2022－2023学年北京市海淀重点学校高三（上）期末数学试卷（含解析）.docx

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2022－2023学年北京市海淀重点学校高三（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.已知集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x∈N|1

A.{x|1

C.{1,2,3,4} D.{2,3}

2.若z−（1+i）=1−i，则z=（    ）

A.1−i B.1+i C.−i D.i

3.已知函数f（x）=（12）x−2x，则f（x）（    ）

A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数

C.是奇函数，且在R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数

4.若非零实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（    ）

A.1a>1b B.a+b>2ab C.lga2>lgb2 D.a3>b3

5.某班分成了A、B、C、D四个学习小组学习二十大报告，现从中随机抽取两个小组在班会课上进行学习成果展示，则A组和B组恰有一个组被抽到的概率为（    ）

A.13 B.12 C.23 D.56

6.已知平面α，β，γ，η，α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，则“l//η”是“η⊥γ”的（    ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.已知函数f（x）=sin（ωx+θ），（ω>0,|θ|<π2），x=π6是f（x）的一个极值点，x=−π6是与其相邻的一个零点，则f（π3）的值为（    ）

A.0 B.1 C.−1 D.22

8.若双曲线C：

y2a2−x24=1（a>0）的一条渐近线被圆（x−2）2+y2=4所截得的弦长为165，则双曲线C的离心率为（    ）

A.133 B.173 C.53 D.393

9.已知{an}为无穷等比数列，且公比0

A.a30 C.{an}是递减数列 D.Sn存在最小值

10.定义函数π（x）的值为不超过正实数x的素数的个数（素数是大于1且只以1和自身为因数的正整数），则π（n）n表示正整数集合{1,2,3,…n}，n∈N+中素数所占的比例.数学家发现，当n非常大时这个比例接近于1lnn的值.由此估计，下列选项中与区间（109,1010）中素数的个数最接近的是（提示：

lge≈0.434）（    ）

A.4.8×107 B.3.9×108 C.4.3×108 D.8.2×108

二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）

11.已知（2−x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1+a2+…+a7=______.（用数字作答）

12.已知a，b是单位向量，c=a+2b.若a⊥c，则|c|=______．

13.已知O为坐标原点，点A（cosα,sinα），B（cos（α+π6）,sin（α+π6）），则△AOB的面积为______．

14.如图，在三棱锥A−BCD中，BC=DC=AB=AD=2，BD=22，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P−QCO体积的最大值为______．

15.已知数列{an}满足a1=1，an+1=an−12an2，给出下列四个结论：

①数列{an}的前n项和Sn<2；

②数列{an}的每一项an都满足0

③数列{an}的每一项an都满足an≥（12）n−1（n∈N*）；

④存在n∈N*，使得an>2n+1成立．

其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.（本小题12.0分）

已知函数f（x）=23sinxcosx+sin2x−cos2x．

（1）求函数f（x）取最大值时x的取值集合；

（2）设函数f（x）在区间[π2,m]是减函数，求实数m的最大值．

17.（本小题12.0分）

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，点F为棱PC上的点，平面ADF与棱PB交于点E．

（Ⅰ）求证：

EF//AD；

（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小．

条件①：

AE=2；

条件②：

平面PAD⊥平面ABCD；

条件③：

PB⊥FD．

注：

如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．

18.（本小题12.0分）

单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分.最终取每站三次滑行成绩的最高分作为该站比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：

分站

运动员甲的三次滑行成绩

运动员乙的三次滑行成绩

第1次

第2次

第3次

第1次

第2次

第3次

第1站

80.20

86.20

84.03

80.11

88.40

0

第2站

92.80

82.13

86.31

79.32

81.22

88.60

第3站

79.10

0

87.50

89.10

75.36

87.10

第4站

84.02

89.50

86.71

75.13

88.20

81.01

第5站

80.02

79.36

86.00

85.40

87.04

87.70

（1）从上表5站中随机选取一站，求在该站甲运动员的比赛成绩高于乙运动员的比赛成绩的概率；

（2）设甲乙成绩相互独立，从甲的5站比赛成绩和乙的5站比赛成绩中分别随机选取一个，求两人的比赛成绩中至少有一人高于88分的概率；

（3）甲5站的比赛成绩的平均值为μ0，甲乙5站比赛成绩的总平均值记为μ1，比较μ0与μ1的大小（直接写出结果）．

19.（本小题12.0分）

已知椭圆E：

x2a2+y2b2=1（a>b>0）的焦距为2，一个顶点为A（0,2）．

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程及离心率；

（Ⅱ）过点P（0,3）的直线l斜率为k，交椭圆E于不同的两点B、C，直线AB、AC分别交直线y=3于点M、N，求|PM||PN|的值．

20.（本小题12.0分）

已知函数f（x）=x2+2ax+ae2x+4．

（1）若a=0，求f（x）的单调区间；

（2）x=0是函数的极小值点，求实数a的取值范围；

（3）若f（x）的最小值为−e2，求实数a的值．

21.（本小题12.0分）

已知有限数列{an}，从数列{an}中选取第i1项、第i2项、……、第im项（i1

数列{an}的任意一项都是{an}的长度为1的子列．若数列{an}的每一子列的所有项的和都不相同，则称数列{an}为完全数列．

设数列{an}满足an=n，1≤n≤25，n∈N*．

（Ⅰ）判断下面数列{an}的两个子列是否为完全数列，并说明由；

数列

（1）：

3，5，7，9，11；数列

（2）：

2，4，8，16．

（Ⅱ）数列{an}的子列{ak}长度为m，且{bk}为完全数列，证明：

m的最大值为6；

（Ⅲ）数列{an}的子列{ak}长度m=5，且{bk}为完全数列，求1b1+1b2+1b3+1b4+1b5的最大值．

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：

集合A={x|x2−3x−4≤0}={x|−1≤x≤4}，B={x∈N|1

则A∩B={2,3}．

故选：

D．

先分别求出集合A，B，然后结合集合的交集运算即可求解．

本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．

【解答】

解：

由z−（1+i）=1−i，得z−=1−i1+i=（1−i）2（1+i）（1−i）=−i，

∴z=i．

故选D．

3.【答案】C 

【解析】解：

根据题意，f（x）=（12）x−2x，

有f（−x）=2x−（12）x=−f（x），则函数f（x）为奇函数，

又由y=（12）x在R上为减函数，y=2x在R上为增函数，则函数f（x）=（12）x−2x在R上为减函数，

故选：

C．

根据题意，由函数的解析式可得f（−x）=2x−（12）x=−f（x），则函数f（x）为奇函数，由指数函数的性质可得y=（12）x在R上为减函数，y=2x在R上为增函数，则函数f（x）=（12）x−2x在R上为减函数，据此分析可得答案．

本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握函数奇偶性、单调性的判断方法，属于基础题．

4.【答案】D 

【解析】解：

对于A，因为当a=2，b=1时，满足a>b，但1a>1b不成立，所以A错；

对于B，因为当a=−1，b=−2时，满足a>b，但a+b=−3，2ab=22>0，所以a+b>2ab不成立，所以B错；

对于C，因为当a=−1，b=−10时，满足a>b，但lga2=0，lgb2=2，所以lga2>lgb2不成立，所以C错；

对于D，因为y=x3是单调递增函数，所以a>b⇒a3>b3，所以D对．

故选：

D．

根据不等式基本性质，用特值法判断ABC，用函数单调性判断D．

本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

利用列举法结合古典概型概率公式即得．

本题考查古典概型，属于基础题．

【解答】

解：

从A、B、C、D四个学习小组中随机抽取两个小组有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种结果，

其中A组和B组恰有一个组被抽到的结果有AC，AD，BC，BD共4种结果，

所以A组和B组恰有一个组被抽到的概率为46=23．

故选：

C．

6.【答案】A 

【解析】解：

∵α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，∴l⊥γ，

①当l//η时，则η⊥γ，∴充分性成立，

②当η⊥γ时，则l//η或l⊂η，∴必要性不成立，

∴l//η是η⊥γ的充分不必要条件，

故选：

A．

利用空间中平面与平面垂直的性质定理得到l⊥γ，再利用直线与平面垂直的判定定理判定即可．

本题考查空间中直线与平面，平面与平面垂直的判定定理与性质定理，属于中档题．

7.【答案】D 

【解析】解：

由题意可知，函数f（x）的最小正周期为T=4×π6×2=4π3，∴ω=2πT=32，∴f（x）=sin（3x2+θ），

因为x=π6是f（x）的一个极值点，则32×π6+θ=kπ+π2（k∈Z），则θ=kπ+π4（k∈Z），因为|θ|<π2，∴θ=π4，则f（x）=sin（3x2+π4），

因此，f（π3）=sin（π2+π4）=cosπ4=22．

故选：

D．

根据题中条件求出ω的值，结合θ的取值范围可求得θ的值，可得出函数f（x）的解析式，然后代值计算可得f（π3）的值．

本题考查了三角函数和极值点的综合应用，属于中档题．

8.【答案】B 

【解析】解：

由双曲线C：

y2a2−x24=1（a>0）的方程可得渐近线的方程为：

y=±a2x，

即ax±2y=0，

由圆（x−2）2+y2=4的方程可得圆心C（2,0），半径r=2，

可得d=|2a|a2+4，

所以可得弦长2r2−d2=24−4a24+a2=165，解得a2=94，

可得离心率e=ca=1+b2a2=1+494=173，

故选：

B．

由双曲线的方程可得渐近线的方程，求出圆心C到渐近线的距离，进而可得弦长的值，由题意可得a的值，进而求出离心率的值．

本题考查双曲线的性质的应用及直线与圆的综合应用，属于中档题．

9.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查了等比数列的性质，属于中档题．

利用反例：

数列{an}以−2为首项，以12为公比的等比数列，分别检验各选项即可判断．

【解答】

解：

例如数列{an}以−2为首项，以12为公比的等比数列，

则a2=−1，a3=−12，A，C显然错误；

则Sn=−2[1−（12）n]1−12=−4[1−（12）n]=12n−2−4，

由指数函数的性质易知Sn单调递减，无最小值，故D错误；

a1⋅a2=a12q>0一定成立，B正确；

故选：

B．

10.【答案】B 

【解析】解：

由题意可得1ln（1010−109）×（1010−109）=9×109ln（9×109）

=9×109lgelg（9×109）=9×109lge9+2lg3≈3.9×108．

故选：

B．

根据题意列出素数的个数计算公式即可求解．

本题考查合情推理的应用，涉及对数的运算，属于基础题．

11.【答案】−127 

【解析】解：

令x=0，则a0=27=128，

令x=1，则a0+a1+a2+.......+a7=（2−1）7=1，

所以a1+a2+......+a7=1−128=−127，

故答案为：

−127．

分别令x=0，x=1，建立方程即可求解．

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．

12.【答案】3 

【解析】解：

由题意可知，|a|=|b|=1，

∵c=a+2b，且a⊥c，

∴a⋅c=a⋅（a+2b）=a2+2a⋅b=0，即2a⋅b=−1，

∴|c|=（a+2b）2=a2+4a⋅b+4b2=1−2+4=3．

故答案为：

3．

由已知求得a⋅b，再由向量模的计算公式求解．

本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查向量模的求法，是基础题．

13.【答案】14 

【解析】解：

O为坐标原点，点A（cosα,sinα），B（cos（α+π6）,sin（α+π6）），

所以|OA|=cos2α+sin2α=1，|OB|=cos2（α+π6）+sin2（α+π6）=1，

所以S△AOB=12⋅|OA|⋅|OB|sinπ6=14．

故答案为：

14．

直接利用同角三角函数关系式的变换，三角形的面积公式的应用求出结果．

本题考查的知识要点：

同角三角函数关系式的变换，三角形的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．

14.【答案】 

【解析】解：

如图，在三棱锥A−BCD中，

由题意，BC=DC=AB=AD=2，BD=22，

底面△BCD是等腰直角三角形，∵O为BD的中点，则AO⊥BD，CO⊥BD，

又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，

∵OC⊂平面BCD，∴AC⊥OC，∴△AOC是直角三角形，

因为AO⊥BD，CO⊥BD，AO∩CO=O，AO、CO⊂平面AOC，∴BD⊥平面AOC，

设AP=x，∴三棱锥P−QCO的体积为，其中h为Q到平面AOC的距离，h=xsin45°=22x，，

故当x=22时，三棱锥P−QCO的体积达到最大值，最大值为．

故答案为：

．

首先设AP=x，然后利用三棱锥的体积公式求出三棱锥∴体积的表达式，最后根据二次函数求解最值即可．

本题主要考查棱锥体积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．

15.【答案】②③ 

【解析】解：

a2=1−12=12，a3=12−18=38，a4=38−12×964=39128，S4=1+12+38+39128=279128>2，①错误；

an+1=an−12an2≤an，{an}为单调递减数列，

又因为a1=1，所以an+1=an−12an2>0，所以0

由an+1=an−12an2可得an+1an=1−12an∈[12,1），即anan+1∈（1,2],

又12an2=an−an+1，两边同时除以anan+1，可得：

anan+1=2（1an+1−1an），an−1an=2（1an−1an−1），…，a1a2=2（1a2−1a1），

累加可得n<2（1an+1−1）≤2n，即有1n+1≤an+1<2n+2，

当n=1时，a1=21+1=1，所以1n≤an≤2n+1，④错误；a1=1，a2=12，a3=38，满足an≥（12）n−1（n∈N*）；

由④可知an≥1n，且n≥3时，2n−2n=（1+1）n−2n=1+n+Cn2+⋅⋅⋅+Cnn−1+1−2n>0，

可得2n>2n，则1n>（12）n−1，故③正确．

故答案为：

②③．

通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对②③④进行判断，算出S4即可判断①．

本题主要考查数列的递推式，考查转化能力，属于中档题．

16.【答案】解：

（1）由题意，得函数f（x）=23sinxcosx+sin2x−cos2x=3sin2x−cos2x=2sin（2x−π6），

当f（x）取最大值时，即sin（2x−π6）=1，此时2x−π6=2kπ+π2，k∈Z，即x=kπ+π3，k∈Z，

所以x的取值集合为{x|x=kπ+π3,k∈Z}．

（2）由π2+2kπ≤2x−π6≤3π2+2kπ，k∈Z，

得2π3+2kπ≤2x≤5π3+2kπ，k∈Z，

即π3+kπ≤x≤5π6+kπ，k∈Z，

所以f（x）的减区间[π3+kπ,5π6+kπ]，k∈Z，

当k=0，得[π3,5π6]是一个减区间，且π2∈[π3,5π6]，

所以[π2,m]⊆∈[π3,5π6]，

所以m∈（π2,5π6]，所以m的最大值为5π6． 

【解析】

（1）利用正余弦的二倍角公式，结合辅助角公式化简f（x），再求取得最大值时的x的取值集合即可；

（2）求得f（x）的单调减区间，结合题意，即可求得m的最大值．

本题考查三角函数的应用，属于中档题．

17.【答案】解：

（Ⅰ）证明：

∵底面ABCD是正方形，∴AD//BC，

BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，

∴AD//平面PBC，

∵平面ADF与PB交于点E，

AD⊂平面ADFE，平面PBC∩平面ADEF=EF，

∴EF//AD．

（Ⅱ）选条件①②，

侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

即PA=AD=2，PA⊥AD，

平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，

则PA⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，

以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，

则A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,2,0），B（2,0,0），D（0,2,0），

∵AE=2，∴点E为PB的中点，则E（1,0,1），

∴PC=（2,2,−2），AD=（0,2,0），AE=（1,0,1），

设平面ADEF的法向量为n=（x,y,z），

则n⋅AE=x=z=0n⋅AD=2y=0，令x=1，得n=（1,0,−1），

设平面PCD的法向量为m=（a,b,c），

则m⋅PD=2b−2c=0m⋅PC=2a+2b−2c=0，取b=1，得m=（0,1,1），

∴|cos|=|m⋅n|m|⋅|n||=12⋅2=12，

∴平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为π3；

选条件①③，

侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，即PA=AD=2，PA⊥AD，

AD⊥AB，PA∩AB=A，且两直线在平面内，可得AD⊥平面PAB，

PB⊂平面PAB，则AD⊥PB，

∵PB⊥FD，AD∩FD=D，且两直线在平面内，

则PB⊥平面ADEF，AE⊂平面ADEF，则PB⊥AE，

∵PA=AB，∴△PAB为等腰三角形，∴点E为PB的中点，

∵AE=2，∴△PAB是等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

即PA=AD=2，PA⊥AD，

平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，

则PA⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，

以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，

则A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,2,0），B（2,0,0），D（0,2,0），

∵AE=2，∴点E为PB的中点，则E（1,0,1），

∴PC=（2,2,−2），AD=（0,2,0），AE=（1,0,1），

设平面ADEF的法向量为n=（x,y,z），

则n⋅AE=x=z=0n⋅AD=2y=0，令x=1，得n=（1,0,−1），

设平面PCD的法向量为m=（a,b,c），

则m⋅PD=2b−2c=0m⋅PC=2a+2b−2c=0，取b=1，得m=（0,1,1），

∴|cos|=|m⋅n|m|⋅|n||=12⋅2=12，

∴平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为π3；

选条件②③，

侧面PAD为等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

即PA=AD=2，PA⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，

则PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，

∵PB⊥FD，AD∩FD=D，且两直线在平面内，

则PB⊥平面ADFE，AE⊂平面ADFE，则PB⊥AE，

∵PA=AB，∴△PAB是等腰三角形，∴E为PB的中点，

∵AE=2，∴△PAB是等腰直角三角形，且∠PAD=π2，

即PA=AD=2，PA⊥AD，

平面PAD⊥平面ABCDm

平面PAD∩平面ABCD=AD，PA⊂平面PAD，

则PA⊥平面ABCD，又ABCD为正方形，

∴PA⊥AB，PA⊥AD，AB⊥AD，

以点A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A−xyz，

则A（0,0,0），P（0,0,2），C（2,2,0），B（2,0,0），D（0,2,0），

∵AE=2，∴点E为PB的中点，则E（1,0,1），

∴PC=（2,2,−2），AD=（0,2,0），AE=（1,0,1），

设平面ADEF的法向量为n=（x,y,z），

则n⋅AE=x=z=0n⋅AD=2y=0，令x=1，得n=（1,0,−1），

设平面PCD的法向量为m=（a,b,c），

则m⋅PD=2b−2c=0m⋅PC=2a+2b−2c=0，取b=1，得m=（0,1,1），

∴|cos|=|m⋅n|m|⋅|n||=12⋅2=12，

∴平面PCD与平面ADFE所成锐二面角的大小为π3． 

【解析】（Ⅰ）根据条件可以证明AD//平面PBC，再利用线面平行的性质定理即可证明EF//AD；

（Ⅱ）选条件①②可以证明出AB，AD，AP两两垂直，建立空间直角坐标系A−xyz，求出相应坐标，再求出两平面的法向量，进而求出结果，选条件①②或②③，同样可以证明求解．

本题考查线线平行的判定与性质、二面角的求法，考查运算求解能力，是中档题．

18.【答案】解：

（1）由表格数据知：

各站甲乙对应成绩如下，

甲

乙

第1站

86.20

8