《数字信号处理》第三版课后习题答案.docx
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《数字信号处理》第三版课后习题答案
数字信号处理课后答案
1.2教材第一章习题解答
1.用单位脉冲序列(n)及其加权和表示题1图所示的序列。
解:
2n5,4n1
2.给定信号:
x(n)6,0n4
0,其它
(1)画出x(n)序列的波形,标上各序列的值;
(2)试用延迟单位脉冲序列及其加权和表示x(n)序列;
(3)令x1(n)2x(n2),试画出x1(n)波形;
(4)令x2(n)2x(n2),试画出x2(n)波形;
(5)令x3(n)2x(2n),试画出x3(n)波形。
解:
(1)x(n)的波形如题2解图
(一)所示。
(2)
(3)x1(n)的波形是x(n)的波形右移2位,在乘以2,画出图形如题2解图
(二)所示。
(4)x2(n)的波形是x(n)的波形左移2位,在乘以2,画出图形如题2解图(三)所示。
(5)画x3(n)时,先画x(-n)的波形,然后再右移2位,x3(n)波形如题2解图(四)所示。
3.判断下面的序列是否是周期的,若是周期的,确定其周期
(1)x(n)Acos(3n),A是常数;
78
1
(2)x(n)ej(8n)。
解:
(1)w3,214,这是有理数,因此是周期序列,周期是T=14;7w3
(2)w1,216,这是无理数,因此是非周期序列。
8w
5.设系统分别用下面的差分方程描述,x(n)与y(n)分别表示系统输入和输出,
判断系统是否是线性非时变的。
1)
y(n)
x(n)
2x(n
1)3x(n2);
3)
y(n)
x(n
n0),
n0为整常数;
5)
y(n)
x2(n)
7)
y(n)
n
x(m)。
m0
解:
(1)令:
输入为x(nn0),输出为y'(n)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)'y(nn0)x(nn0)2x(nn01)3x(nn02)y'(n)故该系统是时不变系统。
故该系统是线性系统。
(3)这是一个延时器,延时器是一个线性时不变系统,下面予以证明。
令输入为x(nn1),输出为y'(n)x(nn1n0),因为故延时器是一个时不变系统。
又因为
故延时器是线性系统。
(5)y(n)x(n)
令:
输入为x(nn0),输出为y'(n)x2(nn0),因为
故系统是时不变系统。
又因为
因此系统是非线性系统。
7)
y(n)x(m)
m0
n
令:
输入为x(nn0),输出为y'(n)x(mn0),因为
m0
故该系统是时变系统。
又因为故系统是线性系统。
6.给定下述系统的差分方程,试判断系统是否是因果稳定系统,并说明理由。
1N1
(1)y(n)1x(nk);
Nk0
nn0
(3)y(n)x(k);
knn0
(5)y(n)ex(n)。
解:
(1)只要N1,该系统就是因果系统,因为输出只与n时刻的和n时刻以前
的输入有关。
如果x(n)M,则y(n)M,因此系统是稳定系统。
nn0
(3)如果x(n)M,y(n)x(k)2n01M,因此系统是稳定的。
系统是非knn0
因果的,因为输出还和x(n)的将来值有关.
(5)系统是因果系统,因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。
如果x(n)M,
则y(n)ex(n)ex(n)eM,因此系统是稳定的。
7.设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示,要求画出输出输出y(n)的波形。
解:
解法
(1):
采用图解法
图解法的过程如题7解图所示
解法
(2):
采用解析法。
按照题7图写出x(n)和h(n)的表达式:
因为
x(n)*(n)x(n)x(n)*A(nk)Ax(nk)
1
y(n)x(n)*[2(n)(n1)(n2)]
所以21
2x(n)x(n1)x(n2)2
将x(n)的表达式代入上式,得到
8.设线性时不变系统的单位取样响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况,分
别求出输出y(n)。
(1)
h(n)
R4(n),x(n)
R5(n);
(2)
h(n)
2R4(n),x(n)
(n)(n2);
(3)
h(n)
0.5nu(n),xn
R5(n)。
解:
(1)y(n)x(n)*h(n)R4(m)R5(nm)
m
先确定求和域,由R4(m)和R5(nm)确定对于m的非零区间如下:
根据非零区间,将n分成四种情况求解:
1n0,y(n)0
n
20n3,y(n)1n1
m0
3
34n7,y(n)18n
mn4
47n,y(n)0
最后结果为
y(n)的波形如题8解图
(一)所示。
2)y(n)的波形如题8解图
(二)所示.
3)
y(n)对于m的非零区间为0m4,mn
n4m1n,y(n)0.5n0.5m
m0
最后写成统一表达式:
11.设系统由下面差分方程描述:
11
y(n)21y(n1)x(n)12x(n1);
设系统是因果的,利用递推法求系统的单位取样响应。
解:
令:
x(n)(n)
归纳起来,结果为
12.有一连续信号xa(t)cos(2ft),式中,f20Hz,2
2)
3)
用采样间隔T0.02s对xa(t)进行采样,试写出采样信号xa(t)的表达式。
画出对应xa(t)的时域离散信号(序列)x(n)的波形,并求出x(n)的周期。
—第二章—
教材第二章习题解答
1.设X(ejw)和Y(ejw)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换,试求下面序列的傅里叶变
换:
(1)x(nn0);
(2)x(n);
(3)x(n)y(n);
(4)x(2n)。
解:
(1)
FT[x(nn0)]
令n'
nn0,nn'
(2)
FT[x*(n)]
n
(3)
FT[x(n)]
令n'
n,则
(4)
证明:
令k=n-m,则
2.已知X(ejw)
n
jwn
x(nn0)e
n
n0,则
jwn
x*(n)e[x(n)ejwn]*X*(ejw)
n
x(
jwn
n)e
FT[x(n)*y(n)]X(ejw)Y(ejw)
x(n)*y(n)
x(m)y(nm)
1,w
0,w0
w0
w
求X(ejw)的傅里叶反变换x(n)。
w0
w0
jwnsinw0n
edw0n
3.线性时不变系统的频率响应(传输函数)H(ejw)H(ejw)
解:
x(n)
ej(w)
如果单位脉冲
响应h(n)为实序列,试证明输入x(n)Acos(w0n)的稳态响应为
解:
jw0n
h(m)ejw0mH(ejw0)e上式说
明,当输入信号为复指数序列时,输出序列仍是复指数序列,且频率相同,但幅度和相位决定于网络传输函数,利用该性质解此题。
上式中H(ejw)是w的偶函数,相位函数是w的奇函数,4.设x(n)10,,n其它0,1将x(n)以4为周期进行周期延拓,形成周期序列x(n),画出
x(n)和x(n)的波形,求出x(n)的离散傅里叶级数X(k)和傅里叶变换。
解:
X(k)以4为周期,或者
X(k)以4为周期
算:
1)X(ej0);
2)X(ejw)dw;
(5)X(ejw)dw
解:
7
(1)X(ej0)x(n)6
n3
2)X(ejw)dwx(0)?
24
6.试求如下序列的傅里叶变换
11
(2)x2(n)2(n1)(n)2(n1);
(3)
x3(n)anu(n),0a1解:
7.设:
(1)x(n)是实偶函数,
(2)x(n)是实奇函数,分别分析推导以上两种假设下,x(n)的傅里叶变换性质。
解:
令X(ejw)x(n)ejwn
n
1)x(n)是实、偶函数,X(ejw)x(n)ejwn
n
两边取共轭,得到因此X(ejw)X*(ejw)
上式说明x(n)是实序列,X(ejw)具有共轭对称性质。
由于x(n)是偶函数,x(n)sinwn是奇函数,那么
因此X(ejw)x(n)coswn
n
该式说明X(ejw)是实函数,且是w的偶函数。
总结以上x(n)是实、偶函数时,对应的傅里叶变换X(ejw)是实、偶函数。
(2)x(n)是实、奇函数。
上面已推出,由于x(n)是实序列,X(ejw)具有共轭对称性质,即
由于x(n)是奇函数,上式中x(n)coswn是奇函数,那么x(n)coswn0
n
因此X(ejw)jx(n)sinwn
n
这说明X(e)是纯虚数,且是w的奇函数。
cosw
列为
10.若序列h(n)是实因果序列,其傅里叶变换的实部如下式:
HR(ejw)1
求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejw)。
解:
12.设系统的单位取样响应h(n)anu(n),0a1,输入序
x(n)(n)2(n2),完成下面各题:
(1)求出系统输出序列y(n);
(2)分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。
解:
(1)
(2)13.已知xa(t)2cos(2f0t),式中f0100Hz,以采样频率fs400Hz对xa(t)进行
采样,得到采样信号xa(t)和时域离散信号x(n),试完成下面各题:
1)写出xa(t)的傅里叶变换表示式Xa(j);
(2)写出xa(t)和x(n)的表达式;
(3)分别求出xa(t)的傅里叶变换和x(n)序列的傅里叶变换。
解:
1)上式中指数函数的傅里叶变换不存在,引入奇异函数函数,它的傅里叶变换可以
表示成:
(2)x?
a(t)xa(t)(tnT)2cos(0nT)(tnT)
nn
(3)
式中s2fs800rad/s
式中w00T0.5rad
上式推导过程中,指数序列的傅里叶变换仍然不存在,只有引入奇异函数函数,才能写出它的傅里叶变换表达式。
14.求以下序列的Z变换及收敛域:
(2)2nu(n1);
(3)2nu(n);
(6)2n[u(n)u(n10)]
解:
6)16.已知:
求出对应X(z)的各种可能的序列的表达式解:
有两个极点,因为收敛域总是以极点为界,因此收敛域有以下三种情况:
三种收敛域对应三种不同的原序列。
n0
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