空间计量经济学导论（詹姆斯.勒沙杰）课件 第三章空间计量模型的极大似然估计.pptx

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空间计量经济学导论（詹姆斯.勒沙杰）课件,拟讲授的主要内容,SAR、SDM模型参数的极大似然估计SEM模型参数的极大似然估计包含两个权重矩阵模型的极大似然估计空间计量经济模型变量的参数显著性检验基于OLS方法的SEM模型参数估计有效性基于SDM方法的SEM&SAC模型参数估计有效性案例解析：

参数估计、参数效应和估计模型选择,1.1计量经济学基础知识,参数估计最小二乘法的矩阵过程（*）：

（T）,OLS原理：

0B,2,n,T,T,（Y,i1（YTBTXT）（YXB）YTYBTXTYYTXBBTXTXBYTY2YTXBBTXTXB,i,OLS过程：

Min（Q,）XB）（YXB）,（T）,02XTY2XTXB0,OLS估计结果：

如XTX可逆，即|XTX|0，,BXTXBXTYB（XTX）-1XTY,1.2SAR、SDM模型中多参数优化向单参数优化的转化,多参数优化向单参数优化转化：

将模型中需要优化的多个参数通过等价变形，转变为一个参数的优化问题，以使所分析的问题更为简单。

SAR、SDM模型的单元优化过程：

第一，设定SAR、SDM模型；ynWyX;ynWyXWX第二，对SAR、SDM模型进行等价变形：

1,T,T,n12,n2,设Z,X,;Z,X，,WX,，,SAR:

yWyZ11;SDM:

yWyZ22第三，将SAR、SDM模型一般化，并表示其数据生成过程：

yWyZ,y（InW）Z（IW）11n,1.2SAR、SDM模型中多参数优化向单参数优化的转化（续）,SAR、SDM模型的单元优化过程（续）：

第四，依据OLS参数估计过程将一般模型进行单元优化转化；在给定=*条件下，解释变量参数矩阵的估计值为：

=（ZTZ）1ZT（y-*Wy）=（ZTZ）1ZT（I-*W）yn随机误差项方差估计值为：

2n1e（*）Te（*）,其中，e（*）y*WyZSAR、SDM模型的单元优化过程，实际上是将,，,2等五个参数的优化求解过程，转化为了通过空间相关系数*的优化求解并求解其他参数的过程。

对数似然函数的Anselin（1988）设定：

1.3空间相关系数优化的对数似然函数及其简化,2,n,eTe,22,lnL（n2）ln（,）lnIW,其中，eyWyZ；（Min（w）1,Max（w）1）w为W矩阵的n1阶特征值向量,0,d,TT,000d,dd,T1T,e0yZ0;,edWyZd,（ZZ）Zy;,S（）e（）e（）ee2ee,（ZTZ）1ZTWy,eTe,对数似然函数的Pace&Barry（1997）简化：

lnL（）lnInW（n2）lnS（）其中，为与不相关的常数；,这一简化式是依据单参数优化（PPT2.1）而设计。

=0dee0ed,1.4SAR、SDM模型的极大似然估计过程,依据对数似然函数的Pace&Barry（1997）简化设定，可知：

2,2,q,q,n2,nq,lnIn1W,lnL

（1）lnS

（1）,lnL（）,lnS（）,lnIW,（n2）,lnL（）,lnS（）,lnIW,依据上述表达式，可求得空间相关系数的最优值*，并以此作为空间,相关系数的估计值。

*,1.5SAR、SDM模型的极大似然估计结果,依据求得的空间相关系数估计值，可知其他待估参数如下：

（ZTZ）1ZT（IW）yn,待估参数矩阵：

=0d,n,随机误差项的方差估计：

1S（）,方差-协方差矩阵估计：

=2（IW）T（IW）1nn空间自回归模型和空间杜宾模型的参数估计核心本质：

通过构建包含空间相关系数的对数似然函数，求解最优空间相关系数；并结合参数估计的最小二乘法矩阵过程，最终对参数和随机误差项方差进行估计。

2.1SEM模型及其单参数优化过程,SEM模型参数估计的最小二乘法结果：

令（），y（）（InW）y,X（）（InW）X,则解释变量的参数估计：

（）=X（）TX（）1X（）Ty（）随机误差项的方差估计：

2n1e（）Te（）样本随机误差项的计算：

e（）y（）X（）（）,W）1,N（0,2I）n,SEM模型的基本表达式设定：

yX,WyX（InSEM模型基本表达式的变形：

（InW）y（InW）X,2.2SEM模型的对数似然函数设定及简化,SEM模型的对数似然函数设定：

2,n,eTe,lnL（n2）ln（,W）（yX）,）lnIW，其中，e（I22n,SEM模型的对数似然函数简化过程：

lnLlnInW（n2）ln（S（）其中：

S（）e（）Te（）y（）X（）（）Ty（）X（）（）=y（）Ty（）2（）TX（）Ty（）（）TX（）TX（）（）,2.2SEM模型的对数似然函数设定及简化（续）,T,T,yy,XX,（）（）A（）（）,Xy,其中,S（）A（）-2（）A,（）=A（）1A（）XXXy,则可得SEM模型的最终简化式如下：

lnLlnInW（n2）ln（S（）,Xy,TTTTT2TT,yy,A（）X（）Ty（）XTyXTWyXTWTy2XTWTWy,A（）y（）y（）yyyWyyWyyWWy,SEM模型的对数似然函数最终简化式：

令A（）X（）TX（）（IW）XT（IW）XXXnnXTXXTWXXTWTX2XTWTWX,2.3SEM模型的极大似然估计结果,依据SEM模型的极大似然估计结果，可以估算最优的,。

方差-协方差矩阵估计值：

SEM模型的最终估计结果:

解释变量的参数估计值：

（）随机误差项的方差估计值：

2n1S（）,2（IW）T（IW）T1nn,2.4SEM模型极大似然向SDM模型的可转化性,从PPT2.2-2.3的过程看，SEM模型的极大似然估计过程与SDM类似，那么SEM模型的参数估计过程能否转化为SDM模型参数估计过程呢？

SEMSDM模型参数估计的可转化性:

SEM表达式：

（InW）y（InW）XSEM整理：

yWy+X+WX（）,?

上式就是一个经典的SDM模型表达式，其可转化性检验主要是：

带常数项的SEM模型参数估计向SDM参数估计的可转化性：

（InW）y（InW）n（InW）XyWy（InW）n+X+WX（）,3.1多权重矩阵Lacombe模型的单矩阵极大似然估计,多权重矩阵的Lacombe模型（2004）：

y1W1y2W2yXW1XW2X,2,n,其中，N（0,I）,W1为同一州内相邻县市观察值影响；W2分别为州界处相邻县市观察值影响Lacombe模型的多参数优化向两参数优化的转变过程：

设ZX,WX,WX;,T,则变形为12,n1122n1122,1,1,y（IWW）Z（IWW）,3.1多权重矩阵Lacombe模型的单矩阵极大似然估计（续）,对数似然函数的简化式求出最优的,，然后进行参数估计和随机,误差项方差估计，并确定方差-协方差矩阵。

Lacombe模型参数估计优化的最小二乘法过程：

参数估计结果：

（ZTZ）1ZT（IWW）yn1122随机误差项方差估计结果：

2=n1eTeLacombe模型的对数似然函数设定：

2,n,eTe,22,lnL（n2）ln（,）lnI1W1-2W2,其中，e（In1W12W2）yZLacombe模型的对数似然估计过程：

与前述SAR、SDM模型类似，利用,12,*,、,3.2多权重矩阵SAC模型的双矩阵极大似然估计,SAC模型也可通过设定双矩阵对数似然函数进行估计：

SAC模型估计可用拓展的SDM模型进行极大似然估计：

基本表达式：

yW1yX,W2,n1n1n2,1,11,y（IW）X（I,W）（IW）,拓展的SDM模型：

yWyXWX,W,2,n,eTe,22,lnL（n2）ln（,）lnIW1,lnInW2,其中，e（InW2）（InW1）y（InW2）XSAC模型的极大似然估计：

结合二元最优化估计*、*，再进行相关参数估计。

对随机误差项的拓展部分,3.3多权重矩阵SARMA模型的双矩阵极大似然估计,SARMA模型的双矩阵对数似然函数设定：

SARMA模型的基本表达式：

yW1yX,（InW2）,2,n,eTe,22,1,lnL（n2）ln（,）lnIW1,ln（InW2）,2,n,2n1n,W）X,1,1,W）（IW）y（I,其中，e（I,SARMA模型的极大似然估计：

结合二元最优化估计*、*，再进行相关参数估计。

n1n,1n2,1,1,y（IW）X（I,W）（IW）,3.4多权重矩阵空间计量模型的估计方法比较和可识别性,Lacombe、SAC、SARMA模型估计方法比较：

Lacombe模型：

将多个权重矩阵纳入同一矩阵中构建似然函数；SAC、SARMA模型：

将多个权重矩阵以同等地位纳入多个矩阵中构建似然函数。

SAC、SARMA模型的识别性问题：

Anselin（1988）曾质疑以同等地位纳入的多个矩阵中待估参数（包括、2）的可识别性问题。

模型可识别性（Kelejian&Prucha，2007）：

数据生成中解释变量对被解释变量有实质性影响时，参数可以识别。

模型中待估参数可识别：

0待估参数不可识别：

=0,4.1空间计量模型参数显著性检验的主要思路和方法,计量经济学模型的变量显著性检验方法：

构建关于参数的T统计量，结合T检验进行变量的显著性检验。

空间计量模型的参数显著性检验：

构建类似于T统计量和T检验的系列方法，检验空间计量模型的变量显著性。

空间计量模型参数显著性检验的主要方法：

SRD：

带符号的标准差方法；解析海塞矩阵方法；MCMC:

基于贝叶斯方法的马尔科夫链-蒙托卡罗模拟；混合解析-数值海塞矩阵方法；纯粹的数值海塞矩阵方法,4.2参数显著性检验的解析海塞矩阵方法,海塞矩阵：

关于参数的所有二阶偏导数组成的矩阵组合。

令f（x1,x2,xn），则海塞矩阵为:

1112,n2,22,2,xxxx,xx,1n,22,2,Hxx,xx,xx,22,2,xx,xx,xx,n1,nn,21,2n,22,4.2参数显著性检验的解析海塞矩阵方法（续）,SAR模型参数显著性的解析海塞矩阵构建：

第一，构建SAR模型的对数似然函数；,第三，构建海塞矩阵；,2,n,eTe,lnL（n2）ln（,）lnIW,eyWyX-22n,第二，确定所有待估参数；、2,2,2,2L,2L,2,2LT,2,2L,2L,2LT,2,2L,2L,2L2T,（）,H=,4.2参数显著性检验的解析海塞矩阵方法（续2）,C,240,24,n24,TTyWy2,yWy2CB2yWXTTTT2TXX2,2CB2yTWTX,0,-trWAWA2,H=,SAR模型参数显著性的解析海塞矩阵构建（续）：

第四，计算所有二阶导数，并代入海塞矩阵，得到解析海塞矩阵：

令A（InW）,By（WW）y,CyWWy,则1TTTT,第五，基于方差-协方差矩阵与海塞矩阵的关系-H1，计算出方差-协方差矩阵，并由此进行参数的显著性检验。

比较难算，,但可算出,4.3参数显著性检验的混合-解析海塞矩阵方法,第二，构建海塞矩阵H的简化式；,在解析海塞矩阵中中，因trWAWA的计算比较困难，必须另辟蹊径。

trWAWAtrW（InW）1W（InW）1混合-解析海塞矩阵的构建过程。

第一，简化SAR模型的对数似然函数（参见PPT1.3）；lnL（）lnInW（n2）lnS（）其中，为与不相关的常数；S（）e（）Te（）,T,2L2L,2,T,2L2L,令=（T2）T,则海塞矩阵可简化为：

H,4.3参数显著性检验的混合-解析海塞矩阵方法（续）,；,第四，基于Davidson&Mackinnon（2004）的设定，可以将完全海塞矩阵中第一行第一列元素进行替代；,第五，将上式代入完全海塞矩阵，可得混合-解析海塞矩阵：

混合-解析海塞矩阵的构建过程（续）。

第三，计算对数似然函数简化式相对于的二阶偏导数,2L（）2,1,2L2L（）,2L2L,2L22TT,=（）,2,T,1,L（）,2L2L,2L2L,2T（T）T,H,2L2L,4.4从解析海塞矩阵到混合-解析海塞矩阵,解析海塞矩阵与简化式的对应关系：

混合-解析海塞矩阵与解析海塞矩阵的区别：

第1行第1列元素的替代。

0,TT,C,2,24,n24,24,TXX,20,TTyWy,2CB2yWX,yTWTy2CB2yTWTX2,-trWAWA2,2L,2LT,2L,2,2,T,L,Q,CL2（）22,-trWAWA,0,0,n,24,XTX,2,yTWTy2CB2yTWTXT2,24,1V;V=,其中，QVT,4.5各种参数显著性检验方法的软件输出结果,Pace&Barry（1997）模型参数显著性检验结果：

符合条件的选民比例=f（年满18岁的选民人数，有大学文凭人数，住房拥有者，家庭收入的中位数）,5.1包含遗漏变量SEM模型的OLS参数估计表达式,包含遗漏变量的SEM模型：

yX,W;X,XWX其中，为标量参数；已有变量与遗漏变量之间的相关性；误差项的空间依赖程度；解释变量的空间依赖程度包含遗漏变量SEM模型的OLS参数估计表达式（Pace&Lesage,2009）：

nn,trH（）2G（）trH（）2,1,1,n,H（）InW,G（）InW;,trIWT1IW1IW1,trIWT1IW1,plim（）Tr（,）=nnn,其中，Tr（,）=,5.2包含遗漏变量SEM模型的OLS参数估计有效性分析,OLS参数估计有效性分析：

当=0时，则plim（），n则采用OLS估计带遗漏变量的SEM模型参数估计仍是无偏的；当0时，若=0，则plim（）+;OLS参数估计有偏，偏误为n当0时，若0，则plim（）Tr（,）n则，OLS参数估计有偏，偏误为Tr（,）；SEM模型的OLS估计可能有偏，且可能对模型偏误设定有放大作用：

0Tr（,）1,则plim（）Tr（,）n,5.3OLS估计对偏误设定放大作用的蒙特卡罗模拟,0,见教材P48：

SEM,0.75,0.25,OLS参数估计值的均值，,E（）依据公式计算的参数；依据样本计算的参数00,0,r,r,0,）E（）,E（）,T（,）,当=0时，+=0.75+0.25=1,当0时，T（,0.25,r,0.9，=0.9时，T（0.9,0.9）2.0035-0.755.01,0.25,r,0.9，=0.5时，T（0.5,0.9）1.3152-0.752.26,均放大了偏误效应。

5.4遗漏变量SEM模型中0的豪斯曼检验,豪斯曼检验的核心要义：

检验无遗漏变量或遗漏变量与现有变量无关的条件下，SEM极大似然估计与OLS估计的参数等价有效。

0豪斯曼检验的基本步骤：

OLS,SEM,1OLS,SEM,第一，设定原假设和备择假设：

H0:

;H:

第二，构建假设检验的卡方分布：

TT（）2（m）OLSSEM,SEM,2XT（IW）T（IW）X1nn,其中，=-OLSSEMOLS=H（InW）（InW）H,H（XX）X21T1TT1T,m为待估参数的个数,豪斯曼检验的基本步骤（续）：

第三，依据相关数据，计算卡方分布统计量T的值；第四，给定显著性水平，依据卡方分布检验确定拒绝或接受原假设；,5.4遗漏变量SEM模型中0的豪斯曼检验（续）,22,2,2,20,12,212,T,（m）T（m）,则接受H；,（m）或T,（m）,则拒绝H0，接受H1,第五，结论阐释：

当接受H0时，则说明对SEM模型采用OLS方法估计得到的参数具有无偏性。

即，不存在遗漏变量，或者至少遗漏变量与现有解释变量无关。

结论：

SEM模型中，若能首先通过豪斯曼检验，则可以用OLS或GLS方法进行估计，参数估计的结果也会是无偏的。

第三，将估计值进行整理，可得：

第四，证明参数估计结果的无偏性：

5.40时GLS参数估计无偏性的证明,=0时GLS参数估计无偏性的证明：

第一，设遗漏变量模型的通项公式为：

yXZF第二，对上述公式进行广义最小二乘法估计（GLS）：

G,（XTG1X）1XTG1y,G,（XTG1X）1XTG1（XZF）（XTG1X）1XTG1（ZF）,G,E（,1T11T1,）E（XZ）（XGX）XGFE（）,结论：

有遗漏变量的SEM模型一般不用OLS估计，因为估计量可能有偏，且设定偏误效应可能放大；仅=0时，SEM模型才可用OLS或者GLS进行估计。

6.1基于SDM方法的SEM模型参数估计性质,包含遗漏变量的SEM模型变形：

yX,WXyX（InW）（X）1yWyX（）WX（）基于SDM极大似然法估计的SEM模型：

SDM模型设定：

yWyXWX基于SDM模型的SEM模型（包含遗漏变量）参数估计结果：

E（）;E（）;E（）基于SDM方法的SEM模型参数估计性质：

无偏估计量：

，有偏估计量：

6.1基于SDM方法的SEM模型参数估计性质（续）,不包含遗漏变量SEM模型的SDM极大似然估计：

不包含遗漏变量SEM模型表达式：

yX,WyWyXWX（）SDM模型设定：

yWyXWX基于SDM估计的SEM模型参数估计结果：

E（）;E（）;E（），前述估计结果全部无偏。

基于SDM的SEM模型参数估计性质：

在不包含遗漏变量的SEM模型中，采用SDM估计结果全部无偏。

在包含遗漏变量的SEM模型中，采用SDM估计结果仅解释变量X参数有偏，但偏误效应并未被扩大，且只取决于遗漏变量与现有变量之间的相关程度。

6.2扩展SDM模型与SAC模型的参数估计性质,扩展的SDM模型与SAC模型（P38、P39）：

SAC模型设定：

yW1yX,W2扩展的SDM模型设定：

yWyXWX,W基于扩展SDM模型的SAC模型参数估计结果：

参数估计结果无偏但非有效，因为多出了WX项的。

E（）;E（）;基于SAC模型的扩展SDM模型参数估计结果：

因SAC模型无WX项相关设定，将导致估计结果有偏。

6.3空间计量模型的SDM估计优于OLS估计,SEM模型的OLS估计性质：

.SEM模型只有在不存在遗漏变量或者遗漏变量与现有解释变量无关时，采用OLS估计才可得到无偏的参数估计量。

.在遗漏变量与现有解释变量相关时，则采用OLS估计时参数估计量,有偏，且会加大这种设定偏误。

plim（）Tr（,）n,SEM和SAC模型的SDM估计性质：

.无遗漏变量的SEM模型，采用SDM估计得到的估计量全部无偏。

.有遗漏变量的SEM模型采用SDM估计，解释变量X的参数估计量有偏，但偏离程度比OLS方法要小得多。

E（）SDME（）OLSTr（,）.SAC模型，采用拓展SDM模型估计时，参数估计量无偏但非有效。

结论：

空间计量模型中采用SDM极大似然估计优于OLS估计。

7.1模型构建与参数估计,SDM模型的参数估计结果：

模型构建：

目的：

评价区域全要素生产率与区域知识积累之间的关系；模型形式：

规模报酬不变的柯布道格拉斯生产函数。

一般计量经济学模型设定：

ynln（A），其中，y全要素生产率，A区域专利数SDM模型设定：

ynWyXWX,其中X=ln（A）参数无法通过检验是否说明无溢,出效应？

7.2模型的参数效应估计,总效应：

关于模型参数估计效应的错误认识：

.以、分别作为区域知识积累对全要素生产率的直接效应和间接效应；.以+作为区域知识积累对全要素生产率的总效应；模型参数的效应表达式（见第二章PPT3.1&3.5）：

rn,n,1,W）（IW）,其中，S（W）（I,直接效应：

n1tr（S（W）r模型参数效应的估计结果：

参数效应：

区域知识积累以0.2919的弹性影响全要素生产率，其中直接和间接效应分别为0.1201和0.1718，分别占2/5和3/5。

nrn,nS（W）,1T,7.3模型参数效应的区域空间分解,模型参数效应直接效应和间接的空间分解：

近邻总效应=直接效应+间接效应；,模型参数总效应的空间分解：

Sr（W）（InW）（InW）1,I（IW）W（IW）+qWq（IW）,nnnn,0阶近邻总效应,1阶近邻总效应,q阶近邻总效应,qq,qq,n,n,n,n,1T,W（IW）,W（IW）,q阶近邻间接效应：

n,-tr,q阶近邻直接效应：

trqWq（IW）n,nnn,1Tqq,（IW）,q阶近邻总效应：

nW,7.3模型参数效应的区域空间分解（续）,模型参数效应的空间分解结果：

参数效应的空间分割：

知识积累将对全要素生产率产生间接的或者空间溢出效应，其中，10%的知识积累增长，将导致1阶近邻全要素生产率增长0.622%；导致2阶近邻增长0.353%，三阶近邻增长0.243%。

7.4模型不同设定的估计结果对比,模型的其他形式设定：

SDM:

ynWyXWXSAR:

ynWyX；SAC:

ynW1yX,W2SEM:

ynX,W不同模型设定的参数估计结果对比：

7.5不同模型设定的参数效应比较分析,不同模型设定的参数效应对比结果：

注：

每种效应括号内值为对应的T统计量值。

SDM模型总效应：

Sr（W）（InW）（InW）1SAR&SAC模型总效应（第2章PPT4.1）：

Sr（W）（InW）I1n,