相似三角形题型归纳.doc
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相似三角形题型归纳.doc
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三角形题型归纳
一、线段比例问题(构造平行)
1、下图中,E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,AE∶EC=1∶3,BE的延长线交CD的延长线于G,交AD于F,求证:
BF∶FG=1∶2.
2、已知:
如图,在直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为BC的中点,E为AC上一点,点G在BE上,连结DG并延长交AE于F,若∠FGE=45°,
(1)求证:
BD·BC=BG·BE;
(2)求证:
AG⊥BE;(3)若E为AC的中点,求EF∶FD的值。
3、如图1,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,点O是AC边上一点,连接BO交AD于F,OE⊥OB交BC边于点E.
(1)求证:
△ABF∽△COE;
(2)当O为AC的中点,时,如图2,求的值;(3)当O为AC边中点,时,请直接写出的值.
4、如图,四边形和四边形都是平行四边形,点为的中点,分别交于点.
(1)请写出图中各对相似三角形(相似比为1除外);
(2)求.
A
B
C
D
E
P
O
R
二、相似比乘积处理方法(逆向和正向分析找解题思路)
1、如下图,已知在△ABC中,AD平分∠BAC,EM是AD的中垂线,交BC延长线于E.求证:
DE2=BE·CE.
2、过△ABC的顶点C任作一直线,与边AB及中线AD分别交于点F和E,求证:
AE∶ED=2AF∶FB.
3、如果四边形ABCD的对角线交于O,过O作直线OG∥AB交BC于E,交AD于F,交CD的延长线于G,求证:
OG2=GE·GF.
4、已知如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的高,E为BC的中点,ED的延长线交CA于F。
求证:
5、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的高,点M在CD上,DH⊥BM且与AC的延长线交于点E.求证:
(1)△AED∽△CBM;
(2)
6、如图,BD、CE分别是△ABC的两边上的高,过D作DG⊥BC于G,分别交CE及BA的延长线于F、H。
求证:
(1)DG2=BG·CG;
(2)BG·CG=GF·GH
7、已知如图,P为平行四边形ABCD的对角线AC上一点,过P的直线与AD、BC、CD的延长线、AB的延长线分别相交于点E、F、G、H.求证:
8、
(1)如图1,点在平行四边形ABCD的对角线BD上,一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交于点.求证:
(2)如图2,图3,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时是否仍然成立?
若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);
三、构造相似辅助线——A、X字型
1、如图:
△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。
求证:
2、四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分∠DAB。
求证:
3、如图,过平行四边形ABCD的顶点A的直线交BD于P,交CD于Q,并交BC的延长线于R,求证:
四、相似类定值问题
1、如图,在等边△ABC中,M、N分别是边AB,AC的中点,D为MN上任意一点,BD、CD的延长线分别交AC、AB于点E、F.
求证:
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2、已知,在△ABC中作内接菱形CDEF,设菱形的边长为a.求证:
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3、如图,在△ABC中,已知CD为边AB上的高,正方形EFGH的四个顶点分别在△ABC上。
求证:
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4、如图所示,▱ABCD中,AC与BD交于O点,E为AD延长线上一点,OE交CD于F,EO延长线交AB于G.求证:
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5、一条直线截△ABC的边BC、CA、AB(或它们的延长线)于点D、E、F.求证:
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6、已知:
P为▱ABCD边BC上任意一点,DP交AB的延长线于Q点,求证:
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五、证明线段相等
1、在等腰,分别过点B、C作两腰的平行线,经过点A的直线与两平行线分别交于点D、E,连接DC,BE,DC与AB边相交于点M,BE与AC边相交于点N。
(1)如图1,若,写出图中所有与AM相等的线段,并选取一条给出证明。
(2)如图2,若DE与CB不平行,在
(1)中与AM相等的线段中找出一条仍然与AM相等的线段,并给出证明。
2、在面积为24的△ABC中,矩形DEFG的边DE在AB上运动,点F、G分别在BC、AC上。
(1)若AE=8,DE=2EF,求GF的长;
(2)若∠ACB=90°,如图2,线段DM、EN分别为△ADG和△BEF的角平分线,求证:
MG=NF;(3)请直接写出矩形DEFG的面积的最大值。
3、在△ABC中,点D从A出发,在AB边上以每秒一个单位的速度向B运动,同时点F从B出发,在BC边上以相同的速度向C运动,过点D作DE∥BC交AC于点E.运动时间为t秒.
(1)若AB=5,BC=6,当t为何值时,四边形DFCE为平行四边形;
(2)连接AF、CD.若BD=DE,求证:
∠BAF=∠BCD;(3)AF交DE于点M,在DC上取点N,使MN∥AC,连接FN.
①求证:
=;②若AB=5,BC=6,AC=4,当MN=FN时,请直接写出t的值.
六、对应练习题
1、如下图,在△ABC中,D、E分别为BC的三等分点,CM为AB上的中线,CM分别交AE、AD于F、G,则CF∶FG∶GM=5∶3∶2
2、已知:
在四边形ABCD中,AD∥BC,∠BAC=∠D,点E、F分别在BC、CD上,且∠AEF=∠ACD,试探究AE与EF之间的数量关系。
(1)如图1,若AB=BC=AC,则AE与EF之间的数量关系是什么;
(2)如图2,若AB=BC,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出猜想,并加以证明;(3)如图3,若AB=kBC,你在
(1)中得到的结论是否发生变化?
写出猜想,并加以证明
3、在Rt△ABC,∠C=90°,D为AB边上一点,点M、N分别在BC、AC边上,且DM⊥DN.作MF⊥AB于点F,NE⊥AB于点E.
(1)特殊验证:
如图1,若AC=BC,且D为AB中点,求证:
DM=DN,AE=DF;
(2)拓展探究:
若AC≠BC.①如图2,若D为AB中点,
(1)中的两个结论有一个仍成立,请指出并加以证明;②如图3,若BD=kAD,条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”,其它条件不变,请探究AE与DF的数量关系并加以证明.
4、
(1)如图1,在△ABC中,点D,E,Q分别在AB,AC,BC上,且DE∥BC,AQ交DE于点P.求证:
.
(2) 如图,在△ABC中,∠BAC=90°,正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上,连接AG,AF分别交DE于M,N两点.①如图2,若AB=AC=1,直接写出MN的长;②如图3,求证MN2=DM·EN.
图1
5、已知线段OA⊥OB,C为OB上中点,D为AO上一点,连AC、BD交于P点.
(1)如图1,当OA=OB且D为AO中点时,求的值;
(2)如图2,当OA=OB,=时,求tan∠BPC;
图2
6、如图1,D是△ABC的BC边上的中点,过点D的一条直线交AC于F,交BA的延长线于E,AG∥BC交EF于G,我们可以证明EG·DC=ED·AG成立(不要求考生证明).
(1)如图2,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的延长线于F,交BA的延长线于E,改为交BA于E,其它条件不变,则EG·DC=ED·AG还成立吗?
如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由;
(2)根据图2,请你找出EG、FD、ED、FG四条线段之间的关系,并给出证明;(3)如图3,若将图1中的过点D的一条直线交AC于F,改为交CA的反向延长线于F.其它条件不变,则
(2)得到的结论是否成立?
A
B
C
D
E
F
G
图1
A
B
C
D
E
F
G
图2
A
B
C
D
F
E
G
图3
7、已知:
在△ABC中AB=AC,点D为BC边的中点,点F是AB边上一点,点E在线段DF的延长线上,∠BAE=∠BDF,点M在线段DF上,∠ABE=∠DBM.
(1)如图1,当∠ABC=45°时,求证:
AE=MD;
(2)如图2,当∠ABC=60°时,则线段AE、MD之间的数量关系为:
。
(3)在
(2)的条件下延长BM到P,使MP=BM,连接CP,若AB=7,AE=,求tan∠ACP的值.
8、如图13,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=2∠BCD=2a,点E在AD上,点F在DC上,且∠BEF=∠A.
(1)∠BEF=_____(用含a的代数式表示);
(2)当AB=AD时,猜想线段EB、EF的数量关系,并证明你的猜想;(3)当AB≠AD时,将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上,且AE>AB,AB=mDE,AD=nDE”,其他条件不变(如图14),求EB/EF的值(用含m、n的代数式表示)。
..
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