(p.95,习题6)给定求积节点试构造计算积分的插值型求积公式,并指明该求积公式的代数精度。
【解】依题意,先求插值求积系数:
;
;
插值求积公式:
①当,左边=;右边=;左=右;
②当,左边=;右边=;左=右;
③当,左边=;右边=;左≠右;
故该插值求积公式具有一次代数精度。
2.2梯形公式和Simpson公式
1、(p.95,习题9)设已给出的数据表,
x
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
f(x)
1.00000
1.65534
1.55152
1.06666
0.72159
分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分的近似值。
【解】
(1)用复化梯形法:
(2)用复化辛普生法:
2、(p.95,习题10)设用复化梯形法计算积分,为使截断误差不超过,问应当划分区间【0,1】为多少等分?
如果改用复化辛普生法呢?
【解】
(1)用复化梯形法,,设需划分n等分,则其截断误差表达式为:
;
依题意,要求,即
,可取。
(2)用复化辛普生法,,截断误差表达式为:
;
依题意,要求,即
,可取,划分8等分。
2.3数值微分
1、(p.96,习题24)导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式
【解】如果只求节点上的导数值,利用插值型求导公式得到的余项表达式为
由三点公式(51)、(52)和(53)可知,,则
2、(p.96,习题25)设已给出的数据表,
x
1.0
1.1
1.2
f(x)
0.2500
0.2268
0.2066
试用三点公式计算的值,并估计误差。
【解】已知,用三点公式计算微商:
,
用余项表达式计算误差
3、(p.96,习题26)设,分别取步长,用中点公式(52)计算的值,令中间数据保留小数点后第6位。
【解】中心差商公式:
,截断误差:
。
可见步长h越小,截断误差亦越小。
(1),则
;
(2),则
(3),则
而精确值,可见当时得到的误差最小。
在时反而误差增大的原因是与很接近,直接相减会造成有效数字的严重损失。
因此,从舍入误差的角度看,步长不宜太小。
3.1Euler格式
1、(p.124,题1)列出求解下列初值问题的欧拉格式
,,取;
,,取;
【解】
(1);
(2)。
2、(p.124,题2)取,用欧拉方法求解初值问题,。
【解】欧拉格式:
;化简后,,计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
0.4
0.6
yn
1.0
0.8
0.6144
0.4613
3、(p.124,题3)取,用欧拉方法求解初值问题,。
并与精确解比较计算结果。
【解】欧拉格式:
;化简后,,计算结果见下表。
1、(p.124,题7)用改进的欧拉方法求解上述题2,并比较计算结果。
【解】 因为,,且,则改进的欧拉公式:
。
计算结果见下表。
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
0.4
0.6
yp
1.0
0.6730
0.5147
0.3941
yc
0.76
0.7092
0.5564
0.4319
yn
0.88
0.6911
0.5356
0.413
与原结果比较见下表
n
0
1
2
3
xn
0.0
0.2
0.4
0.6
yn
1.0
0.8
0.6144
0.4613
yn(改进)
0.88
0.6911
0.5356
0.413
3.3龙格-库塔方法
1、(p.124,题11)用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题,,试取步长计算的近似值,要求小数点后保留4位数字。
【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式:
;
列表求得如下:
n
xn
yn
0
0.0
2.000
1
0.2
2.3004
2
0.4
2.4654
4.1迭代法及收敛定理
1、(p.153,题1)试取,用迭代公式,求方程的根,要求准确到。
【解】 迭代计算结果列于下表
k
xk
|xk-xk-1|
<0.001
k
xk
|xk-xk-1|
<0.001
1
1.53846
0.53846
N
6
1.36593
0.00937
N
2
1.29502
0.24344
N
7
1.37009
0.00416
N
3
1.40182
0.10680
N
8
1.36824
0.00185
N
4
1.35421
0.04761
N
9
1.36906
0.00082
Y
5
1.37530
0.02109
N
因为,所以。
2、(p.153,题2)证明方程有且仅有一实根。
试确定这样的区间,使迭代过程对均收敛。
【证明】设:
,则当时,,且一阶导数连续,,所以迭代过程对均收敛。
(压缩映像定理),方程有且仅有一实根。
<证毕>
3、(p.153,题4)证明迭代过程对任意初值均收敛于。
【证明】设:
,对于任意,因为,所以。
一阶导数,根据压缩映像定理,迭代公式对任意初值均收敛。
假设,对迭代式两边取极限,则有,则,解得,因不在范围内,须舍去。
故。
<证毕>
4.2牛顿迭代法
1、(p.154,题17)试用牛顿迭代法求下列方程的根,要求计算结果有4位有效数字:
(1),
(2),
【解】
(1)设,则,牛顿迭代公式:
,迭代计算过程见下列表。
k
xk
|xk-xk-1|
<0.0001
k
xk
|xk-xk-1|
<0.0001
1
1.88889
0.11111
N
3
1.87939
0.00006
Y
2
1.87945
0.00944
N
因为,所以。
(2)设,则,牛顿迭代公式:
,迭代计算过程见下列表。
k
xk
|xk-xk-1|
<0.0001
k
xk
|xk-xk-1|
<0.001
1
0.26894
0.73106
N
3
0.25753
0.00014
N
2
0.25739
0.01155
N
4
0.25753
0.00000
Y
因为,所以。
2、(p.154,题18)应用牛顿法于方程,导出求立方根的迭代公式,并证明该迭代公式具有二阶收敛性。
【证明】
(1)设:
,则,对任意,牛顿迭代公式
(2)由以上迭代公式,有:
。
设
;;。
,可见该迭代公式具有二阶收敛性。
<证毕>
5.1线性方程组迭代公式
1、(p.170,题1)用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解方程组:
,要求结果有3位有效数字。
【解】 雅可比迭代公式:
,迭代计算结果列于下表。
?
0
0
0
-
-
1
2/3
1/2
2/3
1/2
N
2
1/2
1/6
1/6
1/3
N
3
11/18
1/4
1/9
1/12
N
4
7/12
7/36
1/36
1/18
N
5
0.60185
0.20833
0.01852
0.01389
N
6
0.59722
0.19908
0.00463
0.00925
N
7
0.60031
0.20139
0.00309
0.00231
N
8
0.59954
0.19985
0.00077
0.00154
N
9
0.60005
0.20023
0.00051
0.00038
N
10
0.59992
0.19998
0.00003
0.00025
Y
;
由上表可见,所求根皆为小数点后第1位不为零的小数,要取3位有效数,则误差限为。
高斯-赛德尔迭代公式:
,迭代计算结果列于下表。
?
0
0
0
-
-
1
2/3
1/6
2/3
1/6
N
2
0.6111
0.1944
N
3
0.6019
0.1991
0.0092
0.0047
N
4
0.6003
0.1999
0.0016
0.0008
N
5
0.6000
0.1999
0.0003
0.0000
Y
;
2、(p.171,题7)取,用松弛法求解下列方程组,要求精度为。
【解】欧先写出高斯-赛德尔迭代:
引入松弛因子,得
将方程组
(1)代入
(2),并化简
计算结果见下表。
?
0
0
0
0
-
-
-
-
1
5
2.5
-3.125
5
2.5
3.125
N
2
1.40625
2.65625
-2.14844
N
3
2.15820
3.03223
-2.28882
N
4
1.61173
3.15872
-2.19860
N
5
1.63577
3.24423
-2.19187
N
6
1.54959
3.28508
-2.17800
N
7
1.53284
3.30793
-2.17320
N
8
1.51561
3.31978
-2.17001
N
9
1.50880
3.32615
-2.16847
N
0
1.50453
3.32951
-2.16762
N
1
1.50245
3.33130
-2.16717
N
2
1.50129
3.33225
-2.16694
N
3
1.50069
3.33276
-2.16672
N
4
1.50037
3.33306
-2.16676
N
5
1.50016
3.33318
-2.16670
N
6
1.50010
3.33325
-2.16668
N
7
1.50005
3.33329
-2.16668
0.00005
0.00004
0.00000
Y
迭代解:
精确解:
5.1线性方程组迭代公式
1、(p.170,题2)试列出求解下列方程组的雅可比迭代公式与高斯-赛德尔迭代公式,并考察迭代过程的收敛性。
【解】
(1)雅可比迭代公式:
(1)
,,迭代收敛。
(2)高斯-赛德尔迭代公式:
(2)
将方程组
(1)带入
(2),经化简后,得:
(3)
,,迭代收敛。
2、(p.171,题5)分别用雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代求解下列方程组:
(1)
(2)
【解】
(1)雅可比迭代:
,,不收敛。
高斯-赛德尔迭代:
或,,不收敛。
(2)雅可比迭代:
,,不收敛。
高斯-赛德尔迭代:
或
不收敛。
3、(p.171,题6)加工上述题5的方程组,比如调换方程组的排列顺序,以保证迭代过程的收敛性。
【解】加工后结果如下:
(1)
(2)
方程组
(1)的雅可比迭代:
,,迭代收敛。
方程组
(1)的高斯-赛德尔迭代:
,,迭代收敛。
方程组
(2)的雅可比迭代:
,,迭代收敛。
方程组
(1)的高斯-赛德尔迭代:
,,迭代收敛。
6.1高斯消元法
1、(p.198,题2)用选列主元高斯消元法求解下列方程组:
(1)
(2)
【解】
(1)
所以:
,,.
(2)
所以:
,,.
2、(p.199,题9)计算下列三阶坡度阵的条件数:
(1)。
【解】令:
,先求A-1。
,所以
最后求得条件数为:
.
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