中山大学概论统计第2章习题解.doc

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习题二（解）

1.下列表中列出的是否为某个随机变量的概率分布？

如果是,请写出它们的分布函数.

1）

1

3

5

2）

1

2

3

0.5

0.3

0.2

0.7

0.1

0.1

3）

1

2

解1）因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是

.

2）因为,所以不满足命题2.1的条件,因而不是某个随机变量的概率分布.

3）因为表的第二列的各个数值都是非负的且不大于1,又,所以满足命题2.1的条件,因而是某个随机变量的概率分布.分布函数是

.

2.设随机变量只取正整数值,且与成反比,求的概率分布.

解设,其中是待定常数.则根据命题2.1,

.

因此,

.

3.自动生产线在调整以后出现废品的概率为.设生产过程中出现废品立即重新进行调整,求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布.

解在每次调整后前个产品都是及格品而第个产品是废品的概率是

.

因而,设两次调整之间生产的合格品数为,则

.

4.掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为,若以表示直至掷到正、反面都出现为止所需投掷的次数,求的概率分布.

解对于,前次出现正面,第次出现反面的概率是,前次出现反面,第次出现正面的概率是,因而有概率分布

.

5.一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.

第1个能正确回答的概率是,

第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是,

前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是,

前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是,

前4个都不能正确回答的概率是.

设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为,则有分布

0

1

2

3

5/8

15/56

5/56

1/56

6.设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?

试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.

解设一天中某人收到位朋友的电子邮件,则,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是.

1）用二项分布公式计算

.

2）用泊松近似律计算

.

7.设服从泊松分布,且已知,求和.

解设服从参数为泊松分布,则

解得.因而

.

8.设服从泊松分布,分布律为

.

问当取何值时最大？

解设,,则

数列是一个递减的数列.

若,则最大.

若,则当且时,最大.

由此得

1）若,则最大.

2）若,则.

由上面的1）和2）知,无论或,都有

.

9.设随机变量的概率密度为.求的分布函数,并作出与的图形.

解

.

10.设随机变量的概率密度为.求常数和的分布函数,并求概率.

解,.

.

.

11.地板由宽30厘米的木条铺成,在上面随机地放置一个直径40厘米的圆盘,求这个圆盘能接触到3条木条的概率.

解园盘中心离木条的最近的边的距离服从上的均匀分布,圆盘能接触到3条木条大的充分必要条件是,故这个圆盘能接触到3条木条的概率是

.

12.随机变量有密度.求常数和概率.

解

.

由上式得.

.

13.设随机变量的密度为.求常数.

解.

由上式得.

14.设,求和.

解1

.

.

解2设,则.

.

.

15.设,分别找出,使得.其中,,,.

解1

.

.

代入的值查得,,.

解2设,则.

.

.

代入的值查得,,.

16.随机变量服从二项分布,求的分布函数和的分布.

解有分布

0

1

2

3

8/27

12/27

6/27

1/27

故有分布函数

.

有分布

0

1

4

12/27

14/27

1/27

17.设服从自由度为的分布,即有密度

.

求的密度.

解1

当时,,.

当时,,

.

因而

.

解2设,则.

设,,则有反函数

,

其中.因而有密度

.

18.由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔（Maxwell）分布,即密度为

.

其中参数.求分子的动能的密度.

解1

当时,,.

当时,,

.

因而

.

解2设,则.

设,,则有反函数

,

其中.因而有密度

.

19.设服从上的均匀分布,.求的分布.

解1有密度.有分布函数

.

解2有密度.有分布函数

.

.

20.质点随机地落在中心在原点,半径为的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.

解设落点极坐标是,则服从上的均匀分布,有密度

.

设落点横坐标是,则,的分布函数为

.

当时,.当时,.当时

.

因而落点的横坐标有概率密度

.

21.设随机变量的概率密度为,求的概率密度.

解

.

当时,.当时,.当时

.

因而落点的横坐标有概率密度

.

22.某商品的每包重量.若要求,则需要把控制在什么范围内.

解设,则.

.

.

23.设在上服从均匀分布,随机变量满足方程组

求和的分布和它们各自落在中的概率.

解解方程组得,.有密度,由推论6.1可得:

有密度

（即服从上的均匀分布）.

有密度

（即服从上的均匀分布）.

24.设随机变量服从在上的均匀分布,求的分布.

解设,则.设

,

则有反函数

,

其中.因而有密度

.

25.设随机变量服从指数分布,求的分布.

解有密度.设,则.设

,

则有反函数

,

其中.因而有密度

.

26.离散型随机向量有如下的概率分布:

0

1

2

3

0

0.1

0.1

0.1

0.1

1

0

0.1

0.1

0.1

2

0

0

0.1

0.2

求边缘分布.又问随机变量是否独立？

解有分布

0

1

2

0.4

0.3

0.3

有分布

0

1

2

3

0.1

0.2

0.3

0.4

因为

所以,不独立.

27.根据历史纪录,某地5月份晴天,阴天和雨天的日子各占1/2,1/3和1/6.在5月中随意地选择6天,求这6天当中恰好有三天晴天,两天阴天和一天雨天的概率.

解设这6天中有天晴天和天阴天,则由例4.2,服从三项分布,所求的概率是

.

28．设随机向量服从矩形上的均匀分布,求条件概率.

解,

.

29.设随机向量有密度.求常数,边缘密度和条件概率.

解

.

由上得.

.

.

.

30.设和独立,且分别有密度和,求概率.

解有联合密度

.

31.设和独立,都服从上的均匀分布,求概率.

解有联合密度

.

32.随机向量有联合密度

其中.求系数和落在圆内的概率.

解

因而.而

.

33.设随机向量的联合密度是.求系数和落在正方形内的概率.又问是否独立？

解

.

因而.而

.

34.设的联合密度是

其中.求系数和边缘密度.

解

.

因而.而

.

35.设和独立,密度分别为和,求的密度.

解

.

36.设系统由两个相互独立的子系统联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用（当系统损坏时,系统开始工作）,如图7.1所示.和的寿命为和,分别有密度和,其中且.请就这三种联接方式分别写出系统的寿命的密度.

解,独立,分别服从参数为和的指数分布,因此分别有分布函数

和

.

1）联接的方式为串联时,,

.

2）联接的方式为并联时,,

.

3）联接的方式为备用时,,

.

因此,

.

37.相互独立,,.证明.（提示:

称为函数,由微积分的知识知）

解（见命题A.2.1）

38.相互独立,分别服从自由度为的分布,即

.

利用上题的结论证明也服从分布,自由度为.

证,,由上题知,,即服从自由度为分布.

39.某种灯具的使用寿命是随机变量,有密度.每次使用一个灯具,如果损坏了则换上同种的新灯具,分别求两个灯具和三个灯具能够使用的时间的分布.

解1设三个灯具的使用寿命分别为,和,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为和,则,.

有密度

.

即.有密度

.

即.

解2设三个灯具的使用寿命分别为,和,两个灯具和三个灯具能够使用的时间分别为和,则,.由于,,由上面的习题37知,.

40.设,且相互独立,证明

.

证1由（6.5）式得

.

由于

.

故

.

上式的被积函数

是正态分布的密度函数，故上式的定积分为1，因而

，

由此知.

证2设,,由推论6.2知,,.设

则由（6.5）式得

.

由于

.

故

.

上式的被积函数

是正态分布的密度函数，故上式的定积分为1，因而

，

由此知.由推论6.2知,

.

41.设相互独立,且,,证明:

.

（提示:

应用上题的结论.）

证有上题知,

.

因而由推论6.2可得

.

42.证明推论6.3.

证

1）由推论6.2有,.因而由命题6.1有

2）上题已证

.

由推论6.2知

.

43.设独立,都服从参数为的威布尔分布,即都有密度

.

证明仍服从威布尔分布.

证有分布函数

.

设

则有分布函数

.

接下来的证明过程可以有两种。

其一：

与有相同的形式，从而仍服从威布尔分布.

其二：

因而有密度函数

从而仍服从威布尔分布.

44.设,,.证明对都有.

（提示:

在例4.2中设,,,则是次试验中事件出现的次数,因而有,,）

证在例4.2中设,,,则，是这次试验中事件出现的次数。

因为在每次试验中事件出现的概率是，因而。

又因为，故）。

因而有

。

45.设,,,求的分布.

解1变换

的反变换为

。

。

有密度，有密度

，

。

因而。

解2，

由定理A.1.1,

即。

46.设随机向量有联合密度,其中.又设和,求分布.

解，变换

，

的反变换为

，，

其中

。

有密度，有密度

。

习题2-19