新教材人教A版高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语-知识点考点易错点及解题方法提炼汇总.doc
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第一章集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念 -1-
1.2 集合间的基本关系 -6-
1.3集合的基本运算 -12-
第一课时 并集、交集 -12-
第二课时 全集、补集 -17-
1.4充分条件与必要条件 -21-
1.4.1 充分条件与必要条件 -21-
1.4.2 充要条件 -25-
1.5全称量词与存在量词 -28-
1.1 集合的概念
知识点一 集合的概念
(1)方程x2-3x+2=0的所有实数根;
(2)所有的正方形;
(3)某班所有的“帅哥”.
上述问题中的元素可否看成一个“集合”?
知识梳理
(1)一般地,我们把研究对象统称为元素(element),把一些元素组成的总体叫做集合(set)(简称为集).
(2)集合中元素的特性:
确定性、互异性、无序性.
我们通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素.
知识点二 元素与集合的关系
设方程x2-3x+2=0的所有实根构成集合A.1是否在集合A里面?
2是否在里面?
0是否在里面?
知识梳理
(1)如果a是集合A的元素,就说a属于(belongto)集合A,记作a∈A;如果a不是集合A中的元素,就说a不属于(notbelongto)集合A,记作a∉A.
(2)常见的数集及表示符号
数集
非负整数集
(自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*或N+
Z
Q
R
知识点三 集合的表示
我们可以用自然语言描述一个集合.除此之外,还可以用什么方式表示集合呢?
知识梳理
(1)列举法
把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.
“方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合可以表示为{1,2}.
(2)描述法
一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)},这种表示集合的方法称为描述法.
“方程x2-3x+2=0的所有实数根”组成的集合用描述法可表为{x∈R|x2-3x+2=0}.
知识点四 相等集合
A={方程x2-3x+2=0的实数根}
B={1,2}
C={x∈R|x2-3x+2=0}
A、B、C可否说为相等集合?
知识梳理 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.
解题方法探究
探究一 集合的概念
[例1] 下列对象中可以构成集合的是( )
A.大苹果 B.小橘子
C.中学生 D.著名的数学家
[解析]
选项
正误
原因
A
×
大苹果到底以多重算大,标准不明确
B
×
小橘子到底以多重算小,标准不明确
C
√
中学生标准明确,故可构成集合
D
×
“著名”的标准不明确
[答案] C
判断一个“全体”是否能构成一个集合,其关键是对标准的“确定性”的把握,即根据这个“标准”,可以明确判定一个对象是或者不是给定集合的元素.
探究二 元素与集合的关系
[例2] 集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为________.
[解析] 由∈N,x∈N知x≥0,>0,且x≠3,故0≤x<3.又x∈N,故x=0,1,2.当x=0时,=2∈N;当x=1时,=3∈N;当x=2时,=6∈N.故集合A中的元素为0,1,2.
[答案] 0,1,2
探究三 集合的表示
[例3] 教材给出了奇数集合{x∈Z|x=2k+1,k∈Z}.
(1)用这样的方法表示偶数集.
(2)用这样的方法表示除以3余1的整数集合.
(3)当x∈Z,y∈Z点(x,y)称为整点,如何表示坐标系中第一象限内的整点?
[解析]
(1)偶数集{x∈Z|x=2k,k∈Z}.
(2){x∈Z|x=3k+1,k∈Z}
(3){(x,y)|x>0,y>0,x∈Z,y∈Z}
1.对于含有有限个元素且个数较少的集合,采用列举法表示集合较合适;对于元素个数较多的集合,如果构成该集合的元素具有明显的规律,在不发生误解的情况下,可以列举出几个元素作为代表,其他元素用省略号表示,如N*={1,2,3,…}.
2.一般地,元素较多的无限集用描述法表示集合.
探究四 集合元素的特性及应用
[例4] 已知集合A由元素a-3,2a-1,a2-4构成,且-3∈A,求实数a的值.
[解析] 因为-3∈A,A={a-3,2a-1,a2-4},所以a-3=-3或2a-1=-3或a2-4=-3.
若a-3=-3,则a=0,此时集合A={-3,-1,-4},符合题意.
若2a-1=-3,则a=-1,此时集合A={-4,-3,-3},不满足集合中元素的互异性.
若a2-4=-3,则a=1或a=-1(舍去),
当a=1时,集合A={-2,1,-3},符合题意.
综上可知,a=0,或a=1.
利用集合中元素的互异性求参数问题
(1)根据集合中元素的确定性,可以解出字母的所有可能值,再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验;
(2)利用集合中元素的特性解题时,要注意分类讨论思想的应用.
易错点归纳
一、“天下谁人不识君”——集合中描述法的认识
1.两步认识描述法表示的集合
(1)一看代表元素:
例如{x|p(x)}表示数集,{(x,y)|y=p(x)}表示点集.
(2)二看条件:
即看代表元素满足什么条件(公共特征).
2.四个集合的区别
(1)A={x|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的自变量x的取值范围,且x的取值范围是R,因此A=R.
(2)B={y|y=x2+1}表示使函数y=x2+1有意义的函数值y的取值范围,而y的取值范围是y=x2+1≥1,因此,B={y|y≥1}.
(3)C={(x,y)|y=x2+1}表示满足y=x2+1的点(x,y)组成的集合,因此C表示函数y=x2+1的图象上的点组成的集合.
(4)P={y=x2+1}是用列举法表示的集合,该集合中只有一个元素,且此元素是一个式子y=x2+1.
[典例] 1.已知A={1,2,3},B={2,4},定义集合A,B间的运算A*B={x|x∈A且x∉B},则集合A*B等于( )
A.{1,2,3} B.{2,3}
C.{1,3} D.{2}
[解析] x=1∈A,1∉B;
x=2∈A,2∈B;
x=3∈A,2∉B;
∴A*B={1,3}.
[答案] C
2.二次函数y=x2-1上的图象上纵坐标为3的点的集合为________.
[解析] 点可看作由组成的解集可用描述法.
令y=3得:
x2-1=3,所以x=-2或x=2.所以在y=x2-1的图象上且纵坐标为3的点的集合为:
{(-2,3),(2,3)}.
[答案] {(-2,3),(2,3)}或
二、集合相等的误区——都是元素惹的“祸”
[典例] 已知集合A=,B={a2,a+b,0},若A=B,则a2018+b2018的值为________.
[解析] 因为=(a2,a+b,0),
又因为a≠0,1≠0,所以=0,
所以b=0,
所以{a,0,1}={a2,a,0},
所以a2=1,即a=±1,
又当a=1时,A={1,0,1}不满
足集合中元素的互异性,舍去,
所以a=-1,
即集合A={-1,0,1},
此时a=-1,b=0,
故a2018+b2018=(-1)2018+02018=1+0=1.
[答案] 1
纠错心得 解答根据集合相等求字母的值的问题时,首先要认真审题明确集合中元素有哪些,找准“突破口”;其次要注意解出字母的值之后,检验元素的互异性.如本例中通过审题找到=0这一突破口,求出a=±1后,检验a=1时不满足互异性舍去.
1.2 集合间的基本关系
知识点一 子集的定义
A={1,2,3},B={1,2,3,4,5};A与B之间有什么关系?
能说A比B小吗?
知识梳理
(1)Venn图
用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.
(2)子集
一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,就称集合A为集合B的子集(subset),记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”).
(3)一般地,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,那么集合A与集合B相等,记作A=B.也就是说,若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
知识点二 真子集
如果A⊆B,那么A与B有可能相等吗?
知识梳理 如果集合A⊆B,但存在元素x∈B,且x∉A,就称集合A是集合B的真子集(propersubset),记作AB(或BA).
例如,A⊆B,但a∈B,且a∉A,所以集合A是集合B的真子集.
知识点三 空集的定义
方程x2+1=0的解集是什么?
知识梳理 空集及表示
一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),记为∅,并规定:
空集是任何集合的子集.是任何非空集合的真子集.
知识点四 子集的性质
A={1,2,3},B={1,2,3,4},C={1,2,3,4,5},A、B、C之间有什么关系?
知识梳理
(1)任何一个集合是它本身的子集,即A⊆A;
(2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C.
(3)对于集合A、B、C,如果AB,且BC,那么AC.
解题方法探究
探究一 集合关系的判断
[例1] 已知集合M=,N=,P=.试确定M,N,P之间的关系.
[解析] 集合M=.
关于集合N:
①当n是偶数时,令n=2m(m∈Z),
则N=;
②当n是奇数时,令n=2m+1(m∈Z),
则N=
=.
从而,得MN.
关于集合P:
①当p=2m(m∈Z)时,
P=;
②当p=2m-1(m∈Z)时,
P=
=.
从而,得N=P.综上,知MN=P.
判断集合间关系的常用方法
(1)列举观察法
当集合中元素较少时,可列举出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系.
(2)集合元素特征法
先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系.
(3)数形结合法
利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系,其中不等式的解集之间的关系,适合用数轴法.
探究二 子集、真子集及个数问题
[例2] [教材P8例1探究]
(1)已知集合A={x∈R|x2-3x+2=0},B={x∈N|0<x<5},则满足条件ACB的集合C的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
[解析] 由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,所以A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},所以满足条件的C可为{1,2,3},{1,2,4}.
[答案] B
(2)写出集合{a、b、c}的所有子集,并指出它的真子集有多少个?
[解析] 子集有:
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},∅共8个.
真子集有:
{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},∅共7个.
(3)若集合A中有5个元素,不具体写出子集.可猜到有多少个子集吗?
[解析] 25=32个.
1.元素个数与集合子集个数的关系
(1)探究.
集合A
集合A中元素的个数n
集合A子集个数
∅
0
1
{a}
1
2
{a,b}
2
4
{a,b,c}
3
8
{a,b,c,d}
4
16
(2)结论.
①A的子集的个数有2n个.
②A的非空子集的个数有(2n-1)(n≥1)个.
③A的非空真子集的个数有(2n-2)(n≥1)个.
2.求给定集合的子集的两个关注点
(1)按子集中元素个数的多少,以一定的顺序来写.
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.
提醒:
真子集个数是在子集的基础上去掉集合本身,做题时看清是真子集还是子集.
探究三 由集合间的关系求参数的取值范围
[例3] 设集合A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}.
(1)若a=,试判定集合A与B的关系.
(2)若B⊆A,求实数a的取值集合.
[解析]
(1)由x2-8x+15=0得x=3或x=5,故A={3,5},当a=时,由ax-1=0得x=5.所以B={5},所以BA.
(2)当B=∅时,满足B⊆A,此时a=0;当B≠∅时,a≠0,集合B={},由B⊆A得=3或=5,所以a=或a=.综上所述,实数a的取值集合为.
根据集合的包含关系求参数的两种方法
(1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程求解,此时应注意分类讨论思想的运用;
(2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,此时应注意端点处是实点还是虚点.
易错点归纳
一、相逢又相识——∈、⊆、及0、{0}、∅、{∅}的区别与联系
1.元素与集合、集合与集合的关系.
“∈”是“元素”与“集合”之间的从属关系,如a∈{a}.
“⊆或”是两个集合之间的包含关系.
2.0、{0}、∅、{∅}的关系
(1)区别:
0不是一个集合,而是一个元素,而{0},∅,{∅}都为集合,其中{0}是包含一个元素0的集合;
∅为不含任何元素的集合;{∅}为含有一个元素∅的集合,此时∅作为集合{∅}的一个元素.
(2)联系:
0∈{0},0∉∅,0∉{∅},∅⊆{0},∅{0},∅⊆{∅},∅{∅}.
[典例] 已知集合A={1,3,x2},B={1,x+2},是否存在实数x,使得集合B是A的子集?
若存在,求出A,B,若不存在,说明理由.
[解析] 因为B⊆A,所以当x+2=3,即x=1时,A={1,3,1}不满足互异性,所以x=1(舍).
当x+2=x2,即x=2或x=-1,
若x=2时,A={1,3,4},B={1,4},满足B⊆A;
若x=-1时,A={1,3,1}不满足互异性.
综上,存在x=2使得B⊆A.
此时,A={1,3,4},B={1,4}.
二、∅的呐喊——勿忘我
[典例] 已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围是________.
[解析] 当B=∅时,B⊆A
显然成立,
此时有m+1≥2m-1,则m≤2.
当B≠∅时,若B⊆A,如图.
则即
解得2<m≤4.
综上,m的取值范围为{m|m≤4}.
[答案] {m|m≤4}
纠错心得 空集是任何集合的子集,忽视这一点会导致漏解,产生错误结论.对于形如{x|a<x<b}一类的集合,当a≥b时,它表示空集,解题中要十分注意.
1.3集合的基本运算
第一课时 并集、交集
知识点一 并集
对于A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};类比实数的加法运算,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?
知识梳理
(1)定义
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,称为集合A与B的并集(unionset),记作A∪B(读作“A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B},如图,可用Venn图表示.
(2)性质
①A∪B=B∪A;
②A∪A=A;
③A∪∅=∅∪A=A;
④A⊆(A∪B),B⊆(A∪B);
⑤A∪B=A⇔B⊆A,A∪B=B⇔A⊆B.
知识点二 交集
A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};集合A,B与集合C之间有什么关系?
知识梳理
(1)定义
一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为集合A与B的交集(intersectionset),记作A∩B(读作“A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B},可用Venn图表示.
(2)性质
①A∩B=B∩A;②A∩A=A;③A∩∅=∅;④若A⊆B,则A∩B=A;⑤(A∩B)⊆A;⑥(A∩B)⊆B.
解题方法探究
探究一 并集概念及简单应用
[例1]
(1)设集合M={x|x2=x},N={x|0<x≤1},则M∪N=( )
A.{x|0≤x≤1} B.{x|0<x≤1}
C.{x|0≤x<1} D.{x|x≤1}
[解析] M={x|x2=x}={0,1},N={x|0<x≤1},
∴M∪N={x|0≤x≤1}.
[答案] A
(2)点集A={(x,y)|x<0},B={(x,y)|y<0},则A∪B中的元素不可能在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
[解析] 由题意得,A∪B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合,所以A∪B中的元素不可能在第一象限.
[答案] A
求集合并集的两种基本方法
(1)定义法:
若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解;
(2)数形结合法:
若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析求解.
探究二 交集概念及简单应用
[例2]
(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A={0,2},B={-2,-1,0,1,2},则A∩B=( )
A.{0,2} B.{1,2}
C.{0} D.{-2,-1,0,1,2}
[解析] 由题意知A∩B={0,2}.
[答案] A
(2)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=( )
A.{0} B.{1}
C.{1,2} D.{0,1,2}
[解析] 由题意知,A={x|x≥1},则A∩B={1,2}.
[答案] C
(3)若集合A={x|-1<x<5},B={x|x≤1,或x≥4},则A∪B=________,A∩B=________.
[解析] 借助数轴可知:
A∪B=R,A∩B={x|-1<x≤1,或4≤x<5}.
[答案] R {x|-1<x≤1,或4≤x<5}
求集合交集的两种基本方法
(1)定义法:
若集合是用列举法表示的,可以直接利用交集的定义求解;
(2)数形结合法:
若集合是用描述法表示的由实数组成的数集,则可以借助数轴分析法求解.
探究三 集合交、并集运算及应用
[例3] 已知集合A={x|2<x<4},B={x|a<x<3a(a>0)}.
(1)若A∪B=B,求a的取值范围.
(2)若A∩B=∅,求a的取值范围.
[解析]
(1)因为A∪B=B,所以A⊆B,
观察数轴可知,所以≤a≤2.
(2)A∩B=∅有两类情况:
B在A的左边和B在A的右边,如图.
观察数轴可知,a≥4或3a≤2,又a>0,
所以0<a≤或a≥4.
由集合的运算性质求参数值(范围)的注意事项
(1)要考虑因参数的影响是否需要分类讨论;
(2)要有数形结合思想的意识,借助于数轴会更方便直观;
(3)对于A∩B=A的情况要考虑到A是否为∅的情况.
易错点归纳
一、并集元素个数何其多
(1)“或”的理解:
“x∈A或x∈B”这一条件,包括下列三种情况:
①x∈A但x∉B;②x∈B但x∉A;③x∈A且x∈B.
(2)一般地,对任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).
[典例] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则同时参加数学和化学小组的有________人.
[解析] 设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有x人,由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学可得(26-6-x)+6+(15-10)+4+(13-4-x)+x=36,
解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.
[答案] 8
二、“有”与“无”,“虚”与“实”的对立与统一——集合交、并运算的端点值的选用
[典例] 集合A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.
(1)若A∩B=∅,求a的取值范围;
(2)若A∩B=A,求a的取值范围.
[解析]
(1)由A={x|a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5},
画出数轴如图所示.
由图可知,若A∩B=∅,则
解得-1≤a≤2.
(2)由A∩B=A,得A⊆B.
则a+3<-1或a>5,即a<-4或a>5.
纠错心得 由于A中含端点a、a+3,而B中不含端点-1及5.根据A∩B=∅的含义,a=-1,a+3=5时,也成立.而A⊆B时,则不能取“=”.对于是否取端点.可单独验证.
第二课时 全集、补集
知识点一 全集与补集
(1)方程(x-2)(x2-3)=0,在有理数范围内的解是什么?
在实数集内的解是什么?
(2)集合{2}与集合{,-}之间有什么关系?
知识梳理
(1)全集
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集(universeset),通常记作U.
(2)补集
对于一个集合A,由全集中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementaryset),简称为集合A的补集,记作∁UA,即∁UA={x|x∈U,且x∉A},可用Venn图表示.
知识点二 补集的性质
A∩∁UA=________,A∪∁UA=________.
知识梳理
(1)A∪(∁UA)=U,A∩(∁UA)=∅.
(2)∁U(∁UA)=A,∁UU=∅,∁U∅=U.
解题方法探究
探究一 补集的运算
[例1]
(1)已知U=R,集合A={x|x<-2,或x>2},则∁UA=( )
A.{x|-2<x<2} B.{x|x<-2,或x>2}
C.{x|-2≤x≤2} D.{x|x≤-2,或x≥2}
[解析] 依题意,画出数轴,如图所示:
观察数轴可知,∁UA={x|-2≤x≤2}.
[答案] C
(2)已知全集U,M,N是U的非空子集,且∁UM⊇N,则必有( )
A.M⊆∁UN B.M∁UN
C.∁UM=∁UN D.M⊆N
[解析] 依据题意画出Venn图,
观察可知,M⊆∁UN.
[答案] A
(3)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},求集合B.
[解析] 因为A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},所以U={1,2,3,4,5,6,7}.
又∁UB={1,4,6},所以B={2,3,5,7}.
求集合补集的两种方法
(1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助Venn图求解;
(2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析法求解.
探究二 集合交、并、补的综合运算
[例2]
(1)(2019·长沙高一检测)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},集合A={2,3,5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩(∁UB)=( )
A.{2,5} B.{3,6}
C.{2,5,6} D.{2,3,5,6,8}
[解析] 因为U={1,2,3,4,5,6,7,8},B={1,3,4,6,7},所以∁UB={2,5,8}.
又A={2,3,5,6},
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- 新教材 高中数学 必修 一册 第一章 集合 常用 逻辑 用语 知识点 考点 易错点 解题 方法 提炼 汇总
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